Metoda de proiectare a filtrelor FIR cu faza liniara

Metoda de proiectare a filtrelor FIR cu faza liniara

In acest capitol se prezinta pe scurt ecuatia in diferente, functia de transfer si functia pon­dere ale unui a unui filtru digital. Apoi se particularizeaza aceste pentru filtrele fir si se prezinta o metoda de calcul a parametrilor unui filtru FIR pornind de la forma unei functii fereastra cunoscute.

Filtre digitale

In Figura 5.1 se prezinta schema bloc a unui DSP (Digital Signal Processor) care este filtru analogic cu implementare digitala.

Figura 5.1. Schema bloc a filtrului digital

In schema si sunt sem­nalele analogice de intrare si de iesire ale filtrului, si sunt semnale analogice si esan­tio­na­te cu perioa­da T .

Filtrul digital din Figura 5.1 functioneaza in timp real (on‑line). Functionarea filtrului di­gi­tal este descrisa de ecuatia in diferente

, (5.1)

unde este valoarea esantionului curent al semnalului de iesire. Din ecuatia (5.1) se poate expli­ci­ta functia de filtrare, sau formula de calcul al valorii esantionului cu­rent al semnalului de iesire:

. (5.2)

Formula (5.2) se citeste:

"Valoarea esantionului curent al semnalului de iesire se calcu­lea­za din valorile anterioare ale esantioanelor semnalului de iesire si din valo­ri­le curenta si anteri­oa­re ale esantioanelor semnalului de intrare".

Formula (5.2) este im­por­tanta pentru ca da cea mai comoda cale de scriere a unui pro­gram care imple­men­tea­za un filtru digital care functioneaza in timp real (on‑line

Daca se aplica transformata Z ecuatiei in diferente (5.1) se obtine ecuatia discreta

, (5.3)

unde este operatorul de intarziere cu k perioade de esantionare. In ecuatia dis­creta (5.3) esantionate si sunt imaginile prin transformata Z ale semnalelor ana­lo­gice si . Evident functia de filtrare (5.2) poate fi pusa si sub forma:

. (5.4)

Prin calculul raportului din­tre imaginile si din ecuatia discreta (5.3) se obtine functia de transfer a filtrului digital:

, (5.5)

Din notatia , dupa trecerea din transformata Laplace in transformata Fourier, prin aplicarea formulei lui Euler se obtine:

. (5.6)

Daca se substituie (5.5) in (5.4)

, (5.7)

, (5.8)

In momentul in care se implementeaza filtrul digital printr‑un program, perioada de esan­tionare T nu mai are semnificatie fizica explicita. In acest caz:

perioada de esan­tio­na­re se nor­meaza la un tact

secventele de intrare si de iesire ale filtrului digital si se memoreaza sub forma unor vectori;

operatorul cu semnificatia " intarziere cu k perioade de esantionare" se inlocuieste cu operatorul care are semnificatia "intarziere cu k tacte".

In aceste conditii functia de filtrare normata este:

. (5.9)

Substituind in (5.5) se obtine functia de transfer normata:

, (5.10)

unde si sunt esantioanele curente ale semnalelor de intrare si de iesire iar si sunt polinoame.

Filtre FIR

Un filtru digital care are se numeste filtru digital de tip FIR (Finite Impulse response). Functia de filtrare a filtrului FIR este:

, (5.11)

unde si , sunt secventele de intrare si de iesire ale unui filtrului digital, si coeficientii , , sunt coeficientii filtrului digital. Filtrul se implementeaza prin urmatorul graful de fluenta din Figura 5.2.

Figura 5.2. Filtrul FIR

Functia de transfer a filtrului este:

. (5.12)

Fie functia pondere discreta 

, (5.13)

raspunsul filtrului FIR la functia delta discreta este functia pondere discreta este data de coeficientii filtrului FIR (5.12)

, (5.14)

Transformarea unui filtru IIR intr‑un filtru FIR echivalent

Fie filtrul IIR de ordinul 1

. (5.15)

Orice filtru IIR poate fi transformat intr‑un filtru FIR prin metoda impartirii continue prezentata in Figura 5.3

Figura 5.3 Metoda impartirii continue

Se spune ca impartirea continua este convergenta daca coeficientii filtrului FIR scad odata cu cresterea exponentului . Daca filtrul are un pol in apropierea cercului unitar atunci convergenta este slaba. Daca filtrul are un pol pe cercul unitar sau in afara lui impartirea nu este convergenta dar nici filtrul IIR nu este stabil.

Teoretic filtrul FIR echivalent are un numar infinit de coeficienti, dar in practica rezul­tatul impartirii se truncheaza. Intotdeauna filtrul FIR echivalent are mai multi coeficienti decat filtrul IIR din care a fost obtinut.

Filtre FIR cu faza liniara

Fie un filtru FIR cu proprietatea ,

(5.16)

(5.17)

Din relatiile lui Euler rezulta ca

, (5.18)

unde este perioada de esantionare. Se calculeaza expresia:

, (5.19)

de unde prin substitutia

, (5.20)

In aceste conditii

    , (5.21)

se observa ca termenii imaginari se reduc si ca expresia finala este:

, (5.22)

(3.23)

(5.24)

Problema

Se da o secventa esantionat cu frecventa de . Sa se proiecteze un filtru trece jos de tip FIR care sa aiba si caracteristica de frecventa a ferestrei Hanning.

Din tabelul __ aflam pentru fereastra Hanning.

(5.25)

(5.26)

(5.27)

(5.28)

Filtru FIR KB‑10 windov