Elemente de analiza matematica Clasa a XI-a

Elemente de analiza matematica

Clasa a XI-a

Functii derivabile

Reprezentare grafica

Siruri:

Forma:

an(n€N)  SAU a1,a2,,an

Mod de definire:

1Descriptiv:prin insirarea termenilor sirului

ex:2,3,5,7,.

2Printr-o regula sau mai multe reguli de calcul

ex: an=n²+3

3Printr-o relatie de recurenta:

a)recurenta de ordin 1:

ex: a1=1 si an+1=2an-3

b)recurenta de ordin 2:

ex: a1=0, a2=1, an=3an+1-2an

Tipuri:

Sir convergent: un sir ce are o singura limita finita;

Sir divergent: un sir ce are limita infinita.

Siruri remarcabile:

Sirul puterilor cu exponent real:

Xn= n^α ,α€R

∞ ,α>0

lim n^α=→Ǝ lim an = lim bn =x€R

xn-min de an n→∞ n→∞

atunci lim xn =x

n→∞

an≤ xn ≤ bn

↓ ↓ ↓

x

Criteriul raportului:

an-sir de numere strict pozitive,presupunem ca Ǝ

lim an+1/ an=l

n→∞

Operatii cu siruri:

1. Suma: limita sumei este egala cu suma limitelor

lim (an₊bn)= lim an+ lim bn

n→∞   n→∞ n→∞

!Caz exceptat: ∞+(-∞)

2. Constanta iese in fata limitei

€R*→lim _α an= _α lim an

n→∞ n→∞

3. Limita produsului  este egala cu produsul limitelor

lim an ٠bn= lim an ٠ lim bn

n→∞ n→∞ n→∞

!Caz exceptat:0 ٠ ∞

4. Limita catului este egala cu catul limitelor

lim an/bn=lim an/lim bn

n→∞    n→∞ n→∞

!Cazuri exceptate:0/0, ∞/∞,-∞/-∞,-∞/+∞,+∞/-∞

5.Ridicarea la putere

lim (f(x))^g(x)= lim (f(x)) ^{lim g(x)}

n→∞   n→∞ ^n→∞

!Caz exceptat: 0⁰

.Limita modulului este egala cu modulul limitei

lim │f│(x)= │limf(x)│

n→∞ n→∞

7.Radical

lim ⁿ√ Xn= ⁿ√ lim Xn

n→∞ n→∞

8.Logaritmi:

lim loga Xn= loga(lim Xn)

n→∞ n→∞

Monotonia unui sir

an+1- an<0  → an s.d.

an+1- an>0  → an s.c.

an+1/an<1  → an s.d.

an+1/an>1  → an s.c.

Limite de functii:

1.Limita functiei constante

lim f(x)=c

x→a

2.Limita functiei polinomiala

lim f(x)= ak n^k

x→a

lim (ak n^k+ak-1 n^k-1 ++a1 n+a0) =

n→∞

=∞ , a>0;

, a<0;

3.Limita functiei rationale

lim (ak n^k+ak-1 n^k-1 ++a1 n+a0)/(b k n ^k

n→∞ ++b1n+b0)=

= a1/b1 , k=1;

, k<1;

= ∞ , k>1

4.Limita functiei radical

a)radical de ordin par

lim ^2k√x= ^2k√a ,a este finit

x→a

lim ^2k√x =∞ ,a=∞

x→∞

b)radical de ordin impar

lim ^2k+1√x= ^2k+1√a ,a este finit

x→a

lim ^2k+1√x =∞ ,a=∞

5.Limita functiei exponentiale

0<b<1

lim b^x=b^a a €R

x→a

lim b ^x = ∞

x→-∞

lim b ^x =0

x→∞

b>1

lim b^x=b^a a €R

x→a

lim b ^x =0

x→-∞

lim b ^x =∞

x→∞

6.Limita functiei logaritmice

0<b<1

lim f(x)= ∞

x→0

x>0

lim f(x)= f (a),a €(0;∞)

x→a

lim f(x)=-∞,a=∞

x→∞

b>1

lim f(x)=-∞, a=0

x→0

x>0

lim f(x)= f (a),a €(0;∞)

x→a

lim f(x)=∞,a=∞

x→∞

7.Limita functilor trigonometrice directe

sin:R→[-1;1]

lim sinx=sina

x→a

cos: R→[-1;1]

lim cosx=cosa

x→a

tg:R→R

lim tgx=tga

x→a

a=∏/2

lim tgx= ∞

x→ ∏/2

x< ∏/2

lim tgx=-∞

x→ ∏/2

x> ∏/2

ctg:R-→R

lim ctgx=ctga

x→a

lim ctgx=- ∞

x→ 0

x< 0

lim ctgx=∞

x→ 0

x> 0

8.Limita functiilor trigonometrice inverse

arcsin:[-1;1] →[- ∏/2; ∏/2]

lim arcsinx=arcsina

x→a

arccos:[-1;1] →[0; ∏]

lim arccosx=arccosa

x→a

arctg: R→[- ∏/2; ∏/2]

1)a €R

lim arctgx=arctga

x→a

2)a=∞

lim arctgx= ∏/2

x→∞

3)a=-∞

lim arctgx= -∏/2

x→-∞

arcctg:R→(0; ∏)

1)a €R

lim arcctgx=arcctga

x→a

2)a=∞

lim arcctgx= 0

x→∞

3)a=-∞

lim arcctgx= ∏

x→-∞

Limite remarcabile

v    lim sinXn₌1

Xn→0 Xn

v    lim tgXn₌1

Xn→0 Xn

v    lim arcsinXn₌1

Xn→0 Xn

v    lim arctgXn₌1

Xn→0 Xn

v    lim sinU(x)₌1

U(x)→0 U(x)

v    lim arcsinU(x)₌1

U(x)→0 U(x)

v    lim tgU(x)₌1

U(x)→0 U(x)

v    lim arctgU(x)₌1

U(x)→0 U(x)

v    lim a^Xn -1₌lna

Xn→0 Xn

v    lim aⁿ₌

Xn→∞ n^k

v    lim ln n₌0

Xn→∞ n^k

v    lim (1+ Xn) ^1/Xn=e

Xn→0

v    lim (1+ 1/Xn) ^Xn=e

Xn→∞

v   

lim an ^bn = lim e^{bnln an}

n→∞ n→∞

Limite laterale:

limita la stanga

not:l_s(a)=lim f(x)

x→ a

x< a

limita la dreapta

not:l_d(a)=lim f(x)

x→ a

x> a

Asimptote:

orizontale:y=c

D=+ ∞

f:R→A f(x)=y

lim f(x)=c

x→+∞

oblice:

D=+ ∞

y=mx+n

m= lim f(x)€R

x→+∞ x

n=lim [f(x)-mx]c€R

x→+∞

Nu exista asimptota oblica si orizontala in acelasi timp!!!

verticala

f:R-→B

x=c

lim f(x)=+ ∞→x=a asimptota v. la dr.

x→a

x>a

lim f(x)=+ ∞→x=a asimptota v. la st.

x→a

x<a

Functii continue

f continua daca exista l_s(a)=l_d(a)=f(a)

puncte de discontinuitate

1.de prima speta: l_s(a)≠l_d(a)

l_s(a)=l_d(a) ≠=f(a)

2.de a II a speta:una dintre limite este infinita

Proprietatea lui Darboux

f:I→R rezulta cf. P.D. ca exista cel putin un pct

X €I(interval)a.i.f(X )=

Derivate:

Tangenta la o curba:

A_(Xa;Ya),B_(Xb;Yb)

Panta:

m_AB=Yb-Ya=f_(X)-f_(X0)=tgβ

Xb-Xa X-X0

Ecuatia dintre un punct si o panta:

Y-Y₀=f ’ _(x0) (x-x₀)

Derivate laterale:

a)la stanga

lim f_(x)-f_(x0)

x→x₀ x-x₀

x<x₀

b)la dreapta

lim f_(x)-f_(x0)

x→x₀ x-x₀

x>x₀

Operati cu functii derivabile:

1.(f+g)’=f’+g’

2.(αf)’=αf’

3.(f*g)’= 'g*f+g*'f

4. f =f’*g-f*g’

g g²

5.[f(x)^g(x)]’=   g(x)*f(x)^g(x)-1*f’(x)+f(x)^g(x)*lnf(x)*g(x)’

Proprietatile functiilor derivabile:

1. Punct de inflexiune

convex sau concav

-calculam a doua derivata;

2. Punct de intoarcere

f continua in x₀

f derivabila si derivatele laterale a le lui f sunt infinite si diferite

3.Punct unghiular

f este continua in x₀ daca derivatele laterale in x₀ sunt diferite

4.Puncte de extrem:

maxim:f(x)<f(a)

minim:f(x)>f(a)

Teorema lui Fermat:

1.calculam prima derivata

2.egalam cu 0

3.tabel pentru derivata

max

min

Teorema lui Rolle:

f[a;b]→R

1.f continua pe [a;b]

2.f derivabila pe (a;b)}→f’(c)=0

3.f(a)=f(b)

Sirul lui Rolle:

-aflam numarul  de radacini reale ale ecuatiei

1.f’(x)=0

2.tabel

3.concluzie:-daca in tabel pe prima linie avem 2 semne contrare avem o solutie unica

-daca in tabel avem 2 semne identice inseamna ca in acel interval nu avem solutii reale

-daca in tabel apare „0” avem solutie dubla.

Teorema lui Lagrange

f:[a,b]→R

1.f continua pe [a,b]

}exista

2.f derivabila pe(a,b)

c€(a,b) astfel incat f(b)-f(a)=f’(c)

b-a

1.Monotonia:este data de prima derivata

f’(x)<0→f.s.d

f’(x)<0→f.d

f’(x)>0→f.s.c

f’(x)>0→f.c

2.Convexitatea este data de a doua derivata