Numerele din figura (1) sunt coeficientii binomiali, iar dispunerea lor sub forma de tabel triunghiular se numeste triunghiul lui Pascal. Insusi Pascal numea acest triunghi aritmetic.
Fig. (1)
La triunghiul din figura (1) pot fi adaugate noi linii, el poate fi extins oricat de mult.
Reteaua din figura (2) este de fapt, o portiune patrata "taiata" dintr-un triunghi mai mare.
Figura (2)
Unii dintre coeficientii binomiali si descompunerea lor intr-un tabel triunghiular apar si in scrierile altor autori, anterioare lucrarii lui Pascal. Meritele lui Pascal in aceasta descoperire sunt suficiente pentru a justifica utilizarea numelui lui.
In primul rand trebuie sa introducem o notatie pentru numerele continute in triunghiul lui Pascal. Pentru noi fiecare numar asociat unui punct din acest triunghi are o semnificatie geometrica: el indica numarul de trasee distincte, in zigzag, de lungime minima, de la varful triunghiului pana la punctul respectiv. Fiecare din aceste trasee trece de-a lungul unui aceluiasi numar de cvartale - sa spunem de-a lungul a n cvartale. Mai mult, toate aceste trasee concorda intre ele si in ceea ce priveste numarul de cvartale strabatute mergand spre sud-vest si numarul de cvartale strabatute mergand spre sud-est.
Fie l si respectiv r aceste numere (l -inseamna deplasari spre stanga, r - inseamna deplasari spre dreapta, bineinteles in fiecare caz directia generala este de sus in jos).
Evident: n=l+r.
Daca notam doua din cele trei numere n, l si r, al treilea este complet determinat, si tot asa este si punctul la care ele se refera.
Vom nota cu Crn (combinari de n luate cate r) numarul de trasee minime de la varful triunghiului lui Pascal pana la punctul specificat de numarul n (numarul total de cvartete) si numarul r (cvartetele strabatute mergand spre dreapta).
De exemplu in figura (3): C38=56; C510=252. Simbolurile pentru numerele din figura (1), au fost grupate in mod corespunzator in figura (3).
Simbolurile cu acelasi numar "inferior n" se aliniaza pe orizontala in lungul "bazei" de ordinul n, este vorba de baza unui triunghi dreptunghic.
Simbolurile cu acelasi numar "superior r" se aliniaza oblic in lungul "bulevardului" cu numarul r.
Figura (3)
In al doilea rand pe langa aspectul geometric, triunghiul lui Pascal prezinta si un aspect legat de proprietati numerice si de calcul. Toate numerele de-a lungul frontierelor (strada zero, bulevardul zero si punctul lor comun de plecare) sunt egale cu 1.
