Trigonometrie sferica

La baza geometriei sferice stau urmatoarele teoreme:
Teorema 1: Sectiunea unei sfere cu un plan oarecare este un cerc.
Teorema 2: Cercurile mari impart sfera si suprafata ei in doua parti egale.
Teorema 3: Prin doua puncte date pe suprafata unei sfere, daca acestea nu sunt asezate la extremitatile aceluiasi diametru, se poate duce un cerc mare si numai unul.
Teorema 4: Intersectia planelor a doua cercuri mari este un diametru al lor si le imparte in doua parti egale.
Teorema 5: Cea mai scurta distanta pe sfera intre doua puncte de pe suprafata ei este un arc de cerc mare mai mic de 180°.


Axa, polii, polarele , unghiurile sferice si masurarea lor


 Diametrul sferei, perpendicular pe planul unui cerc oarecare dat pe acea sfera, se numeste axa acestui cerc. Axa intalneste suprafata sferei in doua puncte opuse P si P EMBED Equation.3 
 numite poli (fig. 1). Polul se mai numeste si centrul sferic al arcelor de cerc mic. Lungimile arcelor PB EMBED Equation.3 
, PB EMBED Equation.3 
 etc. se numesc raze sferice; daca raza sferica este egela cu 90°, atunci arcul de cerc mare se numeste polara punctelor P si P EMBED Equation.3 
 .


Fig. 1

Ungiul sferic. Unghiurile P si P EMBED Equation.3 
 (fig. 1), sub care se intretaie arcele de cerc mare, se numesc unghiuri sferice. Punctele de intersectie ale arcelor se numesc varfurile, iar arcele, laturile unghiului sferic. La fel ca unghiurile plane, unghiurile sferic pot fi ascutite, drepte si obtuse si pot avea valori de la 0 la 360°.


Reprezentarea sferei pe un plan. Retele stereografice


Se numeste proiectia (perspectiva) punctului M EMBED Equation.3 
 (fig. 2) pe planul de proiectie K, punctual M in care raza OM EMBED Equation.3 
, care trece prin punctual de unde privim O si prin punctual proiecteat M EMBED Equation. 3 
, interscteaza planul K.
Daca punctul de unde proiectam este situat pe suprafata sferi, atunci proiectia in perspectiva se numeste stereografica (fig. 3).
Locul geometric al punctelor care au aceeasi coordonata se numeste linie de coordonate. Liniile de coordonate care au aceeasi longitudine se numesc meridiane, iar liniile de coordonate care au aceeasi latitudine se numesc paralele. Ansamblul acestor doua feluri de linii de coordonate se numeste retea de coordonate pe sfera, iar reprezentarea ei in plan, intr-o proiectie data, se numeste retea cartografica.

 Fig. 2







Fig. 3


Figuri pe sfera. Fusul sferic. Triunghiul sferic. Triunghiul sferic. Triunghiuri polare si simetrice


Fus sferic. Partea din suprafata sferei cuprinsa intre doua semicercuri care au acelasi diametru, se numeste fus sferic; evident, fusul sferic pate fi considerat drept suprafata de rotatie a unui semicerc, cand acesta se roteste in jurul diametrului sau cu un unghi oarecare ±.
Triunghiul sferic. Figura de pe suprafata sferei formata din trei arce de cerc mare care se intretaie in trei puncte, se numeste triunghi sferic. Elementele triunghiului sferic sunt: trei unghiuri, fiecare in parte mai mic de 180°, si trei laturi; daca laturile sunt mai mici decat 2d (d = 90°), atunci triunghiul se numeste triunghi al lui Euler; triunghiurile care au laturile mai mari decat 2d, se numesc triunghiuri Moebius Study.