Metode de calcul ale Electrostaticii Prezentare succinta

Metode de calcul ale Electrostaticii Prezentare succinta

Prin metodele electrostaticii se va intelege metodele de determinare a campurilor si potentialelor electrostatice in diferite medii sau corpuri.

Printre metodele mai importante se pot enumera: 1. metoda elementara; 2. metoda imaginilor; 3. metoda ecuatiei Laplace; 4. metoda diferentelor finite.

In continuare vor fi prezentate, pe scurt, unele dintre aceste metode si anume: 1. metoda elementara, 3. metoda ecuatiei Laplace si 4. metoda diferentelor finite.

Metoda elementara

Aceasta metoda consta in aplicarea legilor si teoremelor specifice regimului electrostatic sub forma integrala. Este usor aplicabila in cazul in care corpurile, respectiv campul electric, prezinta proprietati de simetrie, care permit stabilirea directa a formei liniilor de camp.

Exemplu

Se va calcula campul electric si potentialul unui fir rectiliniu infinit, de forma cilindrica, incarcat uniform cu densitatea de sarcina (fig. 3.6.1).

Se observa ca in acest caz campul este radial si identic in toate punctele pe directia unei raze , aflate la egala distanta de axul conductorului. Se va alege o suprafata de forma unui cilindru care circumscrie o portiune din conductor, coaxial cu aceasta, si se va aplica teorema lui Gauss acestei suprafete:

Dar:

vectorii si in acest fiind perpendiculari intre ei.

Ramane din integrala doar termenul referitor la suprafata laterala, astfel ca:

si fiind omoparaleli.

Integrand relatia (3.6.2) se obtine:

Pe de alta parte, conform aceleiasi teoreme se poate scrie:

Prin egalarea celor doua expresii (3.6.3) si (3.6.4)  se obtine expresia campului electric sub forma:

Cum , rezulta si, inlocuind in (3.6.5), rezulta:

sau, vectorial:

Relatia (3.6.7) exprima intensitatea campului electric intr-un punct oarecare P, la distanta de axul conductorului, considerand raza acestuia comparabila cu aceasta distanta ().

Potentialul electric intr-un punct oarecare P, situat in exteriorul conductorului, este dat de relatia:

presupunand punctul chiar si pe suprafata conductorului infinit.

Rezulta:

relatie care se mai poate scrie sub forma:

Metoda ecuatiei Laplace

Pentru a obtine ecuatia lui Laplace intr-un dielectric omogen (), aflat in camp electric, se va inlocui expresia (forma locala a teoremei potentialului electrostatic) in expresia (forma locala a legii fluxului electric), in conditiile in care in dielectric nu exista distributie de sarcina electrica libera ():

Dezvoltand relatia (3.6.11), se obtine ecuatia lui Laplace:

ce caracterizeaza in orice punct P un dielectric lipsit de sarcini si strabatut de liniile de camp electrostatic (fig. 3.6.2)

Exemplu

Se va determina expresia potentialului electrostatic in orice punct din dielectricul unui condensator plan (fig. 3.6.3).

In acest scop, se poate utiliza metoda ecuatiei Laplace, deoarece in dielectric si dielectricul este omogen ().

Cum campul electric se dezvolta numai dupa directia Ox, ecuatia Laplace se simplifica in acest caz, ramanand:

Integrand de doua ori succesiv relatia (3.6.13), se obtine:

constantele si fiind determinate in urmatoarele conditii:

a. se alege originea potentialelor pe prima armatura, astfel ca pentru x=0; rezulta V(x)=V(0)=0 si, de aici, ;

b. se considera pe armatura din stanga sarcina +q si se aplica legea fluxului electric unei suprafete inchisa care cuprinde aceasta armatura:

Cum , pentru dielectrici liniari,  devine:

Se inlocuieste din expresia:

in cea a fluxului electric, obtinand:

Deoarece si sunt omoparaleli, se mai poate scrie:

Suprafata armaturii condensatorului fiind A, rezulta:

Cum insa, din rel. (3.6.14) :

Inlocuind derivata in (3.6.19), se obtine:

De unde:

Inlocuind pe in expresia potentialului (3.6.14) ,rezulta, in final:

Pentru x=o, V(0)=0, iar pentru x=d:

Verificarea se poate face prin calculul capacitatii electrice a condensatorului plan, utilizand expresia potentialului (3.6.22):

Metoda diferentelor finite

O metoda aproximativa, utilizata in cazul corpurilor cu forme diferite, este metoda diferentelor finite - metoda cu eroare controlabila care foloseste in locul ecuatiilor cu derivate partiale ale potentialului ecuatii cu diferente finite. Se presupune, in acest caz, ca potentialul pe frontiera corpului analizat este dat (cunoscut).

Fie un domeniu bidimensional , caracterizat printr-un camp laplaceian (fara distributie de sarcina electrica, continand numai linii de camp). Se pune problema determinarii repartitiei potentialului electric in acest domeniu (fig. 3.6.4). Pentru aceasta se va imparti domeniul in mici patrate de latura h si se vor nota nodurile retelei astfel obtinute cu (unde k = 1n).

Fiecare punct are coordonatele () si potentialul .

Se dezvolta in serie Taylor potentialele din jurul fiecarui nod ,
unde i = 1.4, dupa care se scriu potentialele punctelor in functie de potentialul :

Se aduna aceste ecuatii si se obtine:

Fiind vorba de un camp Laplaceian, potentialul in fiecare punct al domeniului va satisface ecuatia lui Laplace, care in acest caz are forma:

Problema care se pune deci este de a gasi solutia acestei ecuatii care ia pe frontiera a domeniului anumite valori (conditiile de frontiera).

Neglijand in rel. (3.6.26) termenii in si tinand seama de ecuatia (3.6.27), se obtine ecuatia lui Laplace in diferente finite, bidimensionale, de forma:

care se poate explicita in raport cu :

Concluzie: Potentialul unui nod al retelei este egal cu media aritmetica a potentialelor nodurilor vecine.

Scriind astfel de relatii () pentru toate nodurile si tinand seama de valorile pe frontiera impuse potentialului (considerate aceleasi si in nodurile din vecinatatea frontierei), se obtine un sistem de n ecuatii cu n necunoscute. Pentru rezolvarea sistemului se poate utiliza metoda lui Cramer sau o metoda de numerica, folosind calculatorul electronic.