econometrie - Import, produs intern brut, indicele preturilor bunurilor de consum - Analiza econometrica

econometrie

Import, produs intern brut, indicele preturilor bunurilor de consum

Analiza econometrica

Am preluat datele pentru produsul intern brut (PIB) si valoarea anuala totala a importurilor (IMP) pentru Franta de pe site-ul EuroStat. Pentru acesti doi indicatori unitatea de masura folosita este milioane de euro, iar pentru a asigura comparabilitatea datelor am preluat acele date care au ca baza de comparatie anul 2000. Valorile anuale ale indicilor preturilor bunurilor de consum (IPC) au fost preluate de pe site-ul www.insee.fr. Datele au valori anuale, acoperind perioada 1990-2008. Acestea sunt redate in continuare.

Cu ajutorul comenzii Proc→Generate Series am generat si seriile logaritmice ale acestor serii de date (in dreapta: LN_PIB, LN_IPC, LN_IMP).

Mai intai voi caracteriza relatia dintre valoarea importurilor si produsul intern brut, definita prin urmatorul model de regresie:

IMP_i = a₁ + b₁ * PIB_i + ε_i i=1..19 (1) marimea esantionului este de 19 observatii in acest caz  

Am reprezentat grafic evolutia importului in perioada analizata. Se observa din fig.3 ca predomina o tendinta generala de crestere a valorilor importurilor de la un an la altul, singura exceptie inregistrandu-se in anul 1993, cu o valoare a importurilor mai mica decat in anul precedent. Am caracterizat distributia variabilei IMP prin utilizarea comenzilor View→Descriptive Statistics→Histogram and Stats   In acest fel am obtinut valorile mediei, medianei, dispersiei, valorii minime si maxime, si alte caracteristici ale distributiei.

Urrmaresc sa descriu dependenta dintre variabila PIB si IMP. Pentru aceasta am realizat graficul "norului de puncte", grafic in care sunt reprezentate cele 2 caracteristici pe axe diferite.

Prin utilizarea comenzii Graph→Scatter→Scatter with regression s-a obtinut graficul urmator, grafic ce contine si dreapta de regresie corespunzatoare. 

Se observa o dependenta directa, pozitiva intre valoarea produsului intern brut si valoarea importurilor. Cu cat PIB-ul creste cu atat Franta importa un volum mai mare de bunuri si servicii.  

Dreapta reprezentata este de fapt dreapta de regresie corespuntatoare modelului (1), ai carei parametrii trebuie estimati. Valorile estimatorilor, rezultate in urma aplicarii metodei celor mai mici patrate, sunt date in urmatorul tabel. Ceea ce a rezultat este ca dependenta certa dintre valorea variabilei PIB si IMP este asigurata de valoarea substantial diferita de zero a coeficientului b₁=0.593. Valoarea coeficientului b₁ se interpreteaza astfel: la cresterea cu o unitate a PIB-ului, importurile cresc in medie cu 0.593 unitati. Estimatorul termenului liber are valoarea -531555.3, dar nu are interpretare economica. In acest tabel ne sunt furnizate si alte informatii referitoare la valorile statisticilor t si F, intre care se verifica relatia t²=F sau valoarea raportului de determinare R²=0.995773. Deoarece aceasta valoare este extrem de apropiata de 1 putem conclude ca dependenta dintre cele 2 variabile este una directa (deoarece e pozitiva) si puternica. Mai putem citi din tabel valoarea ajustata a coeficientului de corelatie, suma patratelor erorilor, valoarea statistici Durbin-Watson de care ma voi lega intr-o etapa urmatoarea a proiectului.

Doresc sa testez daca valoarea coeficientului pantei difera semnificativ de zero. Pentru aceasta folosesc testul t-Student.

Am definit ipotezele testului statistic:

H₀: b₁=0;

H₁: b₁≠0;

Se defineste statistica testului:

t=₁/ ₁ t_19-2

Conform datelor din tabelul de mai sus, t_calc=63.28,  iar pentru un prag de semnificatie de 5% si 17 grade de libertate t_α/2,17=2.567.

Cum t_calc>t_α/2,17 se accepta ipoteza alternativa conform careia panta dreptei de regresie difera semnificativ de zero.

In tabelul care caraterizeaza regresia analizata, in coloana Prob avem pragul de semnificatie. Daca valoarea acestuia e mai mica decat 0.05 atunci se respinge ipoteza nula.

Voi testa daca valoarea coeficientului pantei dreptei de regresie difera semnificativ de 1. Pentru aceasta definesc ipotezele testului statistic:

H₀: b₁=1

H₁: b₁≠1

Statistica testului este t = ₁-1/ ₁→ t_19-2

t = 0.59363-1/0.009381 = -43.31 =st1

Am aflat aceasta valoare prin utilizarea comenzii Scalar st1=(@coefs(1)-1)/@stderrs(1)

Dupa ce, in prealabil, am definit modelul de regresie in EViews prin comanda

Equation EQ1.IS IMP c PIB

Pentru luarea unei decizii determin o cuantila a repartitiei t-Student pentru pragul de semnificatie de 0.05 si 17 grade de libertate. Am folosit comanda

Scalar vqst1=@qtdist(0.05,17)

Valoarea vqst1 = -1.739

Deoarece |t_calc|≥t_0.05 se accepta ipoteza nula si anume se poate spune ca valorea estimatorului pentru coeficientul pantei nu difera semnificativ de 1.

Pentru a gasi cu ce probabilitate valoarea importurilor se gaseste intre 2 valori (300000 si 400000) se tine cont de urmatoarele consideratii.

Φ(x) , unde

f(t)exp(-)

Variabila IMP  ~ N(295004, 95876)

Prob_IMP = P((300000-295004)/95876<(IMP-295004)/95876<(400000-295004)/95876)=Φ(0.513)-Φ(-1.043)

scalar Prob_IMP=@cnorm(0.513)-@cnorm(-1.043)

Probabilitatea care se obtine este de 54.75%.

In variabila Prob_IMP se salveaza valoarea probabilitatii.

Pentru a determina daca modelul de regresie este semnificativ preiau din tabelul distributiei F valoarea predeterminata pentru un prag de semnificatie de 0.05.

k-1=2-1=1

n-k=19-2=17

F_0.05 =4.45

Cum F_calc=4004.377> F_0.05 atunci modelul de regresie este semnificativ.

In continuare urmaresc sa confirm sau anulez proprietatea de autocorelare a erorilor pentru modelul de regresie analizat.

In prima figura se prezinta pe doua scale graficul valorilor reale si cel al celor estimate ale caracteristicii IMP, scala din partea stanga, precum si cea a rezidurilor, scala din dreapta. Intr-o alta forma de prezentare avem intr-un tabel valorile reale ale importurilor, cele ajustate, precum si ale rezidurilor. Este prezentat, de asemenea, un grafic al rezidurilor in paralel.

Pentru a pune in evidenta corelatia de ordinul intai poate fi reprezentata grafic in Eviews seria de date (_i-1, _i)_{i=2, 19}

Pentru aceast lucru se foloseste urmatoarea instructiune in Eviews:

scat resid(-1) resid

S-a obtinut urmatorul grafic:

O alta reprezentare a rezidurilor se vede in graficul urmator. Se obsrva o anumita sezonalitate a datelor, erorile osciland intre perioade cu valoare negativa sau pozitiva. Inainte de a aplica testul de verificare a autocorelarii, se observa din grafic ca punctele sunt dispuse in jurul unei drepte. Acest fapt implica prezenta autocorelarii. Pentru a verifica daca erorile sunt corelate de ordinal I sau nu se aplica testul Durbin-Watson. Valoarea statisticii acestui test se gaseste in tabelul caracteristicilor regresiei si are valoarea 0.8136. Pentru a lua o decizie preluam din tabelul distributiei Durbin-Watson valorile D_U si D_L corespunzatoare unui prag de semnificatie de 0.05, pentru 2 parametrii si 19 observatii.

D_U=1.08

D_L=1.53

Cum valoarea calculata D_calc<D_U se respinge ipoteza nula a absentei autocorelarii erorilor. Deci eroarea din anul t-1are o influenta asupra erorii din anul t.

Este necesar sa estimez parametrii modelului de regresie prin eliminarea autocorelarii erorilor. Pentru acest lucru memorez valorile rezidurilor in variabila ERR1 cu ajutorul comenzii genr err1=resid

Estimez parametrii modelului de regresie:

IMP_i= a₁ + b₁ * PIB_i + c₁ * Z_, Z₀=0, Z_i=ERR1_i-1, i=2..19

Acest model are caracteristicile alaturate.

Acest model de regresie nu prezinta fenomenul de autocorelare a erorilor. Deoarece estimatorul pentru variabila Z are o valoare semnificativ diferita de zero, putem spune ca erorile sunt puternic corelate in modelul precedent.

Heteroschedasticitate

Pentru a verifica daca modelul respecta proprietatea de homoschedasticitate am folosit testul White direct implementat in Eviews: View/Residual Tests/White Heteroskedasticity (Cross Terms sau No Cross Terms sunt la fel pentru cazul cu 2 parametrii). Statistica testului este W=T*R²→χ²₁

W_calc=19*0.240145=4.56, iar valoarea tabelara a distributiei χ²_, pentru un grad de libertate este 3.84. Pentru a lua decizia testului comparam cele 2 valori. Cum W_calc>3.84, spunem ca fenomenul de heteroschedasticitate este prezent in model.

Caracterizez relatia dintre valoarea importurilor Frantei si indicele preturilor de consum prin urmatorul model de regresie simpla:

IMP_i = a₂ + b₂ * IPC_i + ε_i i=1..19 (2)

Am realizat un grafic al evolutiei indicelui preturilor bunurilor de consum, precum si cel al distributiei acestuia. Se observa ca distributia este una normala. Din graficul urmator se observa o dependenta directa intre valoarea indicilor preturilor bunurilor de consum si valoarea importurilor.

Din datele furnizate in tabelul rezultat in urma estimarii parametrilor prin metoda celor mai mici patrate putem citi ca estimatorul pantei dreptei de regresie are valoarea b₂=9940.620, care se poate interpreta astfel: la cresterea indicelui preturilor cu o unitate, valoarea importurilor creste in medie cu 9940.620 unitati. Dreapta de regresie este si ea reprezentata in graficul alaturat. Valoarea estimatorului termenului liber este de -719730.1, dar nu are interpretare economica. Deoarece valoarea raportului de determinare este foarte apropiata de 1, dependenta dintre cele 2 variabile este directa si puternica.

Vreau sa pun in evidenta prezenta sau absenta fenomenului de autocorelare a erorilor.

Deoarece din graficul urmator se observa ca erorile sunt asezate de-a lungul unei drepte, putem afirma ca erorile sunt corelate. Pentru a verifica daca erorile sunt corelate de ordinal I sau nu se aplica testul Durbin-Watson. Valoarea statisticii acestui test se gaseste in tabelul caracteristicilor regresiei si are valoarea 0.497. Pentru a lua o decizie preluam din tabelul distributiei Durbin-Watson valorile D_U si D_L corespunzatoare unui prag de semnificatie de 0.05, pentru 2 parametrii si 19 observatii.

D_U=1.08

D_L=1.53

Cum valoarea calculata D_calc<D_U se respinge ipoteza nula a absentei autocorelarii erorilor. Deci eroarea din anul t-1are o influenta asupra erorii din anul t.

Analizez dependenta dintre valoarea produsului intern brut si valoarea indicilor preturilor bunurilor de consum prin urmatorul model de regresie:

PIB_i = a₃ + b₃ * IPC_i + ε_i i=1..19 (3)

Din studierea diferitelor valori obtinute in tabelul alaturat putem afirma ca ecuatia reprezinta un model de regresie.

Din nou erorile sunt autocorelate. Acest lucru se vede din valoarea statisticii Durbin-Watson si din graficele urmatoare.

In urma aplicarii testului White pentru ultimele doua ecuatii a rezultat prezenta fenomenului de heteroschedasticitate in ambele cazuri.

Am aplicat si testul Arch pentru modelul de regresie (1), pentru 8 orizonturi de timp (q)

e_t²=a₀+ Valoarea statisticii este A=19*R²=18.95→χ²₁

Valoarea tabelata din distributia χ² este 3.84. Cum A_calc>A_tab spunem ca exista cel putin un estimator care difera semnificativ de zero, ceea ce implica prezenta heteroschedasticitatii. Am ales modelul cu 8 orizonturi de timp, deoarece in urma estimarii mai multor variante, acestui model ii corespundea valoarea cea mai mica  pentru Akaike Info Criterion. Interpretarea care poate fi data modelului in urma acestui test este ca datele de acum 8 ani influenteaza prezentul. Din graficul alaturat se observa si o dispunere in forma de "palnie"a punctelor (dependenta dintre variabila endogena si reziduri) in jurul unei drepte de regresie, ceea ce este comun cand avem heteroschedasticitate.

Urmatorul grafic arata ca varianta variabilei reziduale este si in functie de indicele preturilor bunurilor de consum (variabila exogena pentru modelul (1)), tot din forma de palnie a distributiei.

Deoarece am aratat anterior ca variabila reziduala este in functie de variabila exogena, putem aplica testul Glejser. Estimez parametrii modelelor de regresie:

|e_t|=a₀ + a₁PIB + u_t,

|e_t|=a₀ + a1*1/PIB + u_t,

|e_t|=a₀ + a₁* + u_t,

dupa care testez daca estimatorul a₁ difera semnificativ de 0. Salvez valorile |e_t| in seria abserr1 prin comanda:

genr abserr1=abs(err1)

Generez seriile sqr(PIB), 1/PIB

Modelul care poate fi acceptat la limita ca relatie intre reziduri si Pib este cel de-al treilea, adica regresia intre valorile absolute ale erorilor si radicalul PIB-ului. Estimatorii sunt cei din tabelul alaturat. Se observa ca relatia nu include termenul liber. Deci dependenta ar fi de forma  |e_t| = a₁* + u_t , t=1..19

Acesta este modelul care ofera cea mai corecta explicitare a termenului liber.

In continuare am definit un model de regresie multipla, folosind importurile ca variabila endogena, respectiv PIB-ul si IPC ca variabile exogene:

IMP_i = α + β * PIB_i + γ * IPC + ε_{i  ,} i=1..19

S-au estimat parametrii acestei regresii in Eviews prin metoda celor mai mici patrate. Caracteristicile modelului sunt prezentate in tabelul urmator. Ceea ce se poate citi la o prima vedere este ca cele 2 variabile, PIB si IPC, au influente de sens contrar asupra importurilor Frantei. Cresterea cu un milion de euro a valorii PIB-ului implica cresterea valorii importurilor cu 0.636 milioane de euro in medie, iar cresterea indicelui preturilor cu un procent determina scaderea importurilor cu -897.67 de milioane de euro in medie.  

In continuare voi testa daca valoarea estimatorului pentru coeficientul IPC difera semnificativ de zero.

Ipotezele testului statistic:

H₀: γ=0;

H₁: γ≠0;

Se defineste statistica testului:

t=/σ→t_19-2

Conform datelor din tabelul de mai sus, t_calc=-1.244025,  iar pentru un prag de semnificatie de 5% si 17 grade de libertate t_α/2,17=2.567.

Cum |t_calc|≤t_α/2,17 se accepta ipoteza nula conform careia panta dreptei de regresie nu difera semnificativ de zero, deci nu poate fi inclusa in ecuatia de regresie.

Urmaresc sa determin care sunt cauzele acestui rezultat. In primul rand, am determinat matricea de corelatie.

Se observa ca exista o corelatie puternica intre variabila dependenta si fiecare din variabilele exogene, dar, in acelasi timp, cele 2 variabile explicative sunt puternic corelate. Datorita acestui fapt, in modelul de regresie definit anterior se manifesta fenomenul de coliniaritate.

Voi testa acest lucru prin utilizarea testului Klein. Din tabelul de regresie avem valoarea raportului de determinare R²=0.996. Coeficientul de corelatie dintre PIB si IPC este r²_pib/ipc=0,95.

Cum R²< r²_pib/ipc intre perechile de variabile PIB si IPC exista o dependenta liniara puternica, deci se manifesta fenomenul de coliniaritate.

Am estimat anterior parametrii modelului format din variabilele explicative PIB si IPC, modelul (3), dar si ai modelului format din IMP, ca variabila endogena si IPC ca variabila exogena, modelul (2). Aceasta reprezinta o modalitate mecanica de eliminare a coliniaritatii.

Bibliografie

- "Econometrie", T. Andrei, Editura Economica, Bucuresti, 2008

- "Introducere in econometrie utilizand EViews", T. Andrei, Editura Economica, Bucuresti, 2008

- https://epp.eurostat.ec.europa.eu