Estimarea formei semnalului (varianta discreta)

Estimarea formei semnalului (varianta discreta)

			x=H*r

n

	x

Filtru liniar discret(Wiener discret)

X=   n=   

semnal de transmis zgomot semnal receptionat

zgomotul este aditiv(rel. 1)

semnalul estimate (filtrare liniara) (rel. 2)

matriceaa filtrului: (H)_NxN=

filtrarea inseamna eliminarea (pe cat posibil) a zgomotului

(rel.3) se doreste minimizarea lui

Ipoteze se dau (rel.4 matricea de covariatie a semnalului unde (rel.5).

(rel.6) = maatricea de covariatie a zgomotului, unde (rel.7).

Mai presupunem:  (rel.8 (nu afecteaza prea mult generalitatea )

deci rel.4 si rel.6 devin matrici de corelatie:

=0 (rel.10) matricea de corelatie mutuala intre semnal sizgomot e ste nula (se intampla in majoritatea cazurilor)adica x si n sunt necorelate.

=

din rel.8,9,1 rezulta

Ipotezele de mai sus sunt de fapt statistica semnalului si zgomotului, utile la proiectarea filtrului:

Din rel.2 si 3 rezulta =

si (B, A matrici astfel incat sa existe produsul)

, iar   =C ;

Scoatem H din rel.12 a.i. sa fie minim. Conditia necesara (nu suficienta) pentru extremul unei functii.este derivata =0.

Aici nu avem derivata, gradient (care contine derivate partiale). Aici conditia necesara (care este si suficienta) va dveni:

   ; - echivalenta cu N ecuatii scalare;

rel.15

rel.16

rel.17

(12) ((12)..)=0

Se considera (15),(16),(17)

rel.18

=E

=E()^-1 rel.19 - filtrul obtinut Wiener discret se mai numeste si filtru Wiener discret vectorial

Caz particular:

- matricea diagonala filtrul Wiener discret scalar

Filtrul Wiener discret scalar:

Scop: reducerea volumului computational (care la filtrul scalar e foarte mare) adica optimizarea algoritmului.

Filtrul scalar H = mat.diagonala N multiplicari, fata de N² in cazul filtrului vectorial, in relatia:

  rel.18

filtrul va arata astfel:

	T x

	T				T-1

x

T transformata ortogonala, adica:  rel.20

La filtrul vectorial aveam , aici : (se deduce din schema ), unde H este pentru filtrul scalar

(de acum vom nota H_scalar=H)

in (18) vom avea:

ecuatia filtrului scalar rel.21

   rel.22

rel.23

H₀

rel.24

rel.25

vectorii propii ai matricei

rel.26 i=0,1,2, . .,N-1

Din (23),(24),(25),(26),(27)