Marile Sinteze ale lui Newton

. Sintezele lui Newton


Kepler propusese trei Legi ale miscarii planetelor bazate pe datele lui Brahe. Se presupunea ca aceste Legi sunt valabile numai in cazul miscarii planetelor; nu se mentiona nimic despre celelalte miscari din Univers. Era clar ca aceste legi erau valabile, dar nimeni nu cunostea o explicatie a acestora.
Newton a schimbat toate acestea.La inceput, el a demostrat ca miscarea obiectelor pe Pamant poate fi descrisa de cele trei noi Legi ale miscarii. Newton a aratat ca cele trei Legi ale miscarii planetelor ale lui Kepler nu erau altceva decat cazuri particulare ale propriilor sale legi (se presupunea ca intre toate corpurile din Univers care poseda masa exista forte de atractie gravitationala). De fapt, Newton a mers chiar mai departe: el a aratat ca Legile miscarilor planetelor ale lui Kepler erau numai aproximativ corecte, si a facut corecturile cantitative care cu observatii detaliate s-au demonstrat a fi valabile.


. Atractia universala. Camp gravitational.


In urma observatiilor astronomice, J.Kepler a stabilit in anul 1916 legile care descriu miscarea planetelor in jurul Soarelui. Acestea, numite si legile lui Kepler, sunt urmatoarele:
- planetele se misca pe elipse ce au Soarele situat intr-unul dintre focare;
- raza vectoare a planetei descrie arii egale in intervale de timp egale.
- patratele perioadelor de revolutie sunt direct proportionale cu cuburile semiaxelor mari, adica
T2 = CR3
unde prin perioada de revolutie T se intelege timpul in care planeta descrie o elipsa completa.
P B B


r A
B ' r + r


r
A

A ' S
Daca raza vectoare a planetei descrie ariile SAA ' si SBB ' in intervale egale de timp, conform legii a doua a lui Kepler, aceste arii sunt egale.
In cele ce urmeaza vom trata Soarele si planete ca pe niste puncte materiale, avand in vedere ca dimensiunile lor sunt neglijabile in comparatie cu distantele ce le separa.
In anul 1687 I. Newton a reusit sa explice legile miscarii planetelor presupunand ca Soarele exercita o forta de atractie asupra planetelor.Aceasta forta de atractie se manifesta ca o forta centripeta ce obliga fiecare planeta in parte sa se miste dupa o curba inchisa de forma unei elipse. Newton a demonstrat ca daca se admite ca forta de atractie F din partea Soarelui care actioneaza asupra planetei P este proportionala cu produsul dintre masele acestora si invers proportionala cu patratul distantei r dintre ele, fiind indreptata catre Soare dupa directia PS, atunci pot fi explicate cele trei legi ale lui Kepler. S-a presupus deci ca forta este data de relatia

Ms mp
F = K
r2

unde Ms este masa Soarelui, mp este masa planetei iar K este o constanta de elasticitate.
Sa cautam sa demonstram legile lui Kepler .
Pentru a scrie pe F sub forma vectoriala, sa consideram vectorul r indreptat de la S la P si sa avem ca forta are directia lui r , dar sensul contrar al acestuia. Prin urmare
Ms mp r Msmp
F = -K = -K r
r2 r r3

Momentul acestei forte fata de punctul S este
Msmp
MF = r X F = -K r X r = 0
r3
Folosind ecuatia, L0 /t = 0, rezulta ca momentul cinetic L = r x p este constant in timp, pastrand aceeasi marime, directie si sens in tot timpul miscarii.
Din produsul vectorial L= r X p se observa ca L  r si L p, ceea ce inseamna ca vectorii r si p sunt perpendiculari in tot cursul miscarii pe vectorul constant L, adica r si v, deci si traiectoria, se afla in planul perpendicular pe L, plan care trece prin S. Traiectoria miscarii este o curba care se gaseste in acelasi plan.
Determinarea formei geometrice a acestei traiectorii plane necesita calcule mai complicate care arata ca traiectoria este fie o elipsa, fie o parabola, fie o hiperbola , dupa cum viteza initiala a corpului aflat sub actiunea fortei este mai mare sau mai mica. In cazul planetelor viteza initiala corespunde conditiilor de miscare pe elipse.
In concluzie, forta de atractie explica prima lege a lui Kepler.
Sa consideram acum o portiune din traiectorie. Aria S a triunghiului ASB
este data de modulul vectorului

1
S = r X r
2
Impartind cu intervalul de timp t, in care Pamantul s-a deplasat din A in B, obtinem


S = 1 r X r
t 2 t

si daca presupunem t foarte mic (t0), rezulta



S = 1 r X v = 1 rrr X p = 1 L
t 2 2mp 2mp

Deoarece pentru r foarte mic arcul AB coincide cu coarda AB(in limita t0), S=1/2mpLt este tocmai aria suprafetei masurate de raza vectoare in intervalul de timp t. Deoarece L=constant, pentru orice interval de timp t putem scrie


S = 1 mpLt
2


Se vede imediat din ultima relatie ca in unitatea de timp, indiferent de pozitia instantanee a planetei pe traiectorie, raza vectoare a acesteia descrie o suprafata de aceeasi marime, S/t=L/2mp
Prin urmare, in intervale de timp egale, raza vectoare a planetei descrie arii egale; am obtinut deci si a doua lege a lui Kepler.