Oscilatorul amortizat si intretinut

Oscilatorul amortizat si intretinut

Studiul acestor oscilatii este deosebit de important din punct de vedere tehnic deoarece majoritatea oscilatiilor prezente la diferite utilaje in functiune sunt oscilalatii amortizate si intretinute.

Forta perturbatoare care intretine oscilatia poate sa fie de natura diferita.

Prezinta interes: - fortele perturbatoare de forma sinusoidala;

fortele perturbatoare generate de masa excentrica in miscare de rotatie.

1 Oscilatii amortizate si intretinute de forta perturbatoare sinusoidala

Modelul mecanic al unui astfel de oscilator este prezentat in figura 3.19.

Ecuatia diferentiala a miscarii este:

(3.4.54)

sau:   (3.4.55)

Impartind aceasta expresie cu m se obtine ecuatia diferentiala neomogena de ordinul doi:

(3.4.56)

in care s-a notat:

factorul de amortizare;

patratul pulsatiei proprii de oscilatie;

acceleratia corpului sub actiunea fortei constante F₀.

Solutia ecuatiei diferentiale, sau ecuatia de miscare este egala cu solutia x₁ a ecuatiei omogene (3.4.16), plus o solutie particulara x₂ a ecuatiei diferentiale (3.4.56), de forma termenului liber (perturbator): x = x₁ + x₂

Prima solutie x₁ este data de relatia (3.4.23) iar cea de-a doua solutie este de forma:

(3.4.57)

Deci:

(3.4.58)

Cele doua oscilatii x₁ si x₂ precum si oscilatia rezultanta x sunt prezentate grafic in figura 3.20.

Se observa din graficul miscarii ca exista doua regimuri de oscilatie, diferite.

La intervale scurte de timp de la inceperea oscilatiei, miscarea oscilatorie este nearmonica. Acest regim de oscilatie se numeste regim tranzitoriu.

Dupa scurgerea unui interval de timp destul de lung, deoarece amplitudinea oscilatiei x₁ tinde spre zero, oscilatia rezultanta va fi descrisa de x₂. Acest regim de oscilatie se numeste regim permanent, iar miscarea oscilatorie a sistemului este armonica, de ecuatie:

(3.4.59)

Deci, in regim permanent, oscilatia amortizata si intretinuta de o forta perturbatoare este o oscilatie armonica, de amplitudine A₂ si de faza initiala j . Aceste doua constante se pot determina inlocuind solutia particulara x_2, prima derivata a acesteia si cea de-a doua derivata in ecuatia diferentiala a miscarii (3.4.56). Prin identificarea termenilor ecuatiei se obtine un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute A₂ si j descrise de relatiile:

(3.4.60)

(3.4.61)

Aceste doua relatii se pot aduce sub o alta forma daca se imparte atat numaratorul cat si numitorul cu . Se obtine:

(3.4.62)

(3.4.63)

In aceste relatii se inlocuieste: in care c este coeficientul de amortizare vascoasa iar c_cr. este coeficientul critic de amortizare vascoasa, definit de relatia (3.4.19). Se obtine:

(3.4.64)

(3.4.65)

In aceste relatii x_st. este deformarea statica iar este o marime adimensionala, numita factor de amplificare, avand expresia:

(3.4.66)

Deformarea statica x_st. mai poate fi scrisa:

(3.4.67)

si reprezinta alungirea elementului elastic de constanta elastica k sub actiunea fortei constante F₀, egala cu valoarea maxima a fortei perturbatoare sinusoidale.

Deci amplitudinea oscilatorului amortizat si intretinut este egala cu produsul dintre deformarea statica x_st. si factorul de amplificare .

Se observa ca atat amplitudinea A₂ cat si faza initiala j depind de raportul si de raportul . Graficul ce reprezinta dependenta factorului de amplificare de raportul pentru diferite valori ale raportului este prezentat in figura 3.21.

Familia curbelor, numite curbe de rezonanta sau curbe de raspuns, prezinta maxime ale caror valoare maxima scade atunci cand creste valoarea raportului . De asemenea se poate constata ca maximul factorului de amplificare se produce la valori tot mai mici ale raportului pe masura ce creste raportul . In lipsa amortizarii, raportul are valoarea zero, obtinandu-se astfel curba de raspuns, la forta perturbatoare, a oscilatorului neamortizat si intretinut de forta perturbatoare sinusoidala.

Graficul de variatie a fazei initiale j in functie de raportul pentru diferite valori ale raportului este prezentat in figura 3.22. Din acest grafic se observa ca in lipsa amortizarii oscilatia rezultanta este in faza cu forta perturbatoare (j = 0), pentru valori subunitare ale raportului . La valori supraunitare ale raportului , oscilatia rezultanta este in opozitie de faza cu forta perturbatoare (j p) . De asemenea se observa ca, indiferent de valoarea raportului , toate curbele trec prin acelasi punct de abscisa si ordonata .

Pentru a putea afla valoarea amplitudinii oscilatiei la rezonanta, trebuie determinata valoarea raportului la rezonanta. Maximul curbei, la rezonanta, pentru un anumit grad de amortizare, se obtine derivand factorul de amplificare in raport cu si punand conditia ca derivata sa fie egala cu zero. Efectuand aceasta derivata si punand conditia de rezonanta se obtine: (3.4.68)

Inlocuind aceasta valoare in expresia amplitudinii si a fazei initiale se obtine:

(3.4.69)

(3.4.70)

Din punct de vedere practic este foarte important sa se cunoasca valoarea amplitudinii sistemului oscilant, la rezonanta, pentru a putea preveni efectele nedorite, datorita intrarii sistemului in rezonanta cu forta perturbatoare. Se cunosc numeroase cazuri cand sisteme oscilante au fost distruse datorita amplitudinii prea mari a oscilatiei sistemului cand acesta intra in rezonanta cu forta perturbatoare.

Exista insa, situatii cand fenomenul de rezonanta este provocat, in scopuri utile. Aparatele pentru masurarea frecventelor oscilatiilor se bazeaza tocmai pe fenomenul de rezonanta.

2 Oscilatii amortizate si intretinute de forta perturbatoare generata de masa excentrica in rotatie

Modelul mecanic al oscilatorului este prezentat in figura 3.23. Forta perturbatoare este tocmai componenta verticala a fortei centrifuge ce actioneaza asupra corpului de masa m₀ care se roteste cu viteza unghiulara w pe o traiectorie circulara de raza r.

Studiul acestui oscilator este asemanator cu cel al oscilatorului amortizat si intretinut de forta perturbatoare sinusoidala. In acest caz forta perturbatoare este data de componenta verticala a fortei centrifuge:

    (3.4.71)

Rezultatul la care se ajunge este acela ca la cazul prezentat anterior si anume ca miscarea oscilatorie este armonica (in regim permanent), de pulsatie identica cu pulsatia fortei perturbatoare.

Faza initiala a oscilatiei este, de asemenea, aceeasi cu cea data de relatia (3.4.65), insa amplitudinea oscilatiei este diferita si are expresia:

(3.4.72)

deoarece:  (3.4.73)

Factorul de amplificare , in cazul oscilatiilor amortizate si intretinute de forta perturbatoare generata de masa excentrica in rotatie, are expresia:

(3.4.74)

Dependenta factorului de amplificare de raportul pentru diferite valori ale raportului este prezentata in figura 3.24.

Curbele de rezonanta difera de cele prezentate in cazul oscilatiilor amortizate si intretinute de forta perturbatoare sinusoidala.

Curbele care arata dependenta fazei initiale de raportul sunt identice cu cele prezentate in figura 3.22.

Studierea, in continuare, a comportarii sistemului la rezonanta se face asemanator cu cea de la oscilatorul amortizat si intretinut de forta perturbatoare sinusoidala.

Si in acest caz apar fenomene nedorite in tehnica. De exemplu, sa consideram un motor cu o anumita excentricitate a rotorului. Prin rotatie, rotorul creaza o forta perturbatoare periodica, ce produce trepidatia motorului impreuna cu suportul pe care se gaseste. La rezonanta, motorul transmite suportului energie maxima, iar amplitudinea oscilatiilor poate atinge valori periculoase. Daca turatia motorului se modifica, sistemul iese din regimul de rezonanta si amplitudinea oscilatiilor scade.