Rotorul unei functii vectoriale

Rotorul unei functii vectoriale

Se analizeaza integrala de linie pe un contur inchis (C) a unei functii vectoriale definita in spatiul tridimensional. Curba inchisa (C) margineste o infinitate de suprafete si se alege o suprafata oarecare dintre acestea (fig.A.4.5.).

Denumirea intergalei de linie este circulatia functiei vectoriale si se noteaza:

(A.4.17)

unde este elementul de drum (un vector infinitezimal tangent la curba (C) in punctul respectiv).

Fig.A.4.5.

Exista doua sensuri de parcurgere a curbei (C); pentru a determina directia si sensul lui , se alege unul din ele. Se traverseaza suprafata (S_C) pe drumul (B) formand doua bucle (C₁) si (C₂), ambele cuprinzand drumul (B) (fig.A.4.6.). Se observa ca:

G G G (A.4.18)

deoarece:

(A.4.19)

Fig. A.4.6.

Daca se continua divizarea in bucle mai mici: C₁, C₂, . . . , C_k, . . ., C_n suma integralelor nu se schimba:

,

adica:

. (A.4.20)

Se poate continua subdivizarea cu scopul ca la limita sa se obtina o caracteristica cantitativa locala a functiei vectoriale. Micsorand buclele, se micsoreaza circulatia, dar si aria suprafetelor delimitate de bucle, astfel incat se va considera raportul dintre circulatia unei bucle si aria buclei.

Alegand versorul suprafetei , limita (limita trebuie sa existe si sa fie independenta de modul de divizare):

, (A.4.21)

reprezinta o marime scalara asociata punctului P aflat pe suprafata in functia vectoriala si directiei . Alegand trei directii independente se obtin trei numere diferite. Acestea pot fi considerate componentele unui vector numit rotor :

(A.4.22)

Se observa ca este o functie vectoriala de coordonate. Directia vectorului rot in orice punct, este normala la planul ce trece prin acel punct pentru care marimea circulatiei este maxima.

Marimea rotorului este egala cu valoarea limita a circulatiei pe unitatea de arie a planului din jurul punctului ales.

In coordonate carteziene, expresia rotorului functiei este:

, (A.4.23)

ce poate fi scrisa si sub forma:

. (A.4.24)

Pentru demonstrarea relatiilor (A.4.23) si (A.4.24) se calculeaza, pentru inceput, rot cand functia vectoriala (x,y,z) este data explicit pentru drumul ce delimiteaza un element de suprafata dreptunghiulara, paralela cu planul xOy; in acest caz (fig.A.4.7 a, b). Integrala de linie a functiei pe un asemenea drum depinde de variatia lui F_x cu y si de variatia lui F_y cu x.

In aproximatia de ordinul intai, diferenta dintre valoarea medie a lui F_x pe segmentul de sus pentru y+Dy si valoarea medie pe segmentul de jos pentru y este:

,

deoarece la mijlocul segmentului inferior:

;

iar la mijlocul segmentului superior:

Fig.A.4.7.a Fig.A.4.7.b.

Contributia finala la circulatie este data de produsul dintre diferenta valorilor medii si lungimea elementului de drum x. Aceasta contributie este egala cu ; semnul minus aparand intrucat integrarea se face de la dreapta la stanga pe latura de sus a dreptunghiului si, daca componenta pozitiva F_x este mai mare sus, ea da o contributie negativa in circulatie. Contributia celorlalte laturi este , semnul fiind plus deoarece componenta F_y este mai mare pe latura din dreapta; contributia acestor laturi in circulatie fiind deci pozitiva.

Pentru suprafata dreptunghiulara considerata, circulatia functiei va fi:

(A.4.25)

Cum Dx Dy este aria dreptunghiului, conform definitiei (A.4.22), avem:

; cand (A.4.26)

Analog, pentru si se obtine:

; cand (A.4.27)

si respectiv:

pentru (A.4.28)

Cumuland relatiile (A.4.26), (A.4.27), (A.4.28), in cazul general, se obtine, in final:

(A.4.29)