Analiza matematica - Definitii si teoreme ptr examen

Analiza matematica - Definitii si teoreme ptr examen

Definitii

1.Fie f: D , D ,c punct de acumulare ce apartine lui D. Daca exista , se numeste derivata lui f in c si se noteaza f '(c). Spunem in acest caz ca f este derivabila in c.

Legatura dintre derivabilitate si continuitate : Fie f:D, D ,c punct de acumulare al lui D ce apartine lui D. Daca f este derivabila in c rezulta f continua in c. (Continuitatea este o conditie necesara pentru derivabilitate dar nu si suficienta. Exemplu: f:R ,f(x)=|x|, pentru orice x din R)

2. Fie f:D,D si c un punct din D.

c se numeste punct de maxim local(relativ) al functiei f daca exista astfel incat pentru orice avem

c se numeste punct de minim local(relativ) al functiei f daca exista astfel pentru orice avem

3.a)Fie f:D unde si c punct interior al lui D si fie .Un vector se numeste derivata lui f in c dupa vectorul u (sau dupa directia u daca ||u||=1), daca exista limita si .

b)Fie f:D unde si c punct interior al lui D. Fie pentru orice , unde 1 este pe pozitia i. Atunci daca exista ,respectiv ele se numesc derivata partiala a lui f in c in raport cu variabilele respectiv derivata partiala a lui f in raport cu variabilele.

4. Fie . f este diferentiabila (derivabila) in c daca exista o aplicatie liniara ( ie ) astfel incat

5. Pentru o functie siastfel incat exista si sunt continue derivatele partiale de ordinul al II-lea ale lui f pe o vecinatate a lui c, definim diferentiala de ordin 2 a lui f in c ca fiind aplicatia : ,data de.

Analog pentru o functie si astfel incat exista si sunt continue derivatele partiale de ordin 3ale lui f in c, definim diferentiala de ordin 3 ca fiind aplicatia data de

Analog se defineste diferentiala de orice ordin intr-un punct.

6.Fie functia si.Daca derivatele partiale de ordin 1 exista si sunt continue in c spunem ca f este de clasa C¹ in c. Daca si f este de clasa C¹ in orice punct din D₀ spunem ca f este de clasa C¹ pe D₀.

7. Fie marginite. O suma Riemann-Stieltjes a lui f in raport cu g corespunzatoare partitiei a lui [a,b] are forma .( O partitie (sau diviziune) a lui [a,b]este o familie finita de intervale inchise care au in comun cel mult un punct si a caror reuniune este [a,b]).

(*)Fie marginite. Spunem ca f este integrabila Riemann-Stieltjes in raport cu g daca exista un numar real I cu proprietatea ca pentru partitie a lui [a,b] astfel incat pentru orice partitie P care este rafinare a lui si orice suma Riemann-Stieltjes S(P;f,g) corespunzatoare lui P avem In acest caz I este unic determinat si se numeste integrala Riemann-Stieltjes a lui f in raport cu g si notam

Cand g(x)=0, pentru orice x din [a,b] spunem ca f este integrabila Riemann.

8. Un interval inchis din este o submultime J a lui de forma . Masura lui J este numarul .

O submultime Z a lui se numeste de masura nula daca pentru orice exista o familie finita de intervale inchise astfel incat Z este continuta in reuniunea elementelor acestei familii si

(Pentru D o submultime marginita a lui care are frontiera de masura nula , spunem ca D este masurabila si definim masura lui D notata cu A(D) ca fiind )

9.Fie o multime compacta iar o functie marginita. O suma Riemann a lui f corespunzatoare partitieia lui are forma Un element se numeste integrala Riemann a lui f daca pentru orice partitie a luiastfel incat pentru orice partitie P care este rafinare a lui si orice suma Riemann S(P;f) corespunzatoare lui P avem . In acest caz L este unic determinat nu depinde de si se numeste integrala Riemann a lui f pe D si se noteaza sau,pentru p=2 sau pentru p=3

10. Fie ,f o functie cu valori reale al carei domeniu de definitie contine pe (a,b]. Presupunem f este integrabila Riemann pe orice interval [c,b] unde si notam .Definim integrala improprie a lui f pe J=[a,b] ca fiind .

In cadrul de mai sus daca exista I numar real astfel incat pentru astfel incat pentru spunem ca I este integrala improprie a lui f pe J=[a,b] si vom nota aceasta valoare prin

11.In cadrul definitiei 10 ,in cazul in care exista , se noteaza cu (CPN) si se va numi valoarea principala Cauchy a integralei.

12. a)Fie .Daca exista atunci spunem ca f este absolut integrabila pe sau ca converge absolut.

b)Fie . Presupunem ca pentru Vom spune ca aceasta convergenta este uniforma (in raport cu ) daca pentru astfel incat pentru orice avem.Definitii similare exista si pentru

13.Daca sir de elemente din definim seria generata de ca fiind sirul .Daca S este convergent limita lui S se numeste suma seriei.

14.Daca este un sir de elemente din spunem ca seria este absolut convergenta daca seria este convergenta. O serie se numeste semiconvergenta daca este convertgenta dar nu este absolut convergenta.

15. Pentru seriile cu termeni din se defineste produsul Cauchy al lor ca fiind seria .

16.a)Daca sir de functii cu ,iar sirul sumelor sale partiale unde converge pe D catre spunem ca seria converge pe D catre f.

b)Daca pentru converge spunem ca seria converge absolut pe D.

c)Daca converge uniform catre spunem ca seria converge uniform pe D catre f.

17.O serie de functii se numeste serie de puteri in jurul lui c daca pentru astfel incat

18.Fie o serie de puteri.Daca sirul este marginit fie .Daca sirul este nemarginit fie Definim raza de convergenta a serie de puteri ca fiind .

TEOREME

Teorema lui Fermat: Fie punct de maxim(sau minim)local al functiei f. Daca f este derivabila in c atunci f '(c)=0.

2.Teorema lui Rolle: Fie ,f continua pe [a,b] si derivabila pe (a,b)astfel incat f(a)=f(b).Atunci exista un punct astfel incat f '(c)=0.

3.Teorema Lagrange : Fie ,f continua pe [a,b] si derivabila pe (a,b). Atunci exista un punct astfel incat

4.Teorema lui Cauchy: Fie ,continue pe [a,b] si derivabile pe (a,b). Atunci exista un punct astfel incat .

5.Teorema lui Darboux : Fie ,unde I este un interval din R, o functie derivabila. Atunci pentru orice J, interval inclus in I, f '(J)este interval.

6.Teorema lui Taylor : Fie o functie cu urmatoarele proprietati: exista si sunt continue si exista .Atunci pentru orice astfel incat .

7.Regula lui L'Hopital Fie si I un interval din R astfel incat .Se considera doua functii cu urmatoarele proprietati:

a)

b) f si g sunt derivabile si g'(x) 0 pentru orice

c) exista

Atunci:

i)g(x) 0 pentru orice (respectiv exista o vecinatate V a lui astfel incat g(x)

ii)exista

8.Teorema de pemutare a limitei cu derivata Fie un sir de functii unde pentru unde I interval marginit din R. Sa presupunem ca exista astfel incat sirul converge,ca,pentru este derivabila si ca sirul converge uniform pe I catre o functie derivabila si mai mult f '=g.

9.Caracterizarea derivabilitatii pentru functii de o variabila reala

Fie .Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) f este derivabila in c

b) exista o aplicatie liniara ( ie )

astfel incat.

10.Legatura dintre diferentiabilitate si continuitate

Fie . Daca f este diferentiabila in c atunci exista astfel incat pentru orice x din D cu proprietatea ca .In particular f este continua in c.

11.a)Legatura dintre diferentiabilitate si existenta derivatelor partiale

Fie .Daca f este diferentiabila in c atunci exista .

b)Criteriu de diferentiabilitate

Fie .Daca exista V o vecinatate a lui c pe care exista toate derivatele partiale si sunt continue in c,atunci f este diferentiabila in c.

12.Operatii algebrice cu functii diferentiabile

Fie .

a)Daca f si g sunt diferentiabile in c atunci este diferentiabila in c si .

b)Daca f si g sunt diferentiabile in c atunci k=f*g este diferentiabila si Dk(c)(u)=Df(c)(u)g(c)+f(c)Dg(c)(u) pentru

c)Daca este diferentiabila in c atunci este diferentiabila in c si .

13.Teorema de diferentiabilitate a functiilor compuse

Fie astfel incat . Daca f este diferentiabila in c iar g diferentiabila in este diferentiabila in c si

14.Teorema Lagrange-cazul multidimensional

Fie astfel incat iar f este diferentiabila in orice punct din (a,b). Atunci exista un punct astfel incat  f(b)-f(a)=Df(c)(b-a)

15.Teorema lui Schwarz

Fie unde U este o vecinatate a lui (x,y) pentru care exista in orice punct din U si astfel ca sa fie continua in (x,y).Atunci exista .

16.Teorema lui Taylor -cazul multidimensional Fie o functie astfel incat pentru orice punct din (u,v) exista o vecinatate a sa pe care exista si sunt continue derivatele partiale de ordin n ale lui f. Atunci exista .

17. Teorema de injectivitate locala

Fie .Daca f este de clasa C¹  pe D si Df(c)este injectiva atunci exista astfel incat este injectiva.

18.Teoreme de surjectivitate locala

Fie . Daca f este de clasa C¹ pe D si Df(c) este surjectiva atunci exista astfel incat pentru si f(x)=y.

19.Teorema aplicatiei deschise

Fie de clasa C¹pe D astfel ca Df(x)este surjectiva pentru orice x din D.Atunci f(D) este deschisa. Mai mult pentru orice , f(G) este deschisa.

20.Teorema de inversiune locala

Fie de clasa C¹pe D si astfel incat Df(c)este injectiva. Atunci exista U o vecinatate a lui c cu proprietatea V=f(U) este o vecinatate a lui f(c),f:U->V este bijectiva iar g=f^-1:V->U este continua . Mai mult g este de clasa C¹ pe D si daca iar x=g(y) U atunci Dg(y) = D(f^-1) (f(x))=(Df(x))^-1.

21.Teorema functiilor implicite

Fie F o functie , de clasa C¹pe o vecinatate a lui .

Presupunem ca Fsi ca aplicatia data de L(u)=DFeste bijectiva. Atunci exista o functie de clasa C¹ pe o vecinatate W a lui astfel incat .

22.Teorema lui Ferma-cazul multidimensional

Fie .Daca c este un punct de extrem local al lui f iar f este diferentiabila in c atunci Df(c)=0.

23.Criteriu de stabilire a punctelor de extrem pentru functii de mai multe variabile

Fie care are derivate partiale de ordin 2 continue si un punct critic al sau. Atunci:

a) daca D²f(c)(w)²>0 , atunci c este un punct de minim relativ al lui f.

b) daca D²f(c)(w)²>0 , atunci c este un punct de maxim relativ al lui f.

c) daca exista astfel incat D²f(c)(w₁)²>0 si D²f(c)(w₂)²<0 atunci c este un punct sa pentru f.

24.Teorema multiplicatorilor lui Lagrange

Fie f si g clasa C¹pe cu valori in R si astfel incat g(c)=0. Presupunem ca exista V₀ vecinatate a lui c astfel ca cu proprietatea suplimentara g(x)=0.

25.Criteriul Cauchy pentru integrala Riemann-Stieltjes

Fie f,g:[a,b]->R,functii marginite,f este integrabila Riemann-Stieltjes in raportcu g daca si numai daca pentru partitie a lui [a,b] astfel ca pentru orice partitii P si Q care sunt rafinari ale lui si orice sume Riemann-Stieltjes S(P;f,g) si S(Q;f,g) corespunzatoare lui P, respectiv Q avem:|S(P;f,g)-S(Q;f.g)|< .

26.Teorema de integrare prin parti

Fie f,g:[a,b]->R, functii marginite. Atunci f este integrabila Riemann-Stieltjes in raport cu g daca si numai daca g este integrabila Riemann-Stieltjes in raport cu f caz in care avem: .

27.Teorema de integrabilitate a functiilor continue

Fie f,g:[a,b]->R.Daca f este continua iar g este monotona atunci f este integrabila Riemann-Stieltjes in raport cu g.

28.Teorema de permutare a limitei cu integrala

Fie g:[a,b]->R crescatoare iar este un sir de functii integrabile Riemann-Stieltjes in raport cu g care converge uniform catre f:[a,b]->R. Atunci f este integrabila Riemann-Stieltjes in raport cu g si

29.Teorema convergentei marginite

Fie un sir de functii integrabile Riemann cu proprietatea ca exista M numar real astfel incat pentru Daca converge simplu catre functia integrabila Riemann f:[a,b]->R atunci: .

30.Teorema convergentei monotone

Fie un sir monoton de functii integrabile Riemann care converg simplu catre functia integrabila Riemann f:[a,b]->R atunci:

31.Teorema de reprezentare a lui Riesz

Fie G:C([a,b])->R o functionala liniara pozitiva si marginita. Atunci exista o functie crescatoare g:[a,b]->R astfel incat

32.Prima teorema de medie

Fie f,g:[a,b]->R, g crescatoare iar f continua . Atunci exista c din [a,b] astfel incat:

33.a)Teorema de derivare:

Fie f,g :[a,b]->R, g crescatoare iar f continua. Atunci ,daca g este derivabila in , functia F:[a,b]->R data de F(x)= este derivabila in c si F'(c)=f(c)g'(c).

b)Teorema fundamentala a calculului integral.:

Fie f:[a,b]->R continua. Atunci o functie F:[a,b]->R satisface relatia F(x)-F(a)= daca si numai daca F'=f.

34.Teorema de reducere a integralei Riemann-Stieltjes la integrala Riemann

Fie f,g:[a,b]->R. Daca g este derivabila cu derivata continua iar f este integrabila Riemann-Stieltjes in raport cu g , atunci fg' este integrabila Riemann si .

35.Prima teorema de medie pentru integrala Riemann

Fie f,g:[a,b]->R doua functii continue iar .Atunci exista astfel ca .

36.Teorema de integrare prin parti

Fie f,g:[a,b]->R doua functii derivabile cu derivata continua .Atunci .

37.A doua teorema de medie

a)Fie f,g:[a,b]->R, f crescatoare iar g continua. Atunci exista astfel ca .

c) Fie f,g:[a,b]->R, f crescatoare iar g continua. Atunci exista astfel ca .

38.Teorema de schimbare de variabila

Fie derivabila cu derivata continua atfel incat . Fie f o functie al carei domeniu de definitie include imaginea functiei si care este continua pe imaginea lui . Atunci : .

39.Formula lui Leibniz

Fie a,b,c,d o functie continua pentru care exista si este continua pe D.Fie doua functii derivabile. Atunci functia data de este derivabila si .

40.Teorema de inversare a ordinii de integrare

Fie a,b,c,d o functie continua.Atunci:

.

41.Formula lui Taylor cu restul integral

Fie a,b sa fie continue. Atunci : .

42.Criteriul lui Cauchy pentru integrala multipla

Fie o multime compacta iar f:D->R o functie marginita. f este integrabila Riemann pe D daca si numai daca pentru partitie a lui I_f, astfel ca pentru orice partitii P si Q care sunt rafinari ale lui si orice sume Riemann S(P;f)si S(Q;f) corespunzatoare lui P respectiv Q avem |S(P;f)-S(Q;f)|< .

43.A doua teorema de integrare pentru functii de mai multe variabile

Fie continua, unde D este o submultime compacta a lui care are frontiera de masura nula.Atunci f este integrabila pe D.

44.Teorema de medie pentru integrala multipla

Fie continua pe D, unde D este o submultime compacta ,conexa si masurabila a lui . Atunci exista un punct p in D astfel ca: .

45.Teorema de exprimare a unei integrale duble ca o succesiune de integrale

Daca f:D->R este o functie continua ,unde exista a,b,c,d .Atunci: .

46.Teorema de schimbare de variabile la integrala multipla

Fie de clasa C₁ pe G astfel incat Daca D este o submultime compacta si masurabila lui G iar este continua, atunci este masurabila si .

47.Criterii de comparatie pentru integrala improprie

a)Criteriul lui Cauchy : Fie o functie integrabila Riemann pe [a,c] oricare c>a. Atunci existadaca si numai daca astfel incat pentru .

b)Criteriul de comparatie : Fie doua functii integrabile Riemann pe [a,c] oricare c>a astfel incat:. Atunci daca exista .

c)Criteriul de comparatie la limita: Fie doua functii integrabile Riemann pe [a,c] oricare c>a astfel incat .Atunci integralele improprii au aceeasi natura(ie.ele exista sau nu simultan)

48.Criteriul lui Dirichlet pentru integrale improprii

Fie ,f functie continua. Presupunem ca exista un numar real M astfel incat ,iar o functie descrescatoare ce tinde catre 0 atunci cand . (ie. )

49.Criteriul lui Cauchy pentru serii

Seria este convergenta daca si numai daca

50.Teorema de permutare a seriilor absolut convergente

Fie o serie absolut convergenta cu termeni din cu suma S. Atunci pentru orice bijectie este convergenta si are suma S.

51.Teorema lui Mertens

Fie seriile cu termeni din R: astfel incat seria converge absolut catre A, iar converge catre B. Atunci produsul Cauchy al lor este o serie convergenta cu suma AB.

52.Teorema lui Cesaro

Fie seriile cu termeni din R: ,iar produsul Cauchy al celor doua serii. Daca converge catre A,iar catre B atunci , notand sirul sumelor partiale ale seriei avem: .

53.Criteriile de convergenta pentru serii

1)Criteriul de comparatie : Fie siruri de elemente din .Daca seria este convergenta atunci si seria este convergenta.

2)Criteriul de comparatie la limita: Fie siruri de elemente din .:

a)Daca exista atunci seriile au aceeasi natura.

b)Daca exista si seria converge atunci si seria este convergenta. (Criteriul radacinii lui Cauchy).

3)Criteriul lui Dirichlet : Fie siruri de elemente din iar sirul sumelor partiale ale seriei .Presupunem ca este marginit , sirul converge catre 0si ca seria este convergenta .Atunci seriaeste convergenta.

4)Criteriul lui Abel  :Fie serie convergenta cu elemente din iar sir de elemente din R monoton si convergent. Atunci seriaeste convergenta.

54.Teoremele de continuitate,derivabilitate si integrabilitate pentru serii de functii

1)Teorema de continuitate :Daca sir de functii continue   iar seria converge uniform pe D la atunci f este continua.

2)Teorema de derivabilitate : Daca sir de functii derivabile pentru care astfel incat seria este convergenta iar seria converge uniform. Atunci exista astfel incat seria converge uniform catre f si mai mult .

3)Teorema de integrabilitate: Daca sir de functii integrabile Riemann-Stietjes in raport cu iar seria converge uniform catre .Atunci f este integrabila Riemann-Stieltjes in raport cu g si

55.Criterii de convergenta pentru serii de functii

Criteriul lui Weierstrass: Daca sir de functii pentru care exista un sir de numere reale astfel incat pentru orice astfel incat seria este convergenta.Atunci seria converge uniform pe D.

56.Teorema Cauchy-Hadamard

Daca R-raza de convergenta a seriei de puteri atunci seria este absolut convergenta pentru |x|<R si divergenta pentru |x|>R.

57.Teoremele de continuitate ,derivare si integrare pentru serii de puteri

1)Fie seria cu raza de convergenta R si S:(-R,R)->R suma seriei de puteri. Atunci functia S este continua si . Mai mult seria de puteri are raza de convergenta R si

2)Fie R raza de convergenta a seriei de puteri iar K o submultime compacta a intervalului (-R,R). Atunci seria de puteri converge uniform pe K.

58.Teorema de unicitate pentru serii de puteri ????????

59.Teorema lui Bernstein

Fie f:[0,r]->R pentru care exista derivata de orice ordin.Daca f si derivatele sale de orice ordin sunt pozitive pentru orice x din [0,r] avem: f(x)=

60.Teorema lui Abel

Daca seria de puteri converge pe (-R,R) unde R este raza de convergenta catre f(x), iar seriaconverge catre A, atunci seria de puteri converge uniform pe [0,R] si

61.Teorema lui Tauber

Daca seria de puteri converge pe (-1,1) catre f(x), ,atunci seria converge la A.