Baze ortogonale si ortonormate

Baze ortogonale si ortonormate

Definitia. 1. Fie V un spatiu vectorial Euclidian. Vectorii x,yV se numesc ortogonali daca produsul lor scalar este nul. O submultime S V se numeste ortogonala daca vectorii sai sunt ortogonali doi cate doi, adica <v,w>=0, v,w S, v w. O multime ortogonala se numeste ortonormata daca fiecare element al sau are norma egala cu unitatea.

Propozitia 2 Fie E o multime ortogonala dintr-un spatiu euclidian V formata

din elemente nenule. Multimea E este liniar independenta. Daca in plus, dimV=n, atunci orice multime ortogonala care contine n elemente nenule este o baza a lui V.

Fie V un spatiu vectorial Euclidian si B= V o baza in V. B este ortonormata daca si numai daca: <ei, ej>= , adica 1 daca i=j sau 0, altfel,

unde simbolul se numeste simbolul lui Kronecker.

Propozitia 3. Fie V un spatiu Euclidian cu dimV=n. Daca B= este o baza ortogonala a lui V si v V cu v=, atunci avem ca: x_i=<v,e_i> / <e_i, e_i>.

In particular, daca B este o baza ortonormata, atunci x_i = <v, e_i>.

Coordonatele x_i=<v, e_i>, i=, ale vectorului v se numesc coordonate euclidiene.

Definitia 4. Fie V un spatiu vectorial Euclidian. Fie v,w V, v,w 0. Vectorul se numeste proiectia vectorului v pe w iar numarul se numeste marimea algebrica a proiectiei vectorului v pe w.

Propozitia 5. Daca V este un spatiu vectorial Euclidian complex de dimensiune n

si B= este o baza ortonormata, atunci <v,w>=, unde x_j=<v,e_j>, y_j=<w,e_j>. In particular, ||v||² = .

Propozitia 6. Fie V un spatiu Euclidian si W o submultime nevida a sa. Multimea este subspatiu vectorial al lui V.

Propozitia 7. Fie V un spatiu vectorial Euclidian de dimensiune n. Exista in V o baza

ortonormata B= .