Calculul numeric al integralelor multiple

Calculul numeric al integralelor multiple

Rezultatele obținute pentru integralele simple pot fi folosite pentru aproximarea integralelor multiple. In acest paragraf voi arata cum se aproximeaza integralele duble.

Fie f o funcție reala, definita și integrabila pe domeniul D. Pentru calculul integralei

se pot folosi, in anumite condiții, formulele obținute in cazul integralelor simple.

De exemplu, sa presupunem ca domeniul D este delimitat de curbele netede (netede pe porțiuni) y= y= și dreptele x=a, x=b, cu pentru x.

Daca funcția F:, definita prin:

F(x)=,

este integrabila pe , atunci :

Pentru integrala din membrul drept se poate folosi o formula de tip Newton:

, x, 0

Deoarece F(x)= putem folosi din nou o formula de tip Newton.

Obținem:

F(x), y ,

Rezulta in final:

Exemplu. Formula de cubatura de tip Simpson.

Fie D= h=, k=. Avem:

, F(x)=

Aplicand formula lui Simpson obținem:

unde: x=a, x , x=b.

Apoi, pentru i, avem:

F(x

unde: y=c, y , y=d.

Rezulta:

f=f(x,y), i,j

Așadar:

unde:

suma valorilor funcției f in varfurile dreptunghiului D;

suma valorilor funcției f in mijloacele laturilor lui D;

=valoarea in centrul dreptunghiului D.

Exemplu. Aplicam formula (43) pentru integrala cu h=0,2 și k=0,3.

Valorile funcției f(x,y)= sunt:

Rezulta :

=0,125+0,096154+0,0874126+0,113636=0,4222026

=0,108696+0,0915751+0,0988142+0,119048=0,4181333

0,103520

Deci:

Valoarea exacta este:

0,0250059.

Daca dimensiunile dreptunghiului D sunt mari, pentru ameliorarea preciziei se divide dreptunghiul D intr-un numar oarecare de dreptunghiuri . Pe fiecare D se aplica o formula de tipul (43), dupa care se insumeaza rezultatele obținute.

Fie h=, k=, x=a+ih, , (x=a, x=b),

y=y+jk, , (y=c, y=d).

Vom nota f=f(x,y), D

Din (43) rezulta:

+

.

Deoarece:

,

se obține in final:

, unde a sunt elementele matricei:

A=

Daca domeniul de integrare D este oarecare (marginit), atunci se construiește un dreptunghi și se definește funcția f astfel:

f(x,y)=

Avem :

Pentru integrala din membrul drept se poate folosi o formula de tipul (44).

In continuare vom studia doua tipuri de formule de aproximare a integralelor duble, numite și formule de cubatura.

1 Formule de cubatura pe triunghi.

Fie ABC- un triunghi oarecare. Centrul de greutate al punctelor materiale A,B,C se numește baricentrul triunghiului ABC.

Notam:

L-baricentrul triunghiului ABC care are in A,B,C masele respectiv 1 unitați de masa;

M-baricentrul triunghiului ABC care are in A,B,C masele 1,, respectiv 1 unitați de masa;

N-baricentrul triunghiului ABC care are in A,B,C masele 1,1, respectiv unitați de masa;

Se știe ca L,M,N se afla pe medianele A respectiv . In cazul cele trei baricentre coincid cu centrul de greutate al triunghiului ABC.

Fie A( ), B( ), C( ). Rezulta:

L(, M(

N(

In general, vom nota cu L,M, N baricentrele triunghiului ABC corespunzatoare parametrelor

Vom determina ,c , astfel incat formula:

sa aiba ordinul de exactitate p, oricare ar fi triunghiul ABC.

S-a notat cu T domeniul delimitat de triunghiul ABC.

Sunt adevarate urmatoarele doua propoziții:

Propoziția 1. Daca pentru o anumita alegere a parametrilor și a coeficienților c,c,,c se obține R(f)=0 in (45) pentru f(x,y)=x, atunci R(f)=0 pentru orice polinom in doua variabile f, de grad mai mic sau egal cu n.

Propoziția 2. Daca p5, nu exista parametrii ,,, și coeficienții c,c,,c, astfel incat formula de cubatura(45) sa fie exacta pentru f(x,y)=x.

Cazuri particulare.

I. p=1.

In acest caz se determina formula:

+R(f) ,

care are proprietatea: R(x)=0.

Daca S este aria triunghiului ABC, atunci:

Pentru f(x,y)=x avem:

f(L)=

f(M)=

f(N)=

Rezulta: f(L)+f(M)+f(N)=

Deci: c=

Se obține formula:

Pentru avem:

unde ,,sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC:

Pentru avem:

unde G este centrul de greutate al triunghiului ABC.

Pentru avem:

II. p=2. In acest caz se determina formula:

cu c și c astfel incat R()=0.

Se obține:

Pentru f(x,y) =x avem:

f(L)+f(M)+f(N)=, i=1,2.

Prin identificare obținem:

Daca se aleg astfel incat determinantul acestui sistem sa fie nenul, se obține soluția:

c

c

Pentru =1 condiția de rezolvare este In acest caz coeficienții sunt:

Se obține formula:

Pentru avem:

Pentru avem:

Pentru =4 avem:

Unde L, M, N sunt mijloacele segmentelor GA, GB, respectiv GC.

2. Formule de cubatura pe dreptunghi.

Fie formula:

unde D=

Avem:

0, daca n este impar sau m este impar,

, daca m și n sunt numere pare.

Fie p ordinul de exactitate al formulei (48), adica R(xy)=0 pentru m+np.

Din (48) și (49) rezulta:

0, daca n este impar sau m este impar,

, daca m și n sunt numere pare.

Pentru p=0 avem n=m=0. Din (50) rezulta:

Se considera un singur nod M(x,y). Rezulta c=4ab.

Se obține formula:

(x,y D.

Pentru p=1 se considera cazurile:

(m,n)= (0,0), (m,n)=(1,0), (m,n)=(0,1).

Din (50) rezulta:

=0

Se ia tot un nod M(x,y). Din (52) rezulta:

c=4ab, x=0, y

Rezulta formula:

care are ordinul de exactitate unu.

Numarul ecuațiilor și necunoscutelor din sistemul (50) poate fi micșorat. Pentru aceasta se procedeaza astfel:

a) Daca numarul nodurilor este impar, se convine ca nodul M(x,y) sa fie M(0,0) cu coeficientul c=4ab

b) Daca numarul nodurilor este par, atunci se adauga formal nodul M(0,0) cu coeficientul c=4ab

In ambele cazuri avem nodurile:

M, M,,M,M,,M, (j=2k).

Vom lua:

c=c=2ab

x=-x=a

y=-y=b

Pentru n+m rezulta:

=

Daca n+m este numar impar atunci:

a) n este numar par, iar m este numar impar

sau:

b) n este numar impar, iar m este numar par.

In ambele cazuri:

In acest caz ecuațiile sistemului (50) sunt verificate.

Daca n+m este numar par atunci:

a) n,m sunt numere impare

sau:

b) n,m sunt numere pare.

In ambele cazuri:

Pentru f(x,y)=1 (n=m=0), din (48) rezulta:

4ab=

Deci :

Sistemul (50) devine:

0, n impar (m impar)

n par (m par), m+n

Cazuri particulare. I. p=3, j=3 (patru noduri).

In acest caz =0. Ecuațiile (54) se scriu pentru m+n=0 și m+n=2. Avem cazurile:

(m,n)=(0,0), (m,n)=(0,2), (m,n)=(2,0), (m,n)=(1,1).

Rezulta sistemul:

+=

Acest sistem este compatibil, dublu nedeterminat. Soluția sa este : 

cos , .sin

.sin . cos

Avem:

=2ab=ab(1+t),

c=2ab=ab(1-t).

Se obține formula:

=ab

M(a,b), M(a,b), M(-a,-b), M(-a,-b).

Pentru t=0, avem:

M(a, M(0,-b), M(-a, M(0,b

Rezulta formula:

Pentru t=0 și avem:

x , y =-y

Rezulta formula:

II. p=3, j=4 (cinci noduri).

Sistemul (54) devine:

=1

Acest sistem este compatibil, triplu nedeterminat. Soluția sa este :

Se obține formula:

Pentru și rezulta =a, x =-b. Se obține formula:

M (-a,0), (0,-b).

Pentru se obține formula:

3. Formule de cubatura cu rest dat.

Fie :D= astfel incat:

, ,

și f:D, f

Avem:

=

Deci:

Analog:

Apoi:

=

Rezulta:

(57.3)

Deoarece dupa adunarea relațiilor (57.1), (57.2) și (57.3), obținem:

+

unde:

Vom determina funcțiile astfel incat integralele simple sa fie nule. Punem condițiile:

,

Rezulta:

c=const.

Se obține formula:

unde :

R(f)=

Formula (59) este de tipul:

,

unde , , sunt varfurile dreptunghiului D.

Studiul restului. Restul este:

R(f)=,

unde:

,

Daca atunci

Daca , atunci

Cazuri particulare. I. Pentru c=-ab obținem:

,

unde:

R(f)=-

II.   Pentru c=ab obținem:

(63)

unde:

R(f)=-

III. Pentru c=0 obținem:

unde: R(f)=,

R(f)=-

Fie acum D=. Notam cu , varfurile lui D, S=(x-x)(y-y

Efectuam schimbarea de variabila:

x=

y= v

Obținem:

unde:

F(u,v)=f(

Pentru integrala folosim una din formulele anterioare. De exemplu, aplicand (65) obținem:

Dar:

F(a,b)+F(-a,b)+F(a,-b)+F(-a,-b)=,

,

,

Rezulta:

.

Deci:

Se obține formula:

(69) R(f)=

Din (68) rezulta:

Fie acum o diviziune a dreptunghiului D astfel:

D=, D=,

, h= ,

k=, .

S=( f=f(, ,

Avem și:

Din (69) rezulta:

(71)

iar din (70) deducem:

unde:

Deci:

Obținem formula:

unde:

este suma valorilor funcției f in varfurile dreptunghiului D;

este suma valorilor funcției f in nodurile situate in interiorul laturilor dreptunghiului D;

este suma valorilor funcției f in nodurile interioare dreptunghiului D;

(74)

Pentru aproximarea integralei cu eroarea , numerele m și n se aleg astfel incat:

Algoritmi asemanatori se obțin folosind și alte tipuri de formule de cubatura.