Administratie | Alimentatie | Arta cultura | Asistenta sociala | Astronomie |
Biologie | Chimie | Comunicare | Constructii | Cosmetica |
Desen | Diverse | Drept | Economie | Engleza |
Filozofie | Fizica | Franceza | Geografie | Germana |
Informatica | Istorie | Latina | Management | Marketing |
Matematica | Mecanica | Medicina | Pedagogie | Psihologie |
Romana | Stiinte politice | Transporturi | Turism |
Calculul numeric al integralelor multiple
Rezultatele obținute pentru integralele simple pot fi folosite pentru aproximarea integralelor multiple. In acest paragraf voi arata cum se aproximeaza integralele duble.
Fie f o funcție reala,
definita și integrabila pe domeniul D. Pentru calculul integralei
se pot folosi, in
anumite condiții, formulele obținute in cazul integralelor simple.
De
exemplu, sa presupunem ca domeniul D este delimitat de curbele netede
(netede pe porțiuni) y= y=
și dreptele x=a, x=b, cu
pentru x
.
Daca funcția F:, definita prin:
F(x)=,
este
integrabila pe , atunci :
Pentru integrala din membrul drept se poate folosi o formula de tip Newton:
, x
, 0
Deoarece F(x)=
putem folosi din nou o formula de tip
Obținem:
F(x)
, y
,
Rezulta in final:
Exemplu. Formula de cubatura de tip Simpson.
Fie D= h=
, k=
. Avem:
, F(x)=
Aplicand formula lui Simpson obținem:
unde: x=a, x
, x
=b.
Apoi, pentru i, avem:
F(x
unde: y=c, y
, y
=d.
Rezulta:
f=f(x
,y
), i,j
Așadar:
unde:
suma valorilor funcției f in
varfurile dreptunghiului D;
suma valorilor funcției f in mijloacele laturilor lui D;
=valoarea in centrul dreptunghiului D.
Exemplu. Aplicam
formula (43) pentru integrala cu h=0,2 și
k=0,3.
Valorile
funcției f(x,y)= sunt:
x y |
|
|
|
|
|
|
|
Rezulta :
=0,125+0,096154+0,0874126+0,113636=0,4222026
=0,108696+0,0915751+0,0988142+0,119048=0,4181333
0,103520
Deci:
Valoarea exacta este:
0,0250059.
Daca
dimensiunile dreptunghiului D sunt mari, pentru ameliorarea preciziei se divide
dreptunghiul D intr-un numar oarecare de dreptunghiuri . Pe fiecare D
se aplica o formula de tipul (43), dupa care se
insumeaza rezultatele obținute.
Fie h=, k=
, x
=a+ih,
, (x
=a, x
=b),
y=y
+jk,
, (y
=c, y
=d).
Vom nota
f=f(x
,y
), D
Din (43) rezulta:
+
.
Deoarece:
,
se obține in final:
, unde a
sunt elementele matricei:
A=
Daca domeniul de integrare D este
oarecare (marginit), atunci se construiește un dreptunghi și se definește
funcția f
astfel:
f(x,y)=
Avem :
Pentru integrala din membrul drept se poate folosi o formula de tipul (44).
In continuare vom studia doua tipuri de formule de aproximare a integralelor duble, numite și formule de cubatura.
1 Formule de cubatura pe triunghi.
Fie ABC- un triunghi oarecare. Centrul de greutate al punctelor materiale A,B,C se numește baricentrul triunghiului ABC.
Notam:
L-baricentrul triunghiului ABC care
are in A,B,C masele respectiv 1 unitați de
masa;
M-baricentrul triunghiului ABC care
are in A,B,C masele 1,, respectiv 1 unitați de masa;
N-baricentrul triunghiului ABC care
are in A,B,C masele 1,1, respectiv unitați de masa;
Se știe ca L,M,N se
afla pe medianele A
respectiv
. In cazul
cele trei baricentre coincid cu centrul de greutate al triunghiului ABC.
Fie A(
), B(
), C(
). Rezulta:
L(, M(
N(
In general, vom nota cu L,M
, N
baricentrele triunghiului ABC corespunzatoare parametrelor
Vom
determina ,c
, astfel incat formula:
sa aiba ordinul de exactitate p, oricare ar fi triunghiul ABC.
S-a notat cu T domeniul delimitat de triunghiul ABC.
Sunt adevarate urmatoarele doua propoziții:
Propoziția
1. Daca pentru o anumita alegere
a parametrilor și a
coeficienților c
,c
,,c
se obține R(f)=0 in (45) pentru f(x,y)=x
, atunci R(f)=0 pentru orice polinom in doua variabile
f, de grad mai mic sau egal cu n.
Propoziția
2. Daca p5, nu exista parametrii
,
,,
și coeficienții c
,c
,,c
, astfel incat formula de cubatura(45) sa fie
exacta pentru f(x,y)=x
.
Cazuri particulare.
I. p=1.
In acest caz se determina formula:
+R(f) ,
care are proprietatea: R(x)=0.
Daca S este aria triunghiului ABC, atunci:
Pentru f(x,y)=x avem:
f(L)=
f(M)=
f(N)=
Rezulta: f(L)+f(M)+f(N)=
Deci: c=
Se obține formula:
Pentru avem:
unde ,
,
sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC:
Pentru avem:
unde G este centrul de greutate al triunghiului ABC.
Pentru avem:
II. p=2. In acest caz se determina formula:
cu c și c
astfel incat R(
)=0.
Se obține:
Pentru
f(x,y) =x avem:
f(L)+f(M
)+f(N
)=
, i=1,2.
Prin identificare obținem:
Daca se aleg
astfel incat determinantul acestui sistem sa fie nenul, se obține
soluția:
c
c
Pentru =1 condiția de rezolvare este
In acest caz coeficienții
sunt:
Se obține formula:
Pentru avem:
Pentru avem:
Pentru =4 avem:
Unde L, M, N sunt mijloacele segmentelor GA, GB, respectiv GC.
2. Formule de cubatura pe dreptunghi.
Fie formula:
unde D=
Avem:
0, daca n este impar sau m este
impar,
, daca m și n sunt numere pare.
Fie p ordinul de exactitate al
formulei (48), adica R(xy
)=0 pentru m+n
p.
Din (48) și (49) rezulta:
0, daca n este impar sau m este
impar,
, daca m și n sunt numere pare.
Pentru p=0 avem n=m=0. Din (50) rezulta:
Se considera un singur nod M(x
,y
). Rezulta c
=4ab.
Se obține formula:
(x
,y
D.
Pentru p=1 se considera cazurile:
(m,n)= (0,0), (m,n)=(1,0), (m,n)=(0,1).
Din (50) rezulta:
=0
Se ia tot un nod M(x
,y
). Din (52) rezulta:
c=4ab, x
=0, y
Rezulta formula:
care are ordinul de exactitate unu.
Numarul ecuațiilor și necunoscutelor din sistemul (50) poate fi micșorat. Pentru aceasta se procedeaza astfel:
a) Daca numarul
nodurilor este impar, se convine ca nodul M(x
,y
) sa fie M
(0,0) cu coeficientul c
=4ab
b) Daca numarul nodurilor
este par, atunci se adauga formal nodul M(0,0) cu coeficientul c
=4ab
In ambele cazuri avem nodurile:
M, M
,,M
,M
,,M
, (j=2k).
Vom lua:
c=c
=2ab
x=-x
=a
y=-y
=b
Pentru
n+m rezulta:
=
Daca n+m este numar impar atunci:
a) n este numar par, iar m este numar impar
sau:
b) n este numar impar, iar m este numar par.
In ambele cazuri:
In acest caz ecuațiile sistemului (50) sunt verificate.
Daca n+m este numar par atunci:
a) n,m sunt numere impare
sau:
b) n,m sunt numere pare.
In ambele cazuri:
Pentru f(x,y)=1 (n=m=0), din (48) rezulta:
4ab=
Deci :
Sistemul (50) devine:
0, n
impar (m impar)
n par (m par), m+n
Cazuri particulare. I. p=3, j=3 (patru noduri).
In acest caz =0. Ecuațiile (54) se scriu pentru m+n=0 și m+n=2. Avem cazurile:
(m,n)=(0,0), (m,n)=(0,2), (m,n)=(2,0), (m,n)=(1,1).
Rezulta sistemul:
+
=
Acest sistem este compatibil, dublu nedeterminat. Soluția sa este :
cos
,
.sin
.sin
. cos
Avem:
=2ab
=ab(1+t),
c=2ab
=ab(1-t).
Se obține formula:
=ab
M(a
,b
), M
(a
,b
), M
(-a
,-b
), M
(-a
,-b
).
Pentru t=0, avem:
M(a
, M
(0,-b
), M
(-a
, M
(0,b
Rezulta formula:
Pentru t=0 și avem:
x
, y
=-y
Rezulta formula:
II. p=3, j=4 (cinci noduri).
Sistemul (54) devine:
=1
Acest sistem este compatibil, triplu nedeterminat. Soluția sa este :
Se obține formula:
Pentru și
rezulta
=a, x
=-b. Se obține formula:
M
(-a,0),
(0,-b).
Pentru
se obține formula:
3. Formule de cubatura cu rest dat.
Fie :D=
astfel incat:
,
,
și f:D, f
Avem:
=
Deci:
Analog:
Apoi:
=
Rezulta:
(57.3)
Deoarece dupa adunarea
relațiilor (57.1), (57.2) și (57.3), obținem:
+
unde:
Vom determina funcțiile astfel incat
integralele simple sa fie nule. Punem condițiile:
,
Rezulta:
c=const.
Se obține formula:
unde :
R(f)=
Formula (59) este de tipul:
,
unde ,
, sunt varfurile dreptunghiului D.
Studiul restului. Restul este:
R(f)=,
unde:
,
Daca atunci
Daca , atunci
Cazuri particulare. I. Pentru c=-ab obținem:
,
unde:
R(f)=-
II. Pentru c=ab obținem:
(63)
unde:
R(f)=-
III. Pentru c=0 obținem:
unde:
R(f)=,
R(f)=-
Fie acum D=. Notam cu
, varfurile lui D, S=(x
-x
)(y
-y
Efectuam schimbarea de variabila:
x=
y= v
Obținem:
unde:
F(u,v)=f(
Pentru integrala folosim una din
formulele anterioare. De exemplu, aplicand (65) obținem:
Dar:
F(a,b)+F(-a,b)+F(a,-b)+F(-a,-b)=,
,
,
Rezulta:
.
Deci:
Se obține formula:
(69) R(f)=
Din (68) rezulta:
Fie acum o diviziune a dreptunghiului D astfel:
D=, D
=
,
, h=
,
k=
,
.
S=(
f
=f(
,
,
Avem și:
Din (69) rezulta:
(71)
iar din (70) deducem:
unde:
Deci:
Obținem formula:
unde:
este suma valorilor funcției f in varfurile
dreptunghiului D;
este suma valorilor funcției f in nodurile situate in
interiorul laturilor dreptunghiului D;
este suma valorilor funcției f in nodurile interioare
dreptunghiului D;
(74)
Pentru aproximarea integralei cu
eroarea , numerele m și n se aleg astfel incat:
Algoritmi asemanatori se obțin folosind și alte tipuri de formule de cubatura.
Acest document nu se poate descarca
E posibil sa te intereseze alte documente despre:
|
Copyright © 2025 - Toate drepturile rezervate QReferat.com | Folositi documentele afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul document pe baza informatiilor de pe site. { Home } { Contact } { Termeni si conditii } |
Documente similare:
|
ComentariiCaracterizari
|
Cauta document |