Distributii de probabilitate

Distributii de probabilitate

Distributii de probabilitate discrete - Variabila discreta este acea variabila care ia ca  valori numai numere intregi. O variabila este variabila aleatoare discreta daca sunt cunoscute probabilitatile de aparitie pentru fiecare dintre valorile posibile.

In Excel exista functii care rezolva diverse chestiuni legate de distributiile de probabilitate: binomiala, Poisson, hypergeometrica.

Distributia de probabilitate binomiala

Modelul legii binomiale - Se repeta un experiment de n ori. Rezultatele posibile sunt exces si esec. Probabilitatea succesului este p<n si probabilitatea esecului este q=1-p. Cele n incercari sunt independente una de alta.

Numarul de succese obtinute din cele n incercari repetate este o variabila aleatoare de tip binomial care depinde de parametrii n si p si este de obicei notata prin Bi(n,p). Aceasta variabila aleatoare X urmeaza legea binomiala de parametrii nsi p daca are distributia:

X:  ,  , p+q=1

adica

Pr( X = k ) = unde X este evenimentul de interes.

Problema 1: Aruncam o moneda de n=7 ori. Consideram succes daca am aruncat "cap". Deoarece aruncam cu o moneda nemasluita sansa de succes este de 50%, deci avem p=0,5.

X:

adica

Pr( X = k ) =

Calculati probabilitatile pentru aceasta distributie.

Instructiuni:

  Introduceti in Excel urmatorul tabel:

  In celula B2 vom calcula probabilitatea a 0 succese P(X=0).

Din meniul Insert Function selectam functia BINOMDIST.

Click OK. Complectati fereastra de dialog ca in figura de mai jos:

Number_s: Numarul de succese, in cazul nostru 0 cu referinta A2.

Trials: Numarul total de incercari, in cazul nostru de aruncari, 7.

Probability_s: probabilitatea succesului, in cazul nostru la aruncare sa iasa "cap". Probabilitatea este 0,5.

Cumulative: True daca dorim probabilitati cumulate, False daca dorim probabilitati necumulate. In cazul nostru am introdus False.

  Dupa ce executam click pe butonul OK in celula B2 vom avea valoarea Aceasta este probabilitatea ca aruncand moneda de 7 ori sa nu avem nici un succes.

  Restul de probabilitati se calculeaza prin copierea formulei in celelalte celule din coloana B prin selectarea domeniului B2:B8 si alegerea optiunii Fill Down din meniul Edit.

Problema 2: Calculati probabilitatile binomiale cumulative pentru exemplul de mai sus.

Instructiuni

  In foaia de lucru Excel, in celula C1 introduceti urmatorul text P(x<=X).

  In celula C2 calculati probabilitatea binomiala ca numarul de esecuri sa fie mai mic sau egal cu 0 astfel: dupa selectarea celulei C2 alegeti din meniul Insert Function functia BINOMDIST. Completati fereastra de dialog care apare ca mai jos:

  Modul de completare este acelasi ca la Problema 1 cu deosebirea ca in campul Cumulative vom introduce True. Vom obtine 007813 care este probabilitatea cumulata ca sa avem la 7 aruncari cu zarul mai putin sau egal cu 0 succese, adica 0 succese.

  Pentru a calcula si celelalte probabilitati cumulative selectati domeniul de celule C2:C7 si copiati formula cu ajutorul comenzii Fill Down din meniul Edit.

Probabilitatea de a cadea "cap" de 2 ori din 7 aruncari ale unei monede este 0.164063, de a cadea cap de 3 ori din 7 este 0.273438 etc. Sansa cea mai mare este de a avea 3 sau 4 aruncari la care sa avem "cap" din 7.

Probabilitatile calculate in coloana C sunt probabilitatile ca din 7 aruncari sa avem cel mult x succese. De exemplu pentru x=3 avem calculata probabilitatea 0,226563 ca din 7 aruncari sa avem cel mult 3 succese, adica sa avem 0 sau 3 succese. Probabilitatea ca sa avem una dintre variantele 0 , . ,7 succese din 7 aruncari este 1 deoarece nu exista alta posibilitate, in mod sigur una dintre aceste variante va avea loc.

Distributia Poisson

Variabila aleatoare Poisson este o variabila discreta care ia o infinitate numarabila de valori 0,1,2,3, . .. care reprezinta numarul de realizari a unui eveniment intr-un timp dat.

Aceasta variabila aleatoare X care urmeaza legea de distributie Poisson P() are urmatoarea distributie:

X: , k =0,1,2,3, . .

unde  este un parametru care caracterizeaza legea, care reprezinta numarul mediu asteptat de realizari ale evenimentului in intervalul considerat si deci

Pr( X = k ) = , k=0,1,2,3, . .

Problema 3. Rata anuala de incidenta a varicelei printre copiii este de 0.01, adica un copil dintr-o suta este diagnosticat cu varicela. La o gradinita cu 300 de copii dintr-o localitate A au fost diagnosticati 5 copii cu varicela. Care este probabilitatea a 5 astfel de cazuri stiind ca rata imbolnavirii este de 0,01? Ar trebui gradinita sa ia masuri urgente?

Instructiuni:

  Introduceti in Excel urmatorul tabel:

  In celula B2 vom calcula probabilitatea sa avem 0 imbolnaviri P(X=0).

Din meniul Insert Function selectam functia POISSON.

Click OK. Complectati fereastra de dialog ca in figura de mai jos:

X: Numarul de imbolnaviri, in cazul nostru 0 cu referinta A2.

Mean: Este numarul asteptat stiind rata de imbolnavire 0.01. Pentru a calcula numarul asteptat vom inmulti numarul de copii din gradinita 300 cu rata imbolnavirii 0.01 si vom obtine 3.

Cumulative: True daca dorim probabilitati cumulate, False daca dorim probabilitati necumulate. In cazul nostru am introdus False.

  Dupa ce executam click pe butonul OK in celula B2 vom avea valoarea Aceasta este probabilitatea ca sa avem 0 imbolnaviri.

  Restul de probabilitati se calculeaza prin copierea formulei in celelalte celule din coloana B prin selectarea domeniului B2:B8 si alegerea optiunii Fill Down din meniul Edit.

Problema 4: Calculati probabilitatile binomiale cumulative pentru exemplul de mai sus.

Instructiuni

  In foaia de lucru Excel, in celula C1 introduceti urmatorul text P(x<=X).

  In celula C2 calculati probabilitatea ca numarul de inbolnaviri sa fie mai mic sau egal cu 0 astfel: dupa selectarea celulei C2 alegeti din meniul Insert Function functia POISSON. Completati fereastra de dialog care apare ca mai jos:

  Modul de completare este acelasi ca la Problema 3 cu deosebirea ca in campul Cumulative vom introduce True. Vom obtine care este probabilitatea cumulata ca sa avem cel 0 imbolnaviri, adica nici o imbolnavire.

  Pentru a calcula si celelalte probabilitati cumulative selectati domeniul de celule C2:C7 si copiati formula cu ajutorul comenzii Fill Down din meniul Edit.

Probabilitatea de avea 0 imbolnaviri este 0.49787, de a avea o imbolnavire 0,149361, iar cea mai mare probabilitate este de a avea 2 sau 3 imbolnaviri 0,224042. probabilitatea cea mai mica este la 10 imbolnaviri 0.00081. Gradinita ar trebui sa ia masuri daca sunt raportate 10 cazuri de varicela.

Probabilitatile calculate in coloana C sunt probabilitatile ca din 300 de copii sa se imbolnaveasca cel mult x copii. De exemplu pentru x=3 imbolnaviri avem calculata probabilitatea 0,647232 ca din 300 de copii sa avem cel mult 3  imbolnaviri, adica sa avem 0,1,2 sau 3 cazuri de varicela. Probabilitatea ca sa avem una dintre variantele 0,1, . ,10 imbolnaviri este 0,99 aproape 1.

Distributia Hipergeometrica

Distributia hipergeometrica este analoaga cu distribuia binomiala doar ca nu avem independenta asigurata, adica rezultatul unei incercari depinde de rezultatul incercarilor de dinaintea ei.

Variabila aleatoare X urmeaza legea hipergeometrica daca are distributia:

X:

unde: M este numarul de succese in populatie, x numarul de succese din incercari, N talia populatiei, n numarul incercarilor.

Problema 5: Trebuie testat un nou tratament. S-au oferit 25 de voluntari 15 femei, 10 barbati. Dintre ei vor fi alesi doar 7 persoane in mod aleator. Care este probabilitatea ca dintre ei 3 sa fie barbati si 4 sa fie femei?

Probabilitatea de a selecta o femeie este 15/25=0,6. Daca selectam o femeie, probabilitatea ca si a doua selectie sa fie tot o femeie este de 14/24=0,583, deoarece nu dorim sa selectam o femeie de doua ori. In cazul nostru selectarea unei femei inseamna succes M=15, x=0,1,2,3,4, N=25, n=7.

Instructiuni:

  Introduceti in Excel urmatorul tabel:

X este evenimentul de a selecta o femeie. Se fac 7 selectii si exista 8 posibilitati: de a selecta 0,1, . ,7 femei. Fiecare posibilitate are o probabilitate pe care o vom calcula in coloana B.

  In celula B2 vom calcula probabilitatea a 0 succese P(X=0).

Din meniul Insert Function selectam functia HYPGEOMDIST

Click OK. Complectati fereastra de dialog ca in figura de mai jos:

Sample_s: Numarul de succese pentru prima posibilitate P(X=0) este 0. Vom introduce referinta A2.

Number_sample: Numarul de posibilitati - selectia pe care o facem are 7 persoane.

Population_s: Numarul total de succese in populatie, in cazul nostru numarul total de femei 15.

Number_pop: Numarul total al populatiei din care se face selectia, in cazul nostru avem 25 voluntari.

  Dupa ce executam click pe butonul OK in celula B2 vom avea valoarea Aceasta este probabilitatea facand 7 selectii aleatoare sa nu selectam nici o femeie.

  Restul de probabilitati se calculeaza prin copierea formulei in celelalte celule din coloana B prin selectarea domeniului B2:B8 si alegerea optiunii Fill Down din meniul Edit.

Cel mai probabil este sa selectam 4 femei si trei barbati: 0.340753 si acesta este si raspunsul problemei.

Distributii de probabilitate continue

Variabila continua este acea variabila care ia ca valori numere reale situate intr-un interval. Vom descrie cateva distributii de probabilitate continue: distributia normala, distributia t, distributia F si distributia hi-patrat.

Un test statistic este utilizat pentru verificarea unei ipoteze statistice, numita ipoteza nula, in care nu exista nici o schimbare, variabilele comparate nu difera. Scopul unui test este de arata ca o astfel de ipoteza nu este adevarata. Se calculeaza un parametru statistic care este o variabila aleatoare de selectie, care urmeaza o anumita lege de probabilitate. Se stabileste regiunea critica pentru care ipoteza nula nu este adevarata. Daca parametrul calculat apartine regiunii critice atunci vom respinge ipoteza nula. Alegerea regiunii critice se face in functie de marimea riscului de eroare in respingerea ipotezei nule pe care suntem dispusi sa-l acceptam si acesta este nivelul de semnificatie . De obicei se alege un nivel de semnificatie de 5%, caz in care se calculeaza si p. Valoarea lui p este calculata de orice program statistic. P este probabilitatea de semnificatie a testului statistic, nivelul de semnificatie (eroarea) cel mai mic la care ipoteza nula poate fi respinsa.

Distributia normala

Variabila aleatoare X  urmeaza legea normala de parametrii m si <0 daca are densitatea de probabilitate urmatoare:

Graficul acestei functiei are o forma de clopot si se numeste clopotul lui Gauss.

Pentru distributia normala Excel ofera cateva functii:

NORMDIST - calculeaza distributia normala cumulativa pentru variabila X, media si deviatia standard date,

NORMINV - calculeaza inversa distributiei normale cumulative pentru o probabilitate specificata, o medie si o deviatie standard specificata,

NORMSDIST - calculeaza distributia normala cumulativa standard pentru o valoare specificata,

NORMSINV - returneaza inversa distributiei normale cumulative standard pentru o valoare specificata,

STANDARDIZE - calculeaza un scor standard pentru o valoare X, o medie si o deviatie standard specificate.

Problema 6. Se dau valorile variabilei Tensiune arteriala diastolica pentru 10 pacienti. Calculati media aritmetica si deviatia standard. Transformati fiecare valoare a variabilei Tensiune arteriala diastolica intr-o valoare standardizata Z cu ajutorul functiei STANDARDIZE (Variabila standardizata Z urmeaza legea normala N(0,1), unde media este 0 si deviatia standard este 1).

Instructiuni

Pentru calcularea mediei aritmetice. Selectam celula D1 si din meniul Insert alegem optiunea Function, selectam functia Average:

Click OK. Completam fereastra de dialog ca in figura de mai jos, iar dupa apasarea butonului OK vom afla valoarea mediei:81.

Pentru calcularea deviatiei standard: Selectam celula D2 si din meniul Insert alegem optiunea Function, selectam functia STDEV:

Click OK. Completam fereastra de dialog ca in figura de mai jos, iar dupa apasarea butonului OK vom afla valoarea deviatiei standard: 17,2884.

Vom avea tabelul:

Vom calcula valorile standardizate: selectati celula B2 si din meniul Insert alegem optiunea Function, selectam functia STANDARDIZE. Click OK.

Complectati fereastra de dialog ca in figura de mai jos:

X: vom introduce referinta celulei in care se gaseste prima valoare a variabilei A2.

Mean: vom introduce referinta absoluta sau fixa la medie: D$1.

Deviatia standard: vom introduce referinta absoluta la deviatia standard: D$2.

  Dupa ce executam click pe butonul OK in celula B2 vom avea valoarea Aceasta este valoarea standardizata.

  Restul de valori se calculeaza prin copierea formulei in celelalte celule din coloana B prin selectarea domeniului B2:B11 si alegerea optiunii Fill Down din meniul Edit.

Dupa calcularea valorilor vom sorta descendent variabila X. Selectam domeniul A1:B11.

!!! La sortare nu este necesara selectia tabelului, ci doar a unei singure celule din tabel, iar Excelul in momentul alegerii optiunii  SORT selecteaza intregul tabel. In cazul nostru se considera si media si deviatia standard ca facand parte din tabel. Din aceasta cauza este necesara selectarea celor doua coloane in prealabil.

Din meniul Data alegem optiunea Sort. Alegem ca prima cheie de sortare variabila X din lista derulanta. Alegem prin click pe butonul Descending modul de sortare descendent.

Click OK. Vom avea astfel urmatorul rezultat:

Avantajul de a lucra cu valori standardizate este ca daca lucram ca variabile continue cu o distributie normala putem determina probabilitatea ca sa obtinem o valoare mai mare sau mai mica decat una specificata. Vom calcula aceasta probabilitate cu functia NORMSDIST. Aceasta functie intoarce aceleasi valori ca un tabel de distributie normala, doar ca se pot afla probabilitatile normale si pentru valori cu trei sau mai multe zecimale pentru care nu exista valori in tabele.

Problema 7 Introduceti in Excel urmatorul tabel:

Calculati probabilitatile normale N(0,1) de distributie p pentru valorile de mai sus. (media este 0 si deviatia standard este 1)

Instructiuni

Introduceti in Excel tabelul de mai sus.

Pentru calculul probabilitatii selectati celula B2 , introduceti functia NORMSDIST din meniul Insert optiunea Function.

Complectati fereastra de dialog ca in figura de mai jos:

Z: vom introduce referinta celulei in care se gaseste prima valoare a variabilei Z: A2.

  Dupa ce executam click pe butonul OK in celula B2 vom avea valoarea Aceasta este valoarea probabilitatii ca z sa fie mai mic de 5.25.

  Restul de valori se calculeaza prin copierea formulei in celelalte celule din coloana B prin selectarea domeniului B2:B11 si alegerea optiunii Fill Down din meniul Edit.

  Obtinem urmatorul tabel:

Normsinv

Uneori se doreste gasirea valorilor Z care definesc un anumit punct in distributie, cum ar fi mai mic de 10% sau mai mare ca 5%. Putem folosi NORMSINV.

Lower 1% - ce valoare a lui Z descrie mai mic de 1% a distributiei normale?

Distributia t

Problema 8. Se dau diverse valori ale parametrului testului t care urmeaza legea de distributie t si care a fost calculat dupa urmatoarea formula:

t = ,

urmeaza o lege Student cu (n₁ + n₂ -2) grade de libertate, unde n1 si n2 sunt talia, m1, m2 sunt mediile celor doua variabile comparate, s1 si s2 sunt variatiile. Sa se calculeze p_value pentru urmatoarele t-uri.

Instructiuni

Introduceti in Excel tabelul de mai sus.

Pentru calculul probabilitatii selectati celula D2 , introduceti functia TDIST din meniul Insert optiunea Function.

Complectati fereastra de dialog ca in figura de mai jos:

X: vom introduce referinta celulei in care se gaseste prima valoare a parametrului t: A2.

Deg_freedom: gradele de libertate, vom introduce referinta B2.

Tails: daca testul este unilateral se introduce 1, daca este bilateral se introduce 2 vom introduce referinta C2.

  Dupa ce executam click pe butonul OK in celula D2 vom avea valoarea Aceasta este valoarea probabilitatii pentru t 0,32, 31 de grade de libertate si pentru test unilateral.

  Restul de valori se calculeaza prin copierea formulei in celelalte celule din coloana D prin selectarea domeniului D2:D7 si alegerea optiunii Fill Down din meniul Edit.

  Obtinem urmatorul tabel:

Problema 9. Calculati valoarea parametrilor t care urmeaza legea de distributie t stiind valorile p si gradele de libertate:

Instructiuni

Introduceti in Excel tabelul de mai sus.

Pentru calculul valorii critice t selectati celula C2 , introduceti functia TINV din meniul Insert optiunea Function.

Complectati fereastra de dialog ca in figura de mai jos:

Probability: vom introduce referinta celulei in care se gaseste prima probabilitate: A2.

Deg_freedom: gradele de libertate, vom introduce referinta B2.

  Dupa ce executam click pe butonul OK in celula D2 vom avea valoarea 2.228139238 Aceasta este valoarea lui t pentru p 0,05, 10 de grade de libertate.

  Restul de valori se calculeaza prin copierea formulei in celelalte celule din coloana C prin selectarea domeniului C2:C5 si alegerea optiunii Fill Down din meniul Edit.

  Obtinem urmatorul tabel:

Distributia F

Problema 10. Se dau diverse valori ale parametrului testului F care urmeaza legea de distributie F si care a fost calculat dupa urmatoarea formula:

.

urmeaza o lege F, s1 si s2 sunt variatiile celor doua variabile comparate. Sa se calculeze p_value pentru urmatoarele F-uri.

Instructiuni

Introduceti in Excel tabelul de mai sus.

Pentru calculul probabilitatii selectati celula D2 , introduceti functia FDIST din meniul Insert optiunea Function.

Complectati fereastra de dialog ca in figura de mai jos:

X: vom introduce referinta celulei in care se gaseste prima valoare a parametrului t: A2.

Deg_freedom1: gradele de libertate - numerator degrees of freedom, vom introduce referinta B2.

Deg_freedom2: denominator grade de libertate. Vom introduce referinta C2.

  Dupa ce executam click pe butonul OK in celula D2 vom avea valoarea Aceasta este valoarea probabilitatii pentru F 0,95.

  Restul de valori se calculeaza prin copierea formulei in celelalte celule din coloana D prin selectarea domeniului D2:D5 si alegerea optiunii Fill Down din meniul Edit.

  Obtinem urmatorul tabel:

Problema 11. Calculati valoarea parametrilor F care urmeaza legea de distributie F stiind valorile p si gradele de libertate:

Instructiuni

Introduceti in Excel tabelul de mai sus.

Pentru calculul valorii critice F selectati celula D2 , introduceti functia FINV din meniul Insert optiunea Function.

Complectati fereastra de dialog ca in figura de mai jos:

Probability: vom introduce referinta celulei in care se gaseste prima probabilitate: A2.

Deg_freedom1: gradele de libertate - numerator degrees of freedom, vom introduce referinta B2.

Deg_freedom2: denominator grade de libertate. Vom introduce referinta C2.

  Dupa ce executam click pe butonul OK in celula D2 vom avea valoarea 3.098875823 Aceasta este valoarea lui F pentru p 0,05.

  Restul de valori se calculeaza prin copierea formulei in celelalte celule din coloana D prin selectarea domeniului D2:D6 si alegerea optiunii Fill Down din meniul Edit.

  Obtinem urmatorul tabel:

Distributia Hi-patrat

In mod asemanator puteti rezolva urmatoarele probleme:

Problema 12. Se dau diverse valori ale parametrului testului Hi-patrat care urmeaza legea de distributie Hi-patrat.  Sa se calculeze p_value

Instructiuni Se utilizeaza functia CHIDIST.

Problema 13. Calculati valoarea parametrilor Hi-patrat care urmeaza legea de distributie Hi-patrat stiind valorile p si gradele de libertate:

Instructiuni Se utilizeaza functia CHIINV.

Alte functii asemanatoare: BETADIST, BETAINV -pentru distributia beta de densitate de probabilitate, GAMMADIST, GAMMAINV - pentru distributia gamma, EXPONDIST - pentru distributia exponentiala, FISHER, FISHERINV - pentru distributia Fisher, WEIBULL - pentru distributia Weibull etc.