Ecuatii echivalente ale planului

Ecuatii echivalente ale planului

Planul in spatiu

In spatiul geometriei euclidiene E₃, un plan este in mod unic determinat de urmatoarele conditii:

1) trei puncte necoliniare

2) un punct si doua drepte neparalele

3) un punct si o dreapta perpendiculara pe plan.

1.1. Planul prin trei puncte

Fie M₀, M₁, M₂ I E trei puncte necoliniare (afin independente). Subspatiul afin p E generat de punctele M₀, M₁, M₂ are ca spatiu vectorial director un subspatiu de dimensiune doi in spatiul vectorial V₃,

dat de

V₂ =

Daca notam cu = = , i = 0, 1, 2 vectori de pozitie ai punctelor M si respectiv M₀, M₁, M₂ in reperul cartezian R (O; ), (Oxyz) atunci multimea punctelor planului p va fi caracterizat de relatia vectoriala

l, m I R (1.1)

numita ecuatia vectoriala a planului prin trei puncte.

Daca (x, y, z), (x_i, y_i, z_i) I R , i = 0, 1, 2 sunt coordonatele punctelor M si respectiv M_i, i = 0, 1, 2 atunci ecuatia vectoriala (1.1) scrisa in reperul cartezian Oxyz este echivalenta cu ecuatiile

(1.2)

numite ecuatiile carteziene parametrice ale planului prin trei puncte.

Relatia l m reprezinta conditia de coplanaritate a vectorilor echivalenta cu anularea produsului mixt, adica

) = 0 sau ( (1.3)

In coordonate carteziene ecuatia (1.3) se scrie sub forma

sau (1.4)

numita ecuatie carteziana a planului prin trei puncte.

In particular, punctele A (a, 0, 0), B (0, b, 0), C (0, 0, c) situate pe axele de coordonate ale reperului Oxyz determina un plan p, iar coordonatele punctelor sale satisfac ecuatia

, sau dupa dezvoltare

(1.5)

numita ecuatia prin taieturi a planului p

Remarca. Conditia necesara si suficienta pentru ca patru puncte M_i(x_i,y_i, z_i), sa fie situate intr-un plan este

(1.6)

1.2. Planul printr-un punct, paralel cu doua directii date

Fie punctul M₀ I E si dreptele distincte d₁, d₂ E . Consideram in punctul M₀ reprezentantii vectorilor (l₁, m₁, n₁) , (l₂, m₂, n₂) paraleli dreptelor d₁ respectiv d₂ (fig.2)

Vectorii si , liniar independenti genereaza subspatiul vectorial

V₂ = .

Punctul M₀ I E si subspatiul vectorial V₂ determina subspatiul afin bidimensional p E . Un punct M I p daca si numai daca I V₂, adica vectorii si sunt coplanari.

Utilizand vectorii de pozitie si corespunzatori punctelor M si respectiv M₀, relatia de coplanaritate se scrie sub forma

(1.7)

numita ecuatia vectoriala a planului printr-un punct, paralel cu doua directii.

Proiectand ecuatia (1.7) pe axele sistemului cartezian de coordonate Oxyz obtinem:

numite ecuatiile carteziene sub forma parametrica ale planului printr-un punct, paralel cu doua directii.

Relatia de coplanaritate a vectorilor , si este caracterizata de anularea produsului mixt al celor trei vectori, adica (, ,) = 0. Obtinem astfel ecuatia

(1.9)

numita ecuatia carteziana a planului printr-un punct, paralel cu doua directii.

Remarca. In particular, ecuatia (1.9) poate fi adaptata si pentru alte situatii cunoscute din geometria elementara, in care un plan este perfect determinat. Anume: planul determinat de o dreapta si un punct nesituat pe dreapta, planul determinat de doua drepte concurente si respectiv planul determinat de doua drepte paralele.

Dreapta ca intersectie a doua plane

Se stie din geometria elementara ca doua plane neparalele se intersecteaza dupa o dreapta (d). In paragraful precedent aceasta situatie geometrica este caracterizata analitic de un sistem de ecuatii liniare compatibil nedeterminat, format cu ecuatiile celor doua plane. Astfel, ecuatiile sistemului

(2.7)

vor fi numite ecuatiile dreptei (d) data de intersectia a doua plane.

O solutie (x₀, y₀, z₀) a sistemului (2.7) va caracteriza un punct al dreptei (d) iar vectorul , unde si sunt normalele celor doua plane ce determina dreapta (d).

Observatie :

Ecuatiile carteziene (2.3) si (2.6) ale unei drepte in spatiu pot fi interpretate ca un sistem de doua ecuatii liniare, adica dreapta (d) gandita ca intersectia a doua plane.