Transformari omotetice
Fie o dreapta orientata d si un numar real nenul u. Daca fixam un punct d, atunci transformarea ce asociaza fiecarui punct O d punctul M definit de relatia
M = u O (H)
se numeste omotetie de centru si raport u pe d. Daca u > 0, omotetia este directa, iar daca u < 0, se numeste indirecta. Omotetia inversa omotetiei (H) asociaza fiecarui punct M d punctul O definit de relatia
O = M (H')
Daca presupunem definit un sistem de coordonate : d R cu originea si notam coordonatele punctelor O si M cu t = (O), s = (M), atunci omotetiile (H) si (H') au reprezentarea analitica
s = u t
si respectiv
t = s
Omotetia poate fi privita ca o miscare. De exemplu, sa consideram punctul O' definit de relatia
OO' = a OM (H1)
a fiind un numar pozitiv subunitar. Daca fixam punctul A dat de egalitatea
OA = OM
si definim sistemul de coordonate SA : d R cu proprietatea SA(O) = 0, SA(A) = 1, atunci punctelor O' si M li se asociaza coordonatele s1 = SA(O'), s = SA(M) intre care exista relatia
s1 = a s (*)
aceasta fiind expresia analitica a omotetiei (H1) de centru O si raport a in sistemul de coordonate SA. Pe de alta parte, daca in (*) efectuam schimbarea de coordonate
s = u t (**)
si notam v = a u, atunci (*) devine
s1 = v t (***)
Prin ultimele doua relatii, omotetia (H1) de centru O si raport a = depinde de coordonata t = (O). Daca t parcurge multimea R+ a numerelor reale pozitive, atunci punctele O, O' si M parcurg semidreapta pozitiva cu originea in sistemul de coordonate , iar punctele O' si M parcurg semidreapta pozitiva cu originea O in sistemul de coordonate SA. Deci putem vorbi de o miscare (deplasare) duala a punctelor O, O', M - sau a omotetiei (H1) - pe dreapta d. Deplasarea "externa" a omotetiei (H1) in sistemul de referinta o numim "absoluta", iar deplasarea "interna" a omotetiei (H1) in sistemul de coordonate SA o numim "relativa".
Asa cum rezulta din relatiile (**) si (***), in sistemul de coordonate SA miscarea se exprima prin doua tipuri de coordonate, unele variabile, dependente de punctul caruia i se asociaza si altele fixe, independente de aceste puncte. Este vorba despre coordonatele s = SA(M), s1 = SA(O') si respectiv t = (O). Pe de alta parte, in primul caz unitatile de masura au valori fixe, independente de punctele considerate, iar in al doilea caz acestea au valori variabile, care depind de punctele considerate. Este vorba despre unitatea de masura cu valoare unitara definita in sistemul de coordonate SA si respectiv de unitatile de masura de marime v si u care au rezultat in urma schimbarilor de coordonate. Mai precis, daca pe multimea S a segmentelor definim o masura Sm : S R+{0} cu proprietatea Sm(OO) = 0, Sm(OA) = 1, atunci in cazul unitatii de masura m = OA definita de punctul unitate A avem Sm(m) = 1, iar in cazul unitatilor de masura definite de relatiile
h = OM, h1 = OO'
din (**), (***) si relatiile
OM = s m = t h, OO' = s1 m = t h1
rezulta h = u m, h1 = v m, deci Sm(h) = u, Sm(h1) = v.
Daca unitatile de masura si coordonatele fixe le numim "absolute", iar pe cele care depind de punctul considerat le numim "relative", atunci putem afirma ca miscarea in sistemul de coordonate SA se exprima atit printr-un numar relativ de unitati absolute, cit si printr-un numar absolut de unitati relative. Aceasta reprezentare duala a miscarii relative a omotetiei (H1) definita de punctele O, O', M in sistemul de coordonate SA este datorata faptului ca omotetia (H) include (subordoneaza) omotetia (H1). Daca nu tinem cont de aceasta subordonare, atunci utilizam relatiile (*) pentru a exprima analitic omotetia (H1).
Putem relua observatiile de mai sus, daca ne referim la omotetia inversa (H'). De exemplu, daca fixam punctul B dat de egalitatea
OB = OM
si definim sistemul de coordonate TB : d R cu proprietatea TB(O) = 0, TB(B) = 1, atunci punctelor O' si M li se asociaza coordonatele t1 = TB(O'), t = TB(M) intre care exista relatia
t1 = a t (*')
aceasta fiind expresia analitica a omotetiei (H1) de centru O si raport a in sistemul de coordonate TB. Pe de alta parte, daca in (*') efectuam schimbarea de coordonate
t = s
si avem in vedere ca a = , atunci (*') devine
t1 = s
Prin ultimele doua relatii, omotetia (H1) de centru O si raport a = depinde de coordonata s = (M). Daca s parcurge multimea R+ a numerelor reale pozitive, atunci punctele O' si M parcurg semidreapta pozitiva cu originea O in sistemul de coordonate TB, iar omotetia (H1) parcurge semidreapta pozitiva cu originea in sistemul de coordonate . Deci putem vorbi de o miscare absoluta a omotetiei (H1) pe dreapta d, exprimata prin coordonata absoluta s = (M), cit si de o miscare relativa a omotetiei (H1) pe dreapta d, exprimata prin coordonatele relative t1 = s si t = s.
Reluam observatiile de mai sus, pornind de la un segment oarecare OM d. Fie o dreapta orientata d si fie puctele O < A < B d. Daca pe dreapta d definim un sistem carezian de coordonate SA : d R cu proprietatea SA(O) = 0, SA(A) = 1, cit si un sistem cartezian de coordonate TB : d R cu proprietatea TB(O) = 0, TB(B) = 0, iar pe multimea S a segmentelor definim o masura Sm : S R+{0} cu proprietatea Sm(OO) = 0, Sm(OA) = 1, cit si o masura Th : S R+{0} cu proprietatea Th(OO) = 0, Th(OB) = 1, atunci spunem ca pe dreapta d am definit un sistem de referinta cu originea O, sau ca punctului O i-am asociat un sistem de referinta. Notam cu S acest sistem de referinta si cu m = OA, h = OB unitatile de masura definite de punctele unitate A si B.
