Inelul claselor de resturi modulo n

Inelul claselor de resturi modulo n

Operatiile de adunare si inmultire confera multimii Z a numerelor intregi o structura de inel comutativ unitar si fara divizori ai lui zero .(pe scurt inel integru ) .In acest inel multimea nZ a multiplilor numarului natural n (fixat) formeaza un ideal (bilateral) . Pe de alta parte daca I este un ideal al inelului (Z, +, ) atunci I este un subgrup al grupului (Z, +) deci exista un numar natural n astfel incat I = nZ . Daca I = nZ si J = mZ sunt doua ideale ale lui Z atunci I + J este de asemenea un ideal al lui Z si exista d I Z astfel incat I + J = dZ sau nZ + mZ = dZ (putem presupune d I N) . Din relatia n m I dZ rezulta d n si d m , iar din relatia d I nZ + mZ rezulta ca exista a, b I Z astfel incat d = an + bm . Din urma relatiei deducem ca orice divizor comun al lui m si n este si un divizor al lui d . Prin urmare d este cel mai mare divizor comun al numerelor intregi n si m . Analog se demonstreaza ca daca nZ mZ = qZ atunci q este cel mai mic multiplu comun al lui n si m . De asemenea are loc relatia (nZ)(mZ) = (nm)Z .

Inelele factor ale inelului Z se construiesc prin factorizare cu ideale care au forma nZ , n I N . Reamintim ca pornind de la structura de grup aditiv a lui Z si considerand un subgrup nZ al acestuia , relatia

x y x - y I nZ

este o relatie de echivalenta (numita si relatie de congruenta modulo n ) si notata in teoria numerelor prin x s z (mod n) ale carei clase de echivalenta au forma

Clasele de echivalenta se mai numesc si clase de resturi modulo n , in rolul reprezentantului r putand fi ales totdeauna un numar natural cuprins intre 0 si n - 1 . Multimea acestor clase Zn = capata o structura de grup comutativ in raport cu operatia Constructia amintita tine seama numai de operatia de adunare pe Z . Tinand cont si de operatia de inmultire din Z , deci de structura de inel , se poate completa si structura lui Zn . Astfel operatia

impreuna cu operatia de adunare induc pe Zn o structura de inel comutativ si unitar Acest inel poarta numele de inelul claselor de resturi modulo n . Elementele remarcabile ale acestui inel sunt urmatoarele : 0 - elementul neutru (al operatiei de adunare ) , - opusul clasei , - elementul unitate (al operatiei de inmultire ) .

Aplicatia jn : Z Zn definita prin jn (x) = este un morfism unitar de inele deoarece :

Morfismul jn se numeste surjectia canonica a lui Z pe inelul sau factor Zn . Daca n = 0 atunci fiecare clasa de resturi in Z0 este de forma . Surjectia canonica j0 = Z Z0 este si injectiva , deci inelele Z si Z0 sunt canonic izomorfe .

Daca n = 1 atunci = Z , deci toate numerele intregi fac parte dintr-o singura clasa de resturi , iar inelul Z1 este inelul nul , Z1 = .

Inelul Zn are mai multe aplicatii in teoria numerelor . In continuare , pe baza proprietatilor grupurilor finite vom deduce cateva astfel de rezultate . Pentru aceasta vom stabilii mai intai care sunt unitatile (elementele inversabile ) inelului Zn .

Teorema 6.1. In inelul Zn , n > 1, elementul este inversabil daca si numai daca x si n sunt relativ prime .

Demonstratie. Observam mai intai ca daca x si n sunt relativ prime si y = x + kn , k I Zn , atunci z si n sunt de asemenea relativ prime. Daca este inversabila in Z n atunci exista I Z n astfel incat , de unde xz = 1 + kn , pentru un anumit k I Z . Din relatia

xz - kn = 1

rezulta ca divizorii comuni ai lui x si n sunt 1 , deci x si n sunt relativ prime . Reciproc , daca x si n sunt relativ prime , atunci exista numerele intregi a si b astfel incat ax + bn = 1 .Luand imaginile acestor elemente prin surjectia canonica jn si tinand seama ca jn (n) = 0 rezulta , adica este inversabila in Zn .

Conform teoremei precedente , de exemplu , in Z15 , si sunt inversabile , dar nu este inversabila .

Consecinta . Daca n este numar prim , atunci Zn este corp . Intr-adevar daca n este numar prim , atunci 1, 2, . . n - 1 sunt relativ prime cu n si deci toate elementele inelului Zn diferite de elementul neutru al adunarii () sunt inversabile .

2. Consecinta . Inelul Zn (n > 1) contine atatea elemente inversabile cate numere naturale mai mici ca n si prime cu n exista , adica j (n) elemente , unde j : N N este functia lui Euler .

3. Observatie . Legatura dintre elementele inversabile din Zn si j (n) ne permite sa dam o noua demonstratie faptului ca indicatorul lui Euler este o functie multiplicativa . Pentru aceasta vom demonstra lema care urmeaza .

1. Lema . Daca m1 si m2 , sunt numere intregi relativ prime , atunci .

Demonstratie .   Consideram functia f : Z Zm1 x Zm2 , definita prin f (x) = (j1(x ) , j2 (x)) , unde j j2 sunt surjectiile canonice ale lui Z pe Zm1 , Zm2 . Se verifica imediat ca f este morfism de inele . Daca x I Ker f , atunci m1 x , m2 x , si deoarece m1 , m2 sunt relativ prime , deducem m1m2 x . Daca m1m2 x , atunci    x I Ker f . Deci Ker f = m1m2 Z . Conform teoremei fundamentale de izomorfism Im f Z Ker f = Zm1m2 . Deoarece Im f are m1m2 elemente rezulta ca Im f = Zm1 x Zm2 , de unde izomorfismul din enunt .

Aplicand propozitiile din 5. pentru izomorfismul din lema precedenta se obtine U(Zm1m2) u (Zm1) x U (Zm2) din care deducem ca j( m1m2 ) = j(m1) j(m2)