Rezolventa

Rezolventa

Vom continua aici studiul ecuatiei

    (1)

totusi spre deosebire de paragraful precedent ne va interesa acum cazul in care ea admite o solutie unica.

Fie o valoare nesingulara a operatorului U. Operatorul definit din relatia

(2)

se numeste rezolventa operatorului U. Pentru vom pune

Daca se are in vedere spectrul si respectiv multimea valorilor regulate atunci in locul lui este mai comod sa se considere operatorul

  (3)

care are sens pentru toate valorile regulate ale operatorului U. Operatorul va fi numit tot rezolventa. Pericolul de confuzie a celor doua notiuni este exlus deoarece va fi intotdeauna clar din context despre care dintre rezolvente este vorba; in afara de aceasta cele doua rezolvente pot fi distinse prin faptul ca sunt notate in mod diferit. Sa remarcam ca rezolventa se intalneste adesea in teoria ecuatiilor integrale , unde este numita rezolventa Freedholm pe cand in teoria in analiza functionala prin rezolventa se intelege de obicei .

Daca evident

Invers din egalitatea

obtinem

Prin urmare pentru

Relatiile (4) si (6) permit reformularea pentru a tuturor propozitiilor demonstrate pentru si reciproc

Sa studiem comportarea rezolventei pentru mici. Sa consideram seria

Daca seria converge in spatiul de operatori B (X,X) atunci conform observatiei la teorema lui Banach suma ei este adica

de unde ca urmare a relatiei (5)

Aceasta formula are loc pentru acele valori ale lui pentru care seria (7) converge daca

si diverge daca

Ajungem astfel la teorema urmatoare.

Teorema III.3.1. Rezolventa admite dezvoltarea (8) in serie dupa puterile lui a carei raza de convergenta este

Daca trecem cu ajutorul relatiilor (4) de la rezolventa la rezolventa obtinem :

Corolar. Rezolventa admite dezvoltarea in serie dupa puterile lui

Raza de convergenta a seriei (8) poate fi exprimata si in functie de localizarea multimii caracteristice in planul complex.

Vom demonstra mai intai doua propozitii ajutatoare.

Lema III.3.2. Pentru orice are loc egalitatea

Demonstratie. Din relatia (5) avem

Inmultind la dreapta aceasta egalitate cu si apoi la stanga cu obtinem

si prin urmare

ceea ce trebuie demonstrat.

Corolar. Operatorii comuta, adica

Se demonstreaza analog ca pentru toti

Lema III.3.3. Rezolventa este functie continua de parametrul in orice punct al multimii adica daca atunci

Demonstratie. Vom demonstra intai ca functia reala este continua pe . Daca U =0, atunci si afirmatia este demonstrata. Daca atunci ceea ce permite demonstrarea continuitatii functiei .

Din (9) obtinem

Prin urmare

de unde obtinem rezultatul dorit.

Sa stabilim acum continuitatea lui . Deoarece multimea este deschisa , iar exista un disc continut in intregime in . Functia continua este marginita pe acest disc, fie de exemplu

Conform relatiilor (9) si (10) ,

lema este astfel demonstrata.

Teorema III.3.4. Raza de convergenta r a seriei (8) este egala cu distanta de la punctul la multimea caracteristica

Demonstratie. In primul rand, deoarece discul converge si prin urmare , pentru acesti rezolvanta exista, discul respectiv este continut in multimea valorilor nesingulare. De aceea

Sa luam acum un element arbitrar si o functie arbitrara si sa consideram functia de variabila complexa

Sa demonstram ca este regulata pe multimea . Intradevar daca atunci in virtutea relatiei (9)

Cand membrul drept are limita (lema III.3.3).Astfel exista derivata continua

Sa dezvoltam functia in seria Taylor in vecinatatea punctului

Aceasta dezvoltare are sens in orice disc care nu contine puncte singulare ale lui si deci cu atat mai mult in discul Deoarece in virtutea relatiei (8)

In plus ca urmare a cunoscutei teoreme din teoria functiilor de variabila complexa , seriile coincid astfel incat seria (12) converge pentru

Sa luam arbitrar. Din convergenta seriei (12) pentru rezulta ca

si prin urmare , deoarece f este arbitrara

Dar un sir slab convergent este marginit

Deoarece aceasta inegalitate este indeplinita pentru orice iar spatiul X este complet, atunci

De aceea

si

Deoarece poate fi luata arbitrar de aproape de . Tinand seama si de inegalitatea , demonstrata mai sus obtinem de aici ceea ce trebuie demonstrat

Observatie Fie o valoare nesingulara a operatorului U. Ca si mai sus se poate observa dezvoltarea

care are loc in discul unde este distanta de la punctul pana la multime caracteristica sau, ca si in teorema III.3.1

Inlocuind rezolvanta prin rezolvanta obtinem urmatorul rezultat.

Corolar . Dezvoltarea

are loc pentru este raza celui mai mic disc cu centrul in origine care contine in intregime spectrul.

Numarul 1/r se numeste raza spectrala a operatorului U.

Observatie Daca U este un operator autodjunct in spatiul Hilbert atunci Impreuna cu rezultatul corolarului la teorema III.3.1 aceasta ne conduce la relatia interesanta

Corolar Spectrul al unui operator liniar continuu U intr-un spatiul Banach complex, nevid.

Demonstratie. Daca atunci luand in considerare legatura intre obtinem ca multimea a valorilor nesingulare este intreg planul complex. Deoarece putem considera avem pentru orice operatorul . Fie Sa luam .

Analog cu demonstratia teoremei III.3.4 obtinem functia

este regulata in tot planul complex

Deoarece continuu de unde obtinem ca in lema III.3.3 ca pentru Prin urmare in virtutea relatiei(6),

Asadar este marginita, de unde conform teoriei lui Liouville este identic egala cu o constanta care evident nu poate fi decat zero. Totusi contradictia obtinuta demonstreaza corolarul.

Sa remarcam ca daca am fi incercat sa definim spectrul unui operator U intr-un spatiu real intr-un mod analog celui folosit la punctul III.1. spectrul ar fi putut fi multimea vida. Aceasta este principala cauza pentru care consideram cazul complex.