Transformata Z si transformata Laplace discreta

Transformata Z si transformata Laplace discreta

Transformata Z

Fie un sir de numere reale sau complexe.

Se numeste transformata Z a sirului , functia de variabila complexa

.

Daca sirul dat satisface conditia , unde , atunci F(z) defineste o functie olomorfa in domeniul .

Relatia de mai sus, in care este definit F(z), reprezinta de fapt dezvoltarea acestei functii intr-o vecinatate a lui . Astfel, daca F(z) este data, pentru determinarea sirului se poate proceda astfel:

- se dezvolta F(z) in jurul lui , identificandu-se termenii sirului, sau

- se aplica formula de calcul pentru coeficientii dezvoltarii in serie Laurent: , unde este o curba simpla inchisa cu proprietatea ca in cu se afla toate singularitatile lui F(z) aflate la distanta finita.

Exemplu pentru determinarea sirului a carui transformata Z se cunoaste

Sa se deduca sirul daca trasformata sa Z este .

- Metoda 1):

Dezvoltam F(z) in jurul lui :

,

pentru  .

Rezulta: .

- Metoda 2):

Aplicam formula de calcul a coeficientilor dezvoltarii in serie Laurent:

.

Conform teoremei reziduurilor:

;

.

Transformata Laplace discreta

Fie . Daca , atunci f se numeste functie original discreta.

Se numeste transformata Laplace discreta a functiei (original discrete) f, functia de variabila complexa, notata , data de:

.

- Observam ca se obtine din F(z) (transformata Z), luand in definitia acesteia .

- De asemenea, se observa ca exista pentru

Notatie: legatura dintre f(n) si se noteaza: f(n) sau .

Are loc formula de inversiune: .

Exemplu de calcul si de notatie pentru transformata Laplace discreta

Sa calculam transformata Laplace discreta pentru .

Conform definitiei, ;

(se subintelege ca , pentru ca trebuie sa fie functie original discreta, adica ).

Deci, (sau ).

Daca , atunci (sau ).

Proprietatile transformatei Laplace discrete si reguli de calcul

- Liniaritatea

Daca , , atunci .

- Teorema deplasarii

Daca f(n) , atunci .

Exemple pentru teorema deplasarii si liniaritatea transformatei Laplace discrete

Sa calculam transformata Laplace discreta a functiilor .

Folosind formulele lui Euler, rezulta:

.

Din liniaritate si din teorema deplasarii, avem:

;

;

.

Prin urmare:

;

.

- Teorema intarzierii

Daca f(n) , atunci:

(i) ;

(ii) .

Exemple pentru teorema deplasarii si liniaritatea transformatei Laplace discrete

Sa calculam transformata Laplace discreta a functiilor .

Folosind formulele lui Euler, rezulta:

.

Din liniaritate si din teorema deplasarii, avem:

;

;

.

Prin urmare:

;

.

- Teorema de derivare in raport cu un parametru

Daca f(n,x) , atunci .

- Teorema de derivare a imaginii (a transformatei Laplace discrete)

Daca f(n) , atunci .

Exemplu pentru teorema de derivare a transformatei Laplace discrete

Sa calculam transformata Laplace discreta a functiei original disctreta.

, conform teoremei de derivare a imaginii.

Dar si prin urmare rezulta:

.

- Teorema de integrare a transformatei Laplace discrete

Daca f(n) , atunci .

- Transformata Laplace discreta a diferentelor divizate de ordin k ale originalului

Daca f(n) , atunci .

Definitia diferentelor divizate de ordin k

Fiind data , diferentele divizate asociate lui f se definesc recursiv, astfel:

;

.

Observatie:

.

- Transformata Laplace discreta pentru o suma finita de functii original

Daca f(n) , atunci g(n) .

- Teorema inmultirii (transformata Laplace discreta a produsului de convolutie)

Daca  f(n) si g(n) , atunci .

Definitia produsului de convolutie (discret)

Daca , atunci produsul lor de convolutie, notat , este dat de:

.

Folosind regulile de calcul de mai sus, se pot deduce si se poate intocmi o lista de transformate Laplace discrete folosite des in aplicatii.

Lista de transformate Laplace discrete

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

.