Integrarea analitica a ecuatiei diferentiale a fibrei medii deformate in cazul grinzilor de sectiune constanta si executate din acelas material adica ( E1 = E2 =E3 =.=En ) cu mai multe campuri de variatie a momentului incovoietor. Procedeul lui Clebsch

Integrarea analitica a ecuatiei diferentiale a fibrei medii deformate in cazul grinzilor de sectiune constanta si executate din acelas material adica ( E₁ = E₂ =E₃ = . =E_n ) cu mai multe campuri de variatie a momentului incovoietor. Procedeul lui Clebsch sau al identificarii constantelor de integrare.

Acest procedeu reduce numarul constantelor de integrare la doua C si D , pe cand la metoda analitica se introducea pentru fiecare regiune cate doua constante de integrare , ca atare pentru o bara cu trei sau mai multe regiuni, metoda analitica devine destul de complicata .

Procedeul Clebsch impune anumite restrictii :

originea de masura a absciselor se fixeaza intotdeauna la unul din capetele barei, indiferent daca este reazem sau capat de consola.

originea odata aleasa ramane neschimbata pe tot timpul rezolvarii problemei, pozitionarea fortelor ( sarcinilor) si a sectiunilor curente se face numai fata de aceasta origine.

toti termenii expresiei momentului incovoietor din regiunea

( campul ) precedenta trebuie lasati neschimbati ca forma in functia momentului incovoietor al regiunii urmatoare a grinzii.

toti termenii expresiei momentului incovoietor care apar in regiunea urmatoare, incepand cu regiunea a doua, trebuie sa contina binomul ( x_i - a_j ) .

integrarea ecuatiei diferentiale, trebuie facuta fara a se desface

parantezele binomului ( x_i - a_j )ⁿ .

6) tronsoanele barei sa fie din acelasi material si sectiunea transversala sa fie constanta pe toata lungimea barei. De aici reiese particularitatea acestui procedeu.

Cand exista de rezolvat integrala de forma: ; se face schimbarea de variabila = t ; se diferentiaza d = dt ; ; dx = dt ; = ; unde t = , si deci = .

Sa demonstram existenta a numai doua constante de integrare C si D , pentru o grinda incarcata ca in figura, acest caz particular duce prin inductia matematica la rezolvarea oricarui tip de incarcare. Aplicam metoda analitica de calcul a sagetilor si a rotirilor sectiunilor transversale, pentru fiecare regiune in parte si ne folosim de faptul ca functia axei de simetrie deformata trebuie sa fie continua si derivabila pe tot domeniul maxim de definitie.

Figura 1

Regiunea intai

; ; ; ecuatia fibrei medii

deformate va fi : ,

Figura 2

prin integrari succesive se obtin, urmatoarele expresii; ;

Pentru regiunea a II-a

; ; ecuatia fibrei medii deformate va fi :

prin integrari succesive se obtin, urmatoarele expresii:

; ( 2 )

Punem conditiile de continuitate si derivabilitate ale functiilor ce exprima sagetile si rotirile sectiunilor transversale , in sectiunea ( 1 ) [functia y(x) = v(x) sa fie continua si derivabila]. Deci ; la fel si

De unde rezulta :

de aici implica C₁ = C₂ si D₁ = D₂ .

S-a precizat ca acest procedeu este limitat la barele executate din acelas material si nu variaza dimensiunile sectiunilor transversale.

Regiunea a III-a

; ; ; ecuatia fibrei medii deformate va fi :

Figura 3

Punem conditiile de continuitate si derivabilitate ale functiilor ce exprima sagetile si rotirile sectiunilor transversale , in sectiunea ( 2 ) [functia y(x) = v(x) trebuie sa fie continua si derivabila].

;

Figura 4

de aici implica C₁ = C₂ = C₃ si D₁ = D₂ = D₃.

Prin inductie matematica rezulta ca : C₁ = C₂ = C₃ = . = C_n = C

si D₁ = D₂ = D₃.= . = D_n = D , unde

; v₀ este sageata in origine, iar φ₀ rotirea in origine a sectiunii transversale.

Problema nr.5

Sa se calculeze sagetile si rotirile sectiunilor transversale Q si S pentru bara din figura 5, stiind ca :

E = 2,1 . 10⁵ N/mm² ; q = 6 N / m ; l = 0,21 m , sectiunea transversala fiind dreptunghiulara cu b = 6 mm si h = 8 mm .

Rezolvare:

Calculam sagetile si rotirile sectiunilor transversale Q si S cu ajutorul procedeului Clebsch pentru grinda din figura 5, alegem ca origine , articulatia din (A) .

Se scrie ecuatia momentului generalizator din ultima regiune (B-S), apoi se calculeaza expresia functiilor pentru sageti si rotiri tot cu elemente generalizatoare . cu ; ; incarcarea trapezoidala s-a desfacut intr-un triunghi si intr-un dreptunghi. Forta rezultanta pentru triunghi . , forta rezultanta pentru dreptunghi R_dreptunghi(x₃)=q(x₃)(x₃-3l), pentru trapezul dreptunghic variabil din figura 6, s-a aplicat principiul suprapunerii efectelor. Deasemenea pentru a avea in expresia momentului incovoietor termenii binomiali

( x_i - a_j )ⁿ s- a pus la momentul incovoietor concentrat M_iz ( Q ) = ql² bratul ( x - l )⁰ [ orice numar la puterea zero este egal cu unu ], apoi s-a prelungit functia de incarcare q(x) = q din regiunea a II-a [ sus si jos pe aceeasi lungime ( x-3l )] ca urmare a aplicarii principiului suprapunerii efectelor.

Functia de incarcare pentru regiunea a III-a ( fiind triunghiulara ) se afla din teorema lui Thales :

; 6l - x + 3l = 9l - x ; ;

R_dreptunghi= ;  cand se

exprima momentele incovoietoare ale sarcinii distribuite data de incarcarea trapezoidala fata de sectiunea ( x ) , se obtin defalcat momentul incovoietor pentru incarcarea triunghiulara si respectiv momentul incovoietor pentru incarcarea dreptunghiulara.

Figura 6

Figura 5

, momentul incovoietor pentru

incarcarea dreptunghiulara din regiunea a III-a ,

; momentul incovoietor pentru incarcarea triunghiulara din regiunea a III-a.

Momentului generalizator din ultima regiune:

Figura 7

Aplicam ecuatia fibrei medii deformate: ;

prin integrari succesive se obtin, urmatoarele expresii;

S-au obtinut expresiile sagetilor si a rotirilor sectiunilor transversale in forme generalizatoare, se afla constantele C si D din conditiile de sprijin ( de reazem ) ale barei. O prima conditie este :

; la fel si ; in regiunea intai ,

Figura 8

; pentru expresia momentului incovoietor

din regiunea intai, se ia din expresia momentului incovoietor generalizator numai primul termen , la fel se tine cont si in expresiile sagetilor sau rotirilor.

; D = 0 . A doua conditie de reazem va fi: .Conditiile de reazem ( de sprijin ) sunt cuprinse in conditiile de continuitate si derivabilitate ale functiei fibrei medii deformate.

In regiunea a II-a , ;

Figura 9

; pentru expresia

momentului incovoietor din regiunea a II-a, se ia din momentului incovoietor generalizator numai termenii care dau moment incovoietor pentru regiunea a II-a , in mod analog se procedeaza la expresiile sagetilor si a rotirilor sectiunilor tranversale , se iau numai primii trei termeni la care se adauga contributia lui C si D .

;

;

;

C = - 19,83 ql³ .

Avand determinate constantele de integrare C si D , s-au obtinut

functiile sagetilor si rotirilor sectiunilor transversale penru orice punct de pe bara .

;

Acum se calculeaza sageata si rotirea in punctul Q , care se afla in

regiunea intai deci se ia numai primul termen la care se adauga cotributia C si D :

v_Q = - 4,12 mm.

Pentru sectiunea din punctul S se iau expresiile generalizatoare ,

deoarece (S ) cade in ultima regiune pentru care s-a facut momentul incovoietor generalizator.

;