Determinarea solutiilor optime in cazul functiilor criteriu I1 si I4

Determinarea solutiilor optime in cazul functiilor criteriu si

Determinarea solutiilor optime in cazul utilizarii functiilor criteriu si poate fi ilustrata prin considerarea unor sisteme de reglare automata de ordinal II, avand in stare inchisa functii de transfer cu polinoame de gradul II la numitor.

a. Aplicarea criteriului in cazul unei functii de transfer cu doi poli.

Considerand un sistem de ordinul II cu functia de transfer (2.50), folosirea relatiei (2.11) conduce la expresia

(3.21)

si identificand coeficientii din (2.18) si (3.21) rezulta

(3.22)

Fiind satisfacuta conditia (2.19), se utilizeaza relatiile (2.25), (2.26), (2.27), (2.28) si (2.29) rezultand

(3.23)

 

Inlocuind (3.23) si (3.24) in (2.25) se obtine

(3.25)

Pentru determinarea valorii optime se anuleaza derivate

(3.26)

rezultand

(3.27)

(avand in vedere conditia , pentru asigurarea stabilitatii sistemului [1]).

Din (3.25) se constata ca nu exista o valoare finita care sa minimizeze criteriul , valoarea criteriului fiind cu atat mai mica, cu cat valoarea este mai mare; acelasi rezultat se obtine si din expresia derivatei criteriului din - (3.25) - in raport cu :

(3.28)

care se anuleaza numai daca

(3.29)

Aceasta concluzie este intru totul justificata, avand in vedere faptul ca la sistemele de reglare automata cu functia de transfer (2.50) suprareglajul depinde numai de valoare , iar modificarea valorii determina numai o contractare sau dilatare (in directia axei timpului) a raspunsului y al sistemului la un semnal treapta [1]. Astfel, in figura 3.1 este reprezentat raspunsul al unui system cu si , iar in figura 3.2 - raspunsul al unui system cu si , constatandu-se ca in al doilea caz

sunt evident mai mici ariile delimitate de raspunsul y in raport cu orizontala valorii stationare , deci si criteriul va avea in al doilea caz o valoare mai mica decat in primul caz; deoarece , suprareglajul este egal la cele doua raspunsuri.

Intrucat in cazul considerat optimizarea valorii nu poate fi obtinuta numai prin intermediul criteriului , este necesara introducerea unui criteriu suplimentar. In practica, acesta poate fi reprezentat de respectarea largimii de banda impuse , care asigura proprietatiile de filtru ale sistemului si deci o comportare dorita in raport cu perturbarile de inalta frecventa [1], conform unei conditii de forma

(3.30)

unde este largimea de banda a sistemului.

Ca urmare, pentru valoarea din (3.27) se considera relatia corespunzatoare dintre largimea de banda si pulsatia , care are aspectul [1]

(3.31)

si se adopta pentru valoarea limita admisa de conditia (3.30) , deci

(3.32)

Din (3.31) si (3.32) se obtine

deci rezulta valoarea considerata ca optima

(3.33)

In privinta valorii din (3.27) se constata ca regimul tranzitoriu va avea un suprareglaj relative ridicat, intrucat pentru sistemele cu functia de transfer (2.50) valorii ii corespunde [1] suprareglajul

(3.34)

Acest rezultat confirma faptul (mentionat in paragraful 5.2.1) ca criteriul conduce la valori mai mari ale suprareglajului in comparatie cu criteriul , acestuia din urma corespunzandu-i procesul tranzitoriu etalon aperiodic (3.6) , datorita faptului ca are loc si limitarea valorilor derivatei

b. Aplicarea criteriului in cazul unei functii de transfer cu doi poli si un zero.

Considerand ca functia de transfer a sistemului inchis poate fi pusa sub forma

(3.35)

urmeaza sa fie determinata valoarea optima a parametrului a prin intermediul criteriului

Identificand (3.35) cu forma obisnuita a functiilor de transfer cu doi poli si un zero [1]

(3.36)

rezulta

(3.37)

(3.38)

(3.39)

deci prin determinarea valorii se obtin valorile optime pentru si z.

Inlocuind (3.35) in (2.11) se obtine

(3.40)

si identificand coeficientii din (2.18) si (3.40) rezulta

(3.41)

Intrucat este satisfacuta conditia (2.19), se folosesc relatiile (2.25), (2.26), (2.27), (2.28) si (2.29) rezultand

 

(3.43)

Inlocuind (3.42) si (3.43) in (2.25) se obtine

(3.44)

anularea derivatei

(3.45)

conducand la valoarea optima

(3.46)

(din (3.38) si (3.39) rezultand conditia a > 0).

Inlocuind (3.46) in (3.38) si (3.39) rezulta

(3.47)

(3.48)

Intrucat valorile si sunt functii de parametrii regulatorului, din (3.47) si (3.48) rezulta implicit valorile de acordare optima a acestor parametrii.

Astfel, de exemplu, presupunand ca partea fixata are o functie de transfer

(3.49)

si se alege o structura de regulatoare PI, cu functia de transfer aproximativa [1]

(3.50)

rezulta

si

(3.51)

Identificand coeficientii numaratorilor din (3.35) si (3.51) se obtine

 

si inlocuind (3.46) in (3.52) rezulta

 

Punerea functiei de transfer sub forma (3.35) permite optimizarea in functiei de un singur parametru, a, ceea ce simplifica considerabil obtinerea solutiei optime.

In subcapitolul 5.4 este ilustrata cautarea optimului unei functii criteriu dependete de mai multi parametri.

c. Aplicarea criteriului in cazul unei functii de transfer cu doi poli.

Considerand functiile de transfer (2.48) si (2.50), criteriul are expresia (2.93), obtinuta in paragraful 5.1.4 prin intermediul functiilor Liapunov; expresia criteriului poate fi obtinuta usor si prin intermediul trelatiilor directe din paragraful 5.1.3.

Pentru ilustrare, se considera expresia din (3.21) - obtinuta pentru functia de transfer (2.50) - si se aplica relatiile (2.33) si (2.35) rezultand

(3.54)

prin identificarea coeficientilor din (2.37) si (3.54) se obtine

 

verificandu-se conditia (2.38).

Prin intermediul relatiilor (2.40) se obtin expresiile

 

deci pentru (2.39) rezulta forma

(3.57)

Determinand se obtine conform relatiilor (2.28) si (2.29)

(3.58)

- avand in vedere (3.55) - iar determinantul Δ este cel din (3.24) .

Ca urmare, inlocuind in (3.57) expresiile (3.55), (3.56), (3.58) si (3.24) se obtine

(3.59)

Introducand in (2.32) expresiile (3.25) si (3.59) rezulta

(3.60)

Pe de alta parte, inlocuind (2.51), (2.52) si (2.53) in (2.93) se obtine

(3.61)

identitatea expresiilor (3.60) si (3.61) confirmand faptul ca prin relatii directe si prin intermediul functiilor functiilor Liapunov se obtine acelasi rezultat pentru functia criteriu

Anuland derivatele expresiei in raport cu si cu , din (3.61) rezulta

(3.62)

Pentru o valoare , din (3.42) se obtine

(3.63)

iar pentru o valoare , din (3.63) rezulta

(3.64)

Din (3.63) si (3.64) se constata ca adoptand o valoare initiala pentru (sau pentru ), determinand valoarea corespunzatoare (respectiv ) si reactualizand apoi succesiv valorile si se obtine un proces care nu converge spre o pereche de valori optime ale celor doi parametri, intrucat valorile acestora cresc continuu cu fiecare pas de cautare a optimului.

Acest rezultat se datoreste faptului - mentionat anterior in legatura cu expresia (3.29) si ilustrat prin figurile .5.1 si 5.2 - ca in cazul sistemelor cu functia de transfer (2.50) cresterea valorii determina o reducerea a ariilor delimitate de raspunsul y in rapot cu valoarea stationara .

De aceea este indicat ca valoarea sa fie aleasa din considerentul satisfacerii conditiei (3.30) , impuse pentru largimea de banda, iar valoarea sa fie obtinuta din (3.63) prin introducerea valorii respective; intrucat valoarea nu este inca cunoscuta - cum a fost in cazul (3.27) - si deci nu poate fi direct stabilita o dependenta de tipul (3.31) intre si (deoarece aspectul dependentei este in functie de valoarea ), pot fi necesare cateva iteratii, incepand cu o dependenta adoptata initial intre si , determinand valoarea - printr-o relatie de tipul (3.33) - inlocuind-o in (3.63) si reactualizand dependenta mentionata in conformitate cu valoarea gasita etc.

In orice caz, din (3.63) se verifica faptul - mentionat in paragraful 5.1.1 - ca criteriul conduce la o calitate mai buna a regimului tranzitoriu, in comparatie cu criteriul , deoarece pentru orice valoare (obtinuta in functie de ) din (3.63) va rezulta o valoare mai mare decat cea din (3.27) , obtinuta prin criteriul pentru aceeasi functie de transfer (2.50), ceea ce corespunde unui suprareglaj mai mic [1].

d. Aplicarea criteriului in cazul unei functii de transfer cu doi poli si un zero.

Considerand ca partea fixata are o functie de trasnfer de forma

(valorile parametrilor si fiind cunoscute) si ca se adopta un bloc de reglare PI, cu functia de trasnfer

se obtin expresiile functiilor de transfer ale sistemului deschis si inchis

si ale transformatelor si

(3.65)

(3.66)

conform cu (2.11) si (2.36), in ipoteza unei variatii treapta unitara a marimii de referinta.

Aplicand relatiile (2.25) . (2.29) pentru expresiile (3.65) si (3.66) se obtin componentele si ale criteriului

rezultand

conform cu (2.32).

Pentru obtinerea valorilor optime , ale parametrilor regulatorului se calculeaza derivatele partiale

si

Din anularea primei derivate partiale

se obtine

iar din anularea celeilalte derivate partiale

rezulta

Introducand in expresiile functiilor de transfer H(s) si valorile optime si rezulta

si

Din expresia H(s) se constata ca raspunsul la o variatie treapta a marimii de referenta are aspectul unei exponentiale cu constanta de timp T, deci se obtine chiar procesul tranzitoriu etalon din (3.6) . Inlocuind valorile optime si in expresia criteriului rezulta

confirmandu-se astfel obtinerea valorii din (3.7) , intrucat pentru raspunsul la treapta unitara.