Functii fereastra

In acest capitol se introduce notiunea de semnal quasiperiodic (semnal cu aspect perio­dic) si se arata ca semnalele periodice prelevate din natura nu au modele matematice analitice, dar aceste semnale au spectre discrete care pot fi calculate cu algoritmul FFT.

In capitolul 2 trunchierea in timp a semnalului analizat s‑a facut prin ponderare cu o functie fereastra rectangulara. In continuare se studiaza alte functii fereastra care reduc diferenta dintre cazul cel mai favorabil si cel mai putin favorabil si reduc influenta lobilor secundari asupra amplitudinii liniilor spectrale.

Introducere

In capitolul 2 s‑a discutat influenta trunchierii in timp asupra spectrului de linii re­zultat in urma transformatei analizei unui semnal armonic cu ajutorul transformatei Fou­rier dis­­­crete. Semnalul armonic a fost esantionat si trunchiat in timp prin ponderarea cu functia fereastra rectangulara . Aplicand formu­lele 2.13 si 2.15 se obtine secventa

, (4.1)

unde este momentul in care incepe achizitia datelor, este numarul de esantioane prelevat din semnalul iar este du­ra­ta functiei fereastra .

Secventa este analizata prin Transformata Fourier Discreta (implementata prin al­go­ritmul FFT). Se obtine spectrul esantionat

    . (4.2)

In figurile 2.7, 2.8 si 2.9 se observa ca semnalul armonic are un spectru discret cu o singura linie spec­tra­la, iar functia fereastra are un spectru continuu. Produsul de convolutie ingroasa linia spectrala din spectrul continuu si pro­duce dife­ren­te­le dintre cazul favorabil si cazul cel mai putin favorabil din spectrul esantionat.

Lobii secundari ai functiei fereastra

In Figura 2.6  se prezinta forma functiei de densitate spectrala a ferestrei rectangulare (fereastra Dirichlet). In figura se observa ca functia are un lob principal cu latimea si multi lobi secundari cu latimea . In figurile 2.8 si 2.9 se prezinta functiile de densitate spectrala ale unui semnal sinusoidal, cu amplitudinea de , trunchiat in timp cu o fereastra rectangulara.

In cazul cel mai favorabil prezentat in Figura 2.8 se observa ca lobii secundari nu au im pentru ca in urma esantionarii in frecventa a functiei de densitate spectrala ramane doar o pereche de linii spectrale cu amplitudinea de si frecventele si . Par­tea nega­ti­va a axei frecventei nu a fost reprezentata grafic.

In cazul cel mai putin favorabil prezentat in Figura 2.9 se observa ca in spectru exista doua linii spectrale egale cu frecventele de si , iar valoarea amplitu­di­nii acestor linii spectrale este de , adica din valoarea adevarata si ca datorita lobilor secundari ai functiei de densitate spectrala apar componente spectrale care nu au semnificatie fizica. Amplitudinea maxima a acestor componente este de adica din valoarea adevarata.

Figura 4.1. Spectrul unei sume de doua semnale armonice

Rezultatele din capitolul 2 pot fi imediat extinse asupra semnalelor periodice care au spec­tre de linii sau asupra combinatiilor de semnale armonice. In figura 4.1 se prezinta forma de unda a unei sume de semnale armonice cu frecventele si .

Cele doua semnale armonice au amplitudinea de deci in partea pozitiva a spectrului ar trebui sa se gaseasca doua linii spectrale cu amplitudinea de . In realitate linia spectrala cu frecventa are amplitudinea mai mare de pentru ca se suprapune cu amplitudinea primului lob secundar al spectrului semnalului cu frecventa de .

Semnale quasiperiodice

Pana in prezent s‑au analizat numai semnale analitice adica semnale descrise prin mo­de­le matematice compuse dintr‑un numar finit de functii algebrice sau trigonome­tri­ce sim­ple. Achizitia datelor este o succesiune de trei operatii: esantionare, cuantizare si trun­chie­re in timp. Semnalele prelevate din natura si transferate in calculator prin achizitia datelor nu au modele matematice analitice.

Semnalele cu aspect perio­dic carora nu li se cunoaste exact frecventa se numesc semnalele quasiperiodice.

Pentru semnalele quasiperiodice nu se poate verifica conditia de periodicitate (2.2) ci doar se poate formula o ipoteza de periodicitate. Notiunile "perioada principala" notata si "frecventa fundamentala" notata isi pastreaza sensul definit in sectiunea 2.1.1. Semnalele quasiperiodice esantionate si trunchiate in timp pot fi analizate cu tran­sfor­­ma­ta Fourier discreta.

Functii de ponderare de tip "cosinus insumat"

Functiile de ponderare de tip "cosinus insumat" au doua avan­taje: au expresii analitice simple iar performantele lor pot fi analizate cu metoda dez­vol­tata din sectiunile 2.3.1 un­de se prezinta analiza ferestrei Dirichlet si 2.3.2 unde se analizeaza o portiune de sem­­nal armonic. 

Functia   pentru si in rest se numeste fereastra rectangu­la­ra sau fereastra Dirichlet. Forma functiilor de ponderare de tip "cosinus insumat" se calculeaza cu formula

  (4.3)

unde inmultirea cu anuleaza functiile pentru , deci func­tia de ponderare facen si trunchierea in timp a semnalului analizat . Co­e­fi­ci­entii sunt:

Tabelul 4.1. Coeficientii

Din (4.__) rezulta ca fereastra Dirichlet face si ea parte din categoria functiilor fereastra de tip "cosinus insumat" si ca spectrul ferestrei Dirichlet este o componenta a spectrului celorlalte functii din aceasta categorie.

Figura 4.1. Metoda de calcul a indecsilor ,

In figura 4.1 se prezinta forma functiilor fereastra calculata cu formula (4.__) si co­e­fi­ci­en­tii din tabelul 4.1. Pe abscisa s‑a reprezentat timpul normat iar pe ordonata functia . Fereastra Dirichlet este reprezentata cu linie groasa. In ordinea crescatoare a maximelor sunt reprezentate ferestrele Hanning, Kaiser‑Bessel si Flat Top.

Tabelul 4.2. Amplitudinea maxima, amplitudinea minima si durata efectiva a functiilor de ponderare de tip "cosinus insumat"

Se observa ca pentru celelalte functii de ponderare au un maxim.

si

fereastra Hanning are , fereastra

(2.7)

, (2.7)

Se pune pro­ble­ma gasirii unor functii altor functii de ponderare de forma care sa reduca diferentele dintre cazul favorabil si cel defavorabil.

Functia , pentru si in rest se numeste fereastra rectangu­la­ra sau fereastra Dirichlet (v. formula (2__), sectiunea 2.__). Se pune pro­ble­ma gasirii unor functii altor functii de ponderare de forma care sa reduca diferentele dintre cazul favorabil si cel defavorabil.

Functii de ponderare

Fie semnalul si secventa prelevata din semnalul esantionat cu perioada

este

, (2.7)

Au fost studiate multe tipuri de functii de ponderare

(2.7)

Spectrul ferestrei Dirichlet

Spectrul functiei fereastra Dirichlet din figura este:

(2.7)

unde N este numarul de esantionare memorat in vectorul , iar regula de indexare folosita in transformata Fourier discreta este .