Studiul golirii unui rezervor cu lichid

DEFINITII SI FORMULE

Metoda Rayleigh

T    procedura utilizata pentru a gasi formule matematice compatibile cu o lege a fizicii care depinde de un set dat de marimi fizice

Ecuatia de continuitate

T    exprima conservarea masei de substanta

T    in cazul curgerii unui lichid, forma ei este urmatoarea : S₁v₁ = S₂v₂, unde S₁ si S₂ sunt ariile sectiunilor transversale ale jetului de lichid, iar v₁ si v₂ sunt vitezele de curgere a lichidului in punctele corespunzatoare celor doua sectiuni

T    produsul Sv este egal cu debitul volumic al lichidului D

Debit

T    debitul poate fi de doua tipuri : masic sau volumic

T    debitul masic D_m reprezinta masa de lichid care trece in unitatea de timp prin sectiunea transversala a unui jet de lichid

T    debitul volumic D reprezinta volumul de lichid care trece in unitatea de timp prin sectiunea transversala a unui jet de lichid

T    notand densitatea lichidului cu r, relatia intre debitul masic si debitul volumic este : D_m = rD

Conservarea energiei mecanice

T    este o lege generala a fizicii care se aplica sistemelor fizice izolate de exterior, in interiorul carora nu actioneaza forte neconservative (de exemplu, forte de frecare)

T    aplicand legea conservarii energiei mecanice in cazul curgerii laminare (fara vartejuri) a unui lichid se obtine legea lui Bernoulli :

unde p este presiunea statica, r este densitatea lichidului, v este viteza de curgere a lichidului, h este inaltimea masurata in raport cu un nivel de referinta, iar g este acceleratia gravitationala. Termenul se numeste presiune dinamica, iar termenul rgh se numeste presiune de pozitie

ASPECTE TEORETICE

GOLIREA REZERVORULUI

Consideram un rezervor cilindric care contine o cantitate de lichid. Aria transversala a rezervorului este S. Lichidul se poate scurge printr-un orificiu de sectiune s, aflat la baza rezervorului. Initial, inaltimea lichidului din rezervor este h₀. Dupa un timp t de la inceputul scurgerii, inaltimea lichidului din rezervor devine h.

Dorim sa determinam legea care stabileste modul in care inaltimea h variaza in functie de timpul t. In lipsa oricaror alte informatii, putem recurge la metoda Rayleigh. In acest scop, va trebui mai intai sa stabilim lista marimilor fizice implicate in procesul de curgere a lichidului. Evident, marimi implicate sunt : h, h₀, t, S si s. La acestea trebuie adaugata acceleratia gravitationala g deoarece curgerea se face sub influenta gravitatiei si, eventual, densitatea lichidului r. Vom mai face ipoteza ca procesul de scurgere se desfasoara in conditii ideale : frecarile sunt neglijabile, curgerea este laminara, etc. Legea pe care o cautam va fi de forma :

Conform conditiei de omogenitate dimensionala, rezulta :

Inlocuind cu formulele dimensionale, rezulta :

sau :

Rezulta sistemul de ecuatii

Solutiile sale sunt :

Conform ipotezei lui Rayleigh, rezulta :

sau :

Pe langa factorul adimensional K exista trei parametri (y, z, w) cu valori nedeterminate. Consecinta este aceea ca exista un numar infinit de combinatii, fiecare dintre ele corespunzand unei valori apartinand unuia dintre cei trei parametri.

Este momentul sa recurgem la considerente de natura fizica pentru a gasi valorile corecte ale parametrilor necunoscuti. Exista doua legi generale pe care le putem aplica :

T    conservarea masei de lichid

T    conservarea energiei mecanice

Din prima conditie decurge ecuatia de continuitate :

(u este viteza de curgere in dreptul orificiului de sectiune s, iar v este viteza de curgere la suprafata lichidului din rezervor).

Pentru a aplica a doua conditie de natura fizica, vom considera un interval de timp foarte scurt dt. In acest interval de timp, o cantitate de lichid dV trece prin orificiu, rezultatul fiind scaderea nivelului de lichid din rezervor cu dh (vezi si figura). Deoarece am facut ipoteza ca procesul de curgere este ideal, rezulta ca energia mecanica se conserva. Deci, energia mecanica a stratului de lichid de volum dV de la suprafata la inceputul intervalului de timp dt trebuie sa fie egala cu energia mecanica a jetului de volum dV format la baza rezervorului la sfarsitul intervalului de timp dt :

(termenul dm gh reprezinta energia potentiala gravitationala fata de nivelul de referinta care corespunde bazei rezervorului, iar termenii care contin patratul vitezei reprezinta valorile energiei cinetice). Rezulta :

Eliminand viteza u a jetului cu ajutorul ecuatiei de continuitate, obtinem :

Notand S/s cu s si derivand in raport cu timpul, rezulta :

(dh/dt = -v rezulta din aceea ca dh este negativ (nivelul lichidului descreste) iar viteza de curgere indreptata in jos este considerata pozitiva; faptul ca acceleratia este negativa indica faptul ca orientarea ei este inversa in raport cu orientarea acceleratiei gravitationale sau cu orientarea vitezei de curgere, ceea ce arata ca viteza de scurgere lichidului se micsoreaza in timp). Rezultatul obtinut arata ca acceleratia este constanta, ceea ce inseamna ca inaltimea lichidului din rezervor descreste dupa o lege corespunzatoare miscarii uniform variate :

Aceasta relatie indica faptul ca exponentul y din formula obtinuta folosind metoda Rayleigh poate lua doar trei valori : 0, 1 si 2. Sa discutam aceste cazuri pe rand.

Cazul y = 0

Avem :

Parametrii z₀ si w₀ pot lua inca valori arbitrare. De aceea, luand in consideratie toate valorile posibile ale acestor parametri, putem scrie :

unde functia este necunoscuta. Dar, asa cum rezulta din ecuatia determinata din considerente fizice, termenul care nu depinde de timp trebuie sa fie constant si egal cu h₀. Aceasta impune ca functia F₀ sa fie constanta si egala cu 1.

Cazul y = 2

Avem :

Parametrii z₂ si w₂ pot lua inca valori arbitrare. De aceea, luand in consideratie toate valorile posibile ale acestor parametri, putem scrie :

unde functia este necunoscuta. Dar, asa cum rezulta din ecuatia determinata din considerente fizice, termenul care depinde de patratul timpului trebuie sa fie proportional cu o constanta care este : . Aceasta impune ca functia F₂ sa fie constanta si egala cu .

Cazul y = 1

Avem :

Parametrii z₁ si w₁ pot lua inca valori arbitrare. De aceea, luand in consideratie toate valorile posibile ale acestor parametri, putem scrie :

unde functia este necunoscuta. Dar, asa cum rezulta din ecuatia determinata din considerente fizice, termenul direct proportional cu timpul trebuie sa fie proportional cu viteza initiala de curgere : v₀. Folosind ecuatia lui Galilei, si deoarece la sfarsitul timpului de scurgere viteza de scurgere se anuleaza, obtinem :

Concluzia este aceea ca functia F₁ este egala cu : .

In final, concluzia acestei analize este aceea ca ecuatia nivelului lichidului este:

Experimental, va trebui sa determinam validitatea acestei legi si sa calculam aria sectiunii rezervorului, cunoscand aria orificiului de scurgere.

UMPLEREA REZERVORULUI

Consideram acelasi rezervor, prevazut cu orificiu de scurgere, alimentat permanent cu lichid de o sursa cu debitul volumic D. In cazul ideal, considerentele fizice de care trebuie tinut seama sunt aceleasi :

T    conservarea masei de lichid

T    conservarea energiei mecanice

Conditia de conservare a masei conduce la ecuatia de continuitate :

Conditia de conservare a energiei mecanice se exprima prin relatia :

Eliminand viteza u intre cele doua relatii, obtinem ecuatia :

Exista doua posibilitati : fie debitul este suficient de mare astfel incat nivelul lichidului sa depaseasca inaltimea rezervorului, fie debitul are o asemenea valoare incat, in timp, nivelul lichidului se stabilizeaza la o anumita cota. In al doilea caz, viteza lichidului din rezervor, la suprafata sa, se anuleaza (h = const T v = 0). Din ecuatia anterioara obtinem inaltimea maxima pe care o poate atinge lichidul :

Experimental, se poate verifica validitatea acestei relatii.

NOTA

Se poate determina analitic, in conditiile amintite, relatia intre inaltimea momentana a lichidului din rezervor si timp. Expresia este :

Dupa cum se poate remarca, inaltimea se afla intr-o relatie destul de complicata cu timpul. Examinand expresia, putem totusi remarca faptul ca, matematic vorbind, inaltimea limita (maxima) nu se atinge decat dupa un timp infinit de lung. Din punct de vedere practic, timpul de umplere este finit, valoarea sa depinzand de gradul de precizie cu care putem masura inaltimea lichidului din rezervor.

MATERIALE SI APARATE

M    Programul "GOLREZ"

M    Tehnica de calcul necesara prelucrarii rezultatelor

EXPLICATII : (1) control de incrementare-decrementare a suprafetei orificiului de scurgere, (2) indicator de nivel, (3) slider pentru modificarea debitului de alimentare cu lichid, (4) tabel de date care se completeaza efectuand un click pe indicatorul de nivel, (5) mata care studiaza fenomenul.

MOD DE LUCRU

Se deschide programul "GOLREZ".

Se fixeaza valoarea 1 (cm²) cu ajutorul controlului (1).

Se foloseste sliderul (3) pentru a stabili debitul. Se recomanda ca debitul sa fie mare, astfel incat rezervorul sa se umple repede.

Se apasa butonul "Umplere" si se urmareste cresterea nivelului lichidului pana la limita superioara a cotei 56 de pe indicatorul de nivel (2). In momentul in care s-a atins aceasta inaltime se apasa butonul "Stop".

Se apasa butonul "Golire"

Se urmareste nivelul lichidului. Cand acesta trece prin dreptul limitei superioare al unei cote de pe indicatorul de nivel se da un click pe cota respectiva. Tabelul de date (4) se va completa automat cu valoarea nivelului lichidului si cu momentul de timp corespunzator.

Dupa completarea tabelului, se noteaza datele intr-o foaie "Excel"

Se apasa butonul "Reinitializare", dupa care se reiau procedurile pana la completarea tabelului "DATE EXPERIMENTALE ALE CURGERII"

Cu ajutorul programului "Excel" se fiteaza datele, corespunzator unei functii polinomiale de gradul al doilea. In total, in urma fitarii, trebuie obtinute 10 ecuatii (cate una pentru fiecare suprafata a orificiului de scurgere 2 inaltimi initiale). Aceste ecuatii se trec in tabelul "LEGEA CURGERII"

Se verifica daca media termenilor care nu depind de timp este comparabila cu inaltimea initiala

Se verifica daca coeficientii termenului in t² au valori comparabile pentru valori egale ale ariei orificiului de scurgere si se face media lor pentru fiecare valoare a ariei orificiului de scurgere

Stiind ca valoarea coeficientului lui t² este , se calculeaza S cu ajutorul celor cinci valori medii calculate anterior (g = 981 cm/s²).

In final se calculeaza valoarea medie a lui S si se trece in rubrica corespunzatoare pe pagina "PRELUCRAREA DATELOR".

FACULTATIV : se verifica relatia alegand o valoare predeterminata a inaltimii maxime si calculand debitul corespunzator, dupa care cu sliderul (3) se fixeaza aceasta valoare a debitului si se urmareste umplerea rezervorului.

PRELUCRAREA DATELOR

Aria sectiunii transversale a rezervorului S = . . .. cm2

STUDENTI 1) 2) 3) 4) 5) SEMNATURA CADRULUI DIDACTIC