Notiuni fundamentale ale teoriei probabilitatilor

NOTIUNI FUNDAMENTALE ALE TEORIEI PROBABILITATILOR

1 Experienta. Proba. Eveniment.

Orice disciplina foloseste pentru obiectul ei de studiu o serie de notiuni fundamentale. Se vor defini astfel, notiunile de experienta, proba si eveniment.

Prin experienta, se intelege realizarea practica a unui complex de conditii corespunzator unui criteriu dat de cercetare a colectivitatilor statistice omogene. Realizarea o singura data a experientei, se numeste proba.

EXEMPLU Se poate considera drept experienta, aruncarea unui zar perfect construit din punct de vedere geometric si omogen din punct de vedere fizic, caz in care, proba este reprezentata de aruncarea o singura data a zarului.

Prin intermediul exemplului de mai sus se poate identifica notiunea de colectivitate statistica prin multimea punctelor care apar pe fetele zarului.

Prin eveniment se intelege rezultatul unei probe. Evenimentele pot fi clasificate in trei mari categorii: evenimente sigure, evenimente imposibile si evenimente intamplatoare.

Prin eveniment sigur, se intelege evenimentul care se produce in mod obligatoriu la efectuarea unei probe a unei experiente. Evenimentul imposibil este acela care nu se produce la efectuarea nici unei probe. Se numeste eveniment intamplator (aleator) un eveniment care poate fie sa se produca, fie sa nu se produca la efectuarea unei singure probe.

EXEMPLE

1. Extragerea unei bile albe dintr-o urna care contine numai bile albe, este un eveniment sigur.
2. La aruncarea unui zar, evenimentul care consta in aparitia oricarei fete de la 1 la 6 constituie evenimentul sigur.
3. Aparitia unui numar de 7 puncte la o proba a aruncarii unui zar este un eveniment imposibil.
4. Extragerea unei bile negre dintr-o urna care contine numai bile albe, este un eveniment imposibil.
5. Aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar este un eveniment intamplator.

Evenimentele intamplatoare se supun unor legitati, numite legitati statistice. In acest sens, nu se poate prevedea daca intr-o singura aruncare a unui zar se obtine fata 1; daca insa se efectueaza un numar suficient de mare de aruncari se poate prevedea cu suficienta precizie numarul de aparitii ale acestei fete.

Evenimentele intamplatoare pot fi compatibile si incompatibile.

Doua evenimente se numesc incompatibile, daca realizarea unuia exclude realizarea celuilalt.

EXEMPLE

1. Evenimentele: aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar si respectiv aparitia fetei 2 la aruncarea unui zar, sunt incompatibile.
2. Evenimentele: aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar si respectiv aparitia unei fete cu un numar impar de puncte la aruncarea unui zar, sunt compatibile

Evenimentele pot fi dependente sau independente.

Doua evenimente se numesc independente daca realizarea unuia nu influenteaza probabilitatea realizarii celuilalt si dependente in caz contrar.

EXEMPLE

1. Evenimentele: aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar si respectiv aparitia fetei 2 la o alta aruncare a zarului, sunt independente.
2. Evenimentele: obtinerea unui numar de 7 puncte la aruncarea a doua zaruri si aparitia fetei 2 pe unul dintre doua zaruri, stiind ca acestea au suma punctelor de pe fetele de deasupra 7, sunt dependente.

2 Operatii cu evenimente

Notatiile folosite sunt cele cunoscute din teoria multimilor. Multimile vor fi evenimentele aleatoare si vor fi notate cu: A, B, C, . .

Fie evenimentul sigur si evenimentul imposibil. Acestea corespund multimii totale considerate si respectiv multimii vide.

DEFINITIE Se spune ca evenimentul A implica evenimentul B, daca realizarea lui A, atrage dupa sine realizarea lui B. Notatia folosita este:

 

B

OBSERVATII

A

a) Implicatia evenimentelor este echivalenta cu incluziunea multimilor.

b) Orice eveniment aleator, precum si evenimentul imposibil, implica evenimentul sigur:

DEFINITIE Se spune ca un eveniment este contrar evenimentului A, daca realizarea sa consta in nerealizarea lui A. Notatia folosita este

OBSERVATII a) Evenimentul contrar evenimentului A, este echivalent cu complementara lui A din teoria multimilor .

b) Evenimentele A si sunt contrarii, adica, daca se realizeaza A, atunci nu se realizeaza si reciproc.

DEFINITIE Reuniunea (sau adunarea) evenimentelor si este evenimentul S care consta in realizarea a cel putin unuia dintre evenimentele sau

Notatia este :

OBSERVATII a) Daca evenimentele sunt reprezentate prin cercurile si din fig. 3 si 4, reuniunea lor este reprezentata prin interiorul hasurat al celor doua cercuri. Prin urmare, faptul ca un punct al evenimentului S se gaseste in regiunile hasurate constituie evenimentul

In cazul prezentat in fig. nr. 4 evenimentele si sunt incompatibile, deoarece realizarea evenimentului exclude realizarea evenimentului si invers, pe cand evenimentele din fig. nr. 3 sunt compatibile, caci alegerea unui punct comun celor doua cercuri atrage dupa sine realizarea atat a evenimentului , cat si a evenimentului

b) Daca , atunci . Geometric, acest lucru inseamna ca cercul este interior lui

c) Oricare ar fi evenimentul , au loc relatiile :

DEFINITIE Intersectia (sau produsul) evenimentelor si este evenimentul P care consta in realizarea simultana a evenimentelor si

Notatia este :

OBSERVATIE Geometric, este reprezentat prin regiunea comuna celor doua cercuri prezentate in fig. nr. 3.

Prin introducerea notiunii reuniune si intersectie, unele notiuni din teoria probabilitatilor pot fi formulate in mod mai precis. Astfel, pentru evenimentele opuse se pot formula in acest moment urmatoarele definiTiI:

I) evenimentele si se numesc opuse daca au loc relatiile:

si

II) Evenimentele si sunt incompatibile daca:

In caz contrar (), evenimentele se numesc compatibile.

AplicaTii . Fie si doua evenimente din acelasi camp; sa se arate ca:

Aceste doua relatii reprezinta, in teoria multimilor, relatiile lui De Morgan. Interpretarea va fi in limbajul evenimentelor. Se considera mai intai prima relatie. este prin definitie evenimentul a carui realizare inseamna realizarea a cel putin unuia din evenimentele sau . Contrarul sau, va fi evenimentul a carui realizare presupune nerealizarea atat a evenimentului , cat si a evenimentului . Dar nerealizarea evenimentului inseamna realizarea evenimentului si invers, nerealizarea evenimentului inseamna realizarea evenimentului . Deci, daca se realizeaza, atunci se realizeaza si evenimentul si evenimentul , adica evenimentul . Se ajunge la concluzia ca realizarea evenimentului implica realizarea evenimentului , ceea ce se scrie :

Invers, daca se realizeaza adica se realizeaza si , atunci nu se realizeaza nici unul din evenimentele deci nu se realizeaza evenimentul . Dar nerealizarea lui inseamna realizarea lui

Rezulta ca realizarea evenimentului implica realizarea evenimentului , adica :

Din relatiile si rezulta:

Se considera a doua relatie, . Evenimentul este evenimentul a carui realizare inseamna realizarea atat a lui cat si a lui

Contrariul sau, va fi deci evenimentul a carui realizare inseamna nerealizarea a cel putin unuia din evenimentele Aceasta inseamna ca daca se realizeaza, atunci se realizeaza cel putin unul din evenimentele adica se realizeaza evenimentul . Prin urmare:

Invers, daca s-a realizat, atunci cel putin unul din evenimentele nu s-a realizat, deci nu s-a realizat ; dar aceasta inseamna ca s-a realizat . Se poate scrie deci:

si rezulta ca:

OBSERVATIE In general, se spune ca evenimentele si sunt egale (not. ) daca si

Sa se arate ca relatiile

sunt echivalente.

Se va arata ca daca una din cele patru relatii este adevarata, atunci si celelalte trei sunt adevarate.

Fie este adevarata. Aceasta inseamna ca daca se realizeaza, atunci se realizeaza si

Relatia arata ca daca nu s-a realizat , atunci nu s-a realizat nici , ceea ce este adevarat; daca nu ar fi asa, ar fi contrazisa relatia

Pentru a arata ca (daca ), este suficient sa se arate ca , deoarece relatia este evidenta, ea insemnand ca daca se realizeaza , atunci se realizeaza unul din evenimentele

Pentru a demonstra relatia trebuie aratat ca de cate ori se realizeaza, se realizeaza si

Daca s-a realizat, atunci sau s-a realizat (si relatia este demonstrata) sau s-a realizat si atunci, conform ipotezei , s-a realizat si

Pentru a arata ca (in aceeasi ipoteza), se observa ca daca se realizeaza , atunci conform ipotezei se realizeaza si , deci se realizeaza. Se poate scrie

Relatia este evidenta, ea insemnand ca daca se realizeaza si , atunci se realizeaza (relatia este adevarata fara ipoteza ). Deci

Prin rationamente asemanatoare, se arata ca daca se va lua ca ipoteza alta din cele patru relatii din enunt, atunci prima relatie va rezulta drept o concluzie.

3. Relatiile :

sunt echivalente.

Se presupune ca , adica evenimentele si sunt incompatibile. Aceasta inseamna ca daca se realizeaza, atunci nu se realizeaza, deci se realizeaza, adica

Invers, daca, atunci daca se realizeaza, se realizeaza in mod sigur si , deci nu se realizeaza. Aceasta insemna ca evenimentele si sunt incompatibile, adica

Rezulta ca primele doua relatii din enunt sunt echivalente. Evidenta primei si a celei de-a treia relatii rezulta acum din simetria relatiei

3 Definitia clasica a probabilitatii.

Camp de evenimente. Axiomele lui Kolmogorov

La o societate comerciala oarecare s-a constatat ca in medie din piesele produse de o masina automata sunt necorespunzatoare. Aceasta insemna ca la fiecare tura de produse nesortate, piesele rebut vor fi in proportie de aproximativ . Daca turele sunt formate, de exemplu din de piese, la unele dintre ele numarul rebuturilor va fi sub ( piese), la altele peste (), dar, in medie, acest numar va fi apropiat de

Se presupune ca procesul de fabricatie are loc in aceleasi conditii de productie. In acest caz, operatia de masa consta in fabricatia in serie a produselor, conducand la constituirea unei colectivitati omogene. Procentul unuia sau al altuia dintre evenimentele care intereseaza (produse necorespunzatoare) va fi - in conditii de productie identice - in general acelasi, abatandu-se de la o anumita valoare medie relativ stabila numai in cazuri rare. Se spune ca acesta valoare medie este indicele caracteristic al operatiei de masa sau, mai precis, al fenomenului de masa, intelegandu-se prin aceasta din urma notiune realizarea valorilor unei caracteristici studiate (numarul produselor rebut) cu aceeasi probabilitate, la orice proba.

Este foarte importanta cunoasterea acestui indice in diferitele domenii de activitate. El face posibila aprecierea fenomenelor de masa pana acum intamplatoare si chiar previziunea evolutiei lor viitoare, in masura in care conditiile initiale ale experientei raman aceleasi. In exemplul de mai inainte, in care la de piese, produse de o masina automata, de piese sunt in medie rebut, se spune ca probabilitatea de a produce rebuturi este, pentru masina data :

Se va cauta a se lamuri, pe plan teoretic, ce se intelege prin probabilitatea unui eveniment intr-o operatie de masa data, retinand in acest scop ca unitatile elementare rezultate dintr-un proces de masa - unitati ale colectivitatii constituite - isi contopesc caracteristicile lor particulare intr-o caracteristica a intregului ansamblu, intr-o legitate generala care caracterizeaza nu un element anumit al colectivitatii studiate, ci un element oarecare al acesteia, legitate care se va denumi legitate statistica.

Daca intr-o operatie de masa care are loc in conditii identice, un eveniment se produce in medie de ori, adica la din unitati elementare ale colectivitatii studiate, probabilitatea evenimentului este

In aceasta relatie, reprezinta numarul cazurilor egal posibile, pe cand reprezinta numarul cazurilor favorabile; ea sintetizeaza definitia clasica a notiunii de probabilitate: se numeste probabilitatea unui eveniment A si se noteaza cu , raportul dintre numarul de rezultate favorabile producerii lui si numarul total de rezultate posibile ale experientei, in conditia ca toate rezultatele sa fie egal posibile.

Pe baza acestei definitii se vede imediat ca probabilitatea de aparitie - la o singura aruncare - a uneia din fetele unui zar omogen si perfect construit este , sau probabilitatea de aparitie a uneia din fetele monedei este etc.

Deoarece rezulta ca probabilitatea oricarui eveniment intamplator satisface dubla inegalitate :

Cu cat este mai apropiat de , cu atat evenimentul are loc mai des. Daca, evenimentul sau nu are loc niciodata, sau are loc foarte rar, asa ca practic il consideram imposibil. Daca , evenimentul are loc totdeauna, deci este un eveniment sigur.

Din definitia clasica a probabilitatii , rezulta urmatoarele:

proprietATi

. Probabilitatea evenimentului sigur este , intrucat in acest caz ;

Probabilitatea evenimentului imposibil este , intrucat in acest caz ;

. Probabilitatea unui eveniment intamplator este cuprinsa intre si , intrucat in acest caz .

In afara de notiunea de probabilitate exista in teoria probabilitatilor o alta notiune fundamentala si anume notiunea de frecventa relativa. Prin frecventa relativa a evenimentului se intelege raportul dintre numarul probelor in care evenimentului s-a produs si numarul total de probe efectuate. Dintr-o indelungata observatie a fenomenelor si proceselor de masa s-a putut constata ca daca un experiment se repeta, in aceleasi conditii, de un numar suficient de mare de ori, atunci frecventa relativa capata o anumita stabilitate, osciland in jurul probabilitatii.

Tocmai de aceea, drept masura cantitativa de apreciere a posibilitatii obiective de a se produce evenimentul intamplator poate fi luata frecventa relativa , rezultata dupa un numar mare de experiente, efectuate in aceleasi conditii.

Dupa cum se vede, notiunea de probabilitate a unui eveniment este legata (chiar la originea formarii ei) de o notiune experimentala, practica - frecventa evenimentului - rezultand din legile obiective ale fenomenelor reale de masa. Aceasta a condus la constatarea ca evenimentele corespunzatoare diferitelor probe experimentale formeaza o anumita structura, cu numeroase proprietati care pot fi formulate matematic. Matematicianul rus A. N. Kolmogorov a numit-o camp de evenimente si pe aceasta baza a formulat cunoscutele axiome privind teoria probabilitatilor.

Schema lui Kolmogorov

AXIOMA 1. Unei experiente ii corespunde intotdeauna un camp de evenimente.

Obiectele de baza folosite in axiomatizarea teoriei probabilitatilor sunt evenimentele si probabilitatile respective. Experienta conduce la constatarea ca evenimentele corespunzatoare diferitelor experiente poseda unele proprietati ce pot fi formulate matematic.

EXEMPLU Se considera experienta clasica a arucarii unui zar. Aparitia celor sase fete conduce la evenimentele :

In mod analog, aparitia uneia din doua fete ne conduce la evenimentele :

Aparitia uneia din trei fete da nastere evenimentelor :

Aparitia uneia din patru fete va da evenimentele :

Aparitia uneia din cinci fete va conduce la evenimente de forma :

In total vor fi:

evenimente.

Adaugand la aceasta evenimentul sigur, care consta in faptul ca la o aruncare cu zarul va aparea in mod sigur una din cele sase fete, precum si evenimentul imposibil, constand din faptul imposibil ca la aruncarea cu zarul sa nu iasa nici una din fete, se obtin in total evenimente, care formeaza campul de evenimente generat de experienta aruncarii unui zar.

Evenimentele rezultate direct din experienta, vor fi numite evenimente elementare.

Prin urmare, sunt:

evenimente elementare. In general numarul evenimentelor unui camp finit este egal cu la o putere egala cu numarul evenimentelor elementare.

Astfel, daca se considera un lot de de piese de acelasi fel si se extrage la intamplare o pereche de piese, numarul evenimentelor campului generat de aceasta experienta va fi egal cu

Revenind la exemplul cu zarul, se observa ca evenimentul consta fie in aparitia fetei , fie din aparitia fetei . Se spune ca evenimentul este reuniunea (adunarea) evenimentelor si , adica :

In mod analog, realizarea simultana a evenimentelor si este evenimentul . Se spune ca evenimentul este intersectia (produsul) evenimentelor si , adica :

Daca evenimentele intersectate se exclud reciproc, se obtine evenimentul imposibil, notat cu . De exemplu :

Din cele aratate pana acum rezulta ca orice eveniment al campului care nu este elementar, sau evenimentul nul, este o reuniune de evenimente elementare.

In particular, reuniunea (adunarea) tuturor evenimentelor elementare conduce la evenimentul sigur, care va fi notat cu

Se considera evenimentul . Evenimentul se bucura de proprietatile:

Evenimentul este complementul evenimentului

In general, un camp de evenimente este caracterizat prin urmatoarele proprietati : daca notam cu evenimente ale campului, sunt de asemenea evenimente ; notand prin complementul lui este de asemenea un eveniment. Evenimentul sigur si evenimentul imposibil apartin de asemenea campului.

Pentru un camp infinit trebuie sa se admita ca si sunt evenimente.

AXIOMA Fiecarui eveniment A al campului ii corespunde un numar real, nenegativ, , numit probabilitatea lui.

Folosind legatura dintre frecventa relativa si probabilitate, se deduce ca probabilitatea, care este raportul dintre numarul de cate ori se verifica in experiente si numarul de experiente, satisface inegalitatile

AXIOMA 3. Probabilitatea evenimentului sigur este egala cu

AXIOMA 4. Probabilitatea reuniunii a doua evenimente incompatibile intre ele este egala cu suma probabilitatilor evenimentelor.

Dupa cum se stie evenimentele incompatibile sunt acelea care se exclud reciproc. Conform definitiei, se poate scrie . Astfel, a patra axioma se poate scrie :

, unde

4 Variabile Aleatoare.

Definitia variabilei aleatoare

Majoritatea experimentelor de interes practic au ca rezultate valori numerice. Aceasta inseamna ca rezultatul unei probe al unui experiment, poate fi caracterizat de un numar sau de un cuplu de numere. Se poate, astfel considera ca fiecarei probe al unui experiment i se poate asocia un numar sau de un cuplu de numere. Se poate atunci introduce notiunea de variabila aleatoare (intamplatoare) ca o functie reala definita pe multimea evenimentelor elementare asociate experimentului considerat. Cuvantul aleator, subliniaza faptul ca se lucreaza cu elemente generate de fenomene intamplatoare, care nu sunt guvernate de legi strict deterministe. Elementul dificil in analiza acestor fenomene consta in faptul ca desi acestea au o anumita regularitate, este imposibil de precizat cu certitudine rezultatul unei probe intamplatoare.

Fie multimea evenimentelor elementare asociata unui anumit experiment, rezultatele posibile fiind notate cu . Este posibil ca acesta sa nu fie un rezultat numeric in sine, dar i se poate atribui o anumita valoare numerica. De exemplu, la distribuirea unor carti de joc, se poate atribui o anumita valoare numerica fiecarei carti samd.

DEFINITIE Orice functie f definita pe si care ia valori in multimea numerelor reale R, se numeste variabila aleatoare.

Prin urmare, fiecarui rezultat ii corespunde numarul real

OBSERVATIE Numarul rezultatelor distincte este mai mic cel mult egal cu n.

EXEMPLU Se considera experimentul aruncarii unui zar. Fie evenimentele care constau in aparitia fetei cu un numar i de puncte. Se poate defini o variabila aleatoare, ca fiind data de

Se considera acum ca variabila aleatoare f inregistreaza s valori distincte , in conditiile in care sunt inregistrate n evenimente elementare Fie , evenimentele elementare pentru care Notand , atunci:

EXEMPLU Se considera o variabila aleatoare g, data de recolta de grau pe un hectar. In aceasta situatie variabila aleatoare poate avea orice valoare dintr-un interval si prin urmare apare urmatoarea clasificare, generata de natura valorilor inregistrate.

DEFINITIE O variabila aleatoare se numeste discreta (discontinua) daca poate lua numai valori izolate. Numarul valorilor posibile ale unei variabile aleatoare discrete poate fi finit sau infinit.

O variabila aleatoare se numeste continua daca poate lua valori care umplu un interval finit sau infinit. Evident, numarul valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue este intotdeauna infinit.

5 Repartitia unei variabile aleatoare discrete

Pentru a defini o variabila aleatoare discreta este suficient sa se enumere toate valorile posibile pe care aceasta le poate lua. Insa, pentru a o cunoaste complet trebuie enumerate si probabilitatile corespunzatoare fiecarei valori inregistrate.

Se numeste repartitie a unei variabile aleatoare discrete enumerarea valorilor posibile ale variabilei aleatoare si a probabilitatilor corespunzatoare acestora. De obicei repartitia unei variabile aleatoare discrete se scrie sub forma unui tablou in care prima linie contine toate valorile posibile, iar a doua linie, probabilitatile corespunzatoare :

, sau

Tinand seama ca intr-un experiment variabila aleatoare ia una si numai una din valorile sale posibile, rezulta ca evenimentele care constau in aceea ca variabila ia valorile sau , . , sau formeaza - dupa cum se stie - un sistem complet de evenimente. Prin urmare, suma probabilitatilor acestor evenimente este egala cu unitatea :

6 Operatii cu variabile aleatoare discrete

DEFINITIE Puterea de ordinul k a variabilei aleatoare f este variabila aleatoare cu repartitia :

DEFINITIE Daca este un numar real, produsul dintre si este variabila aleatoare , cu repartitia :

Fie si doua variabile aleatoare, avand respectiv repartitiile:

si

Se considera evenimentul care consta in aceea ca ia valoarea si ia valoarea Acest eveniment notat si care este intersectia evenimentelor si , constand in aceea ca ia valoarea , respectiv ia valoarea , are o probabilitate bine determinata:

Cum evenimentele , in numar de , formeaza un sistem complet de evenimente, atunci :

DEFINITIE Variabila aleatoare are repartitia:

DEFINITIE Variabila aleatoare are repartitia:

Exista vreo legatura intre probabilitatile si Raspunsul la aceasta intrebare este afirmativ, insa legatura dintre aceste probabilitati nu este intotdeauna simpla. Un caz in care aceasta legatura este foarte simpla este acela in care si sunt independente.

DEFINITIE Variabilele si se numesc independente probabilistic daca pentru orice si evenimentele si sunt independente. Prin urmare:

adica

In mod analog se pot defini sumele si produsele a mai mult de doua variabile aleatoare, ca si notiunea de independenta a unui numar oarecare de variabile aleatoare.