Analiza semnalelor cu ajutorul transformatei Fourier discrete

v    Analiza semnalelor cu ajutorul transformatei Fourier discrete

v    Curent se folosesc urmatorii termini: Transformata Fourier Discreta (DFT = Discrete Fou­rier Transform) care este metoda matematica prin care se studiaza spectrul semna­le­lor esantionate si Transformata Fourier Rapida (FFT = Fast Fourier Transform), este acea va­ri­an­ta a metodei DFT in care s-au minimizat numarul operatiilor aritmetice. FFT este de fapt algoritmul prin care se implementeaza DFT.

v    In acest capitol, se studiaza metodele de analiza in frecventa a semnalelor cu ajutorul transformatei Fourier discrete. Textul capitolului este organizat astfel:

v    in subcapitolul 2.1 se face o scurta prezentare a deosebirilor dintre seria Fourier si transformata Fourier,

v    in subcapitolul 2.2 se defineste transformata Fourier discreta (DFT) si se calcu­lea­za spectrul discret prin doua metode pornind de la seria Fourier sau de la tran­sfor­mata Fourier. Apoi se discuta in amanunt problema alterarii prin trunchiere in timp a informatiei purtate de un semnal analogic;

v    in subcapitolul 2.3 se exemplifica efectul trunchierii in timp a informatiei prin studiul analitic a unor portiuni de semnale armonice, se prezinta cazul cel mai favorabil si cazul cel mai putin favorabil. In final se face clasificare a situatiilor care apar atunci cand diferite clase de sem­nale sunt analizate cu transformata Fourier discreta.

Analiza in frecventa a semnalelor analitice

v    Rezultatul transformatei Fourier discrete este un spectru de linii obtinut cu formula de calcul a coeficientilor seriei Fourier sau se calculeaza prin esan­tionarea in frecventa a unei functii de densitate spectrala rezultata din tran­sfor­ma­ta Fourier. Din aceste motive, in interpretarea rezultatului tran­sfor­ma­tei Fourier dis­cre­te intervin atat proprietatile seriei Fourier cat si ale transformatei Fourier. In acest subcapitol se reiau succint acele proprietati ale seriei Fourier complexe si ale transformatei Fourier care ulterior vor fi folosite pentru demonstrarea proprietatilor transformatei Fourier discrete.

Seria Fourier complexa

v    Seria Fourier se foloseste pentru analiza semnalelor periodice. Un semnal este pe­riodic daca pentru orice valoare a variabilei independente exista cel putin un nu­mar constant numit perioada a semnalului pentru care este valabila afirmatia:

v    . (2.1)

v    Valoarea minima a nu­marului se noteaza si se numeste perioada principala a semnalului, iar frecventa fun­damentala a semnalului. Perioada principala a semnalului are proprietatea:

v    , . (2.2)

v    Frecventele sunt armonicele semnalului periodic, iar pentru , este componenta continua a semnalului. Semnalul poate fi unic reprezentat in functie de armonicele sale:

v    , (2.3)

v    unde este frecventa semnalului masurata in , iar , sunt coe­fi­ci­entii Fourier complecsi calculati cu formula:

v    . (2.4)

v    Analiza pe o perioada a semnalului descrie complet comportarea semnalului pentru . Rezultatul analizei nu depinde de momentul initial care in (2.4) este o constanta arbitrara.

v    Seria Fourier da un spectru de linii compus dintr‑o componenta continua, amplitudinea si fa­za fundamentalei spectrului si amplitudinea si faza armonicelor. Din coeficientul complex se calculeaza amplitudinea si faza a liniei spectrale de ordinul k:

v    . (2.5)

v    Pe o axa continua spectrul de amplitudine al semnalului periodic (2.5), se repre­zin­ta sub for­ma unei distributii:

v    , (2.6)

v    unde:

v    este amplitudinea liniei spectrale;

v    este frecventa liniei spectrale corespunzatoare armonicii de ordinul k;

v    este frecventa fundamentala a spectrului;

v    este functia care da forma liniei spectrale cu frecventa .

v    Semnalul periodic are serie Fourier daca sunt indeplinite conditiile Dirichlet. Prima con­di­tie Dirichlet cere ca integrala:

v    (2.7)

v    sa fie convergenta. A doua conditie Dirichlet cere ca semnalul sa aiba un numar finit de intervale de monotonie in intervalul .

Transformata Fourier

v    Transformata Fourier se foloseste pentru analiza semnalelor aperiodice (numite si im­pul­suri). Semnalele aperiodice nu au o frecventa fundamentala, ci contin intr‑o masura mai mica sau mai mare toate frecventele in domeniul . Fie semnalul aperiodic . Spectrul semnalului  este o functie continua de densitate spectrala , . Similar ca in (2.3) sau (2.6) semnalul poate fi unic reprezentat in functie de functia sa de densitate spectrala:

v    . (2.8)

v    Functia de densitate spectrala a semnalului aperiodic este:

v    , (2.9)

v    Spectrele de amplitudine si faza sunt:

v    (2.10)

v    unde , , si sunt functii , continue pentru . Semnalul aperiodic are transformata Fourier daca sunt indeplinite conditiile lui Dirichlet. In acest caz, prima con­ditie a lui Dirichlet cere ca integrala

v    (2.11)

v    sa fie convergenta, iar a doua conditie Dirichlet cere ca semnalul sa aiba un numar finit de intervale de monotonie pentru .

Diferenta dintre seria Fourier si transformata Fourier

v    Diferentele dintre seria Fourier si transformata Fourier pot fi explicate pe exemple simple. Fie semnalul armonic

v    , (2.12)

v    unde , iar , , si sunt numere reale fixate. Pentru acest semnal sunt inde­pli­ni­te ambele conditii ale lui Dirichlet formulate pentru seria Fourier, integrala (2.7) este finita si intr‑o perioada sunt un numar finit de intervale de monotonie. In acelasi timp, conditiile lui Dirichlet formulate pentru transformata Fourier nu sunt indeplinite. Daca atunci prima conditie a lui Dirichlet (2.11) nu este indeplinita si nici nu se poate vorbi despre un numar finit de intervale de monotonie pentru .

v    Similar, pentru semnalele aperiodice nu este valabila conditia de periodicitate (2.1), deci prima conditie a lui Dirichlet (2.7), enuntata pentru semnale periodice nu poate fi apli­ca­ta semnalelor aperiodice.

v    Conditiile lui Dirichlet au formulari diferite atat in cazul seriei Fourier cat si a tran­sformatei Fourier. Nici semnalele periodice nu au transformate Fourier si nici semnalele ape­riodice nu au serie Fourier.

Alterarea semnalului prin trunchiere in timp

v    Atat seria Fourier cat si transformata Fourier sunt metode analitice de prelucrare a semnalelor, deci semnalele si , analizate in subcapitolul 2.1 sunt: functii alge­bri­ce simple, o suma finita de functii alge­bri­ce simple sau functii algebrice simple definite pe un numar finit de intervale.

v    Un semnal analogic, , prelevat dintr-un circuit de masura nu este o functie analitica. Acest semnal are amplitudinea si banda de frecventa limitate si are o des­fasurare infinita in timp. In consecinta si secventa rezultata din procesul de achi­­zi­tie a datelor are o desfasurare infinita in timp. Prin firea lucrurilor, un calculator numeric nu poate pre­lu­cra decat secvente finite de esan­tioane ale semnalului

v    Obiectivul acestui subcapitol este studiul cantitativ al alterarii spec­trului semna­lu­lui datorata trunchierii in timp.

Achizitia datelor

v    Achizitia unui semnal este o succesiune de patru operatii: esantionarea, conversia ana­log‑numerica (cuantizarea), scalarea (reprezentarea esantioanelor prin numere reale ex­pri­mate in uni­ta­tea de masura a marimii fizice modelate numeric) si trun­chierea in timp.

v    In continuare se consi­de­ra un semnal de tensiune care a fost corect esantionat (v. te­orema lui Shanon), iar conversia numerica a semnalului se face cu un numar su­fi­cient de mare de biti. In urma scalarii secventa rezultata din achizitia datelor este memorata intr‑un vector de nume­re reale reprezentate in virgula flotanta.

v   

v    Figura 2.1. Achizitia semnalului

v    In figura 2.1 se prezinta diagrama de timp a functiei delta periodice , a func­tiei fereastra , a semnalului analizat si a secventei , re­zultate in urma achizitiei datelor, unde este numarul de esantioane prelevate din semnalul . In figura s‑au notat momentul inceperii achizitiei datelor si timpul de observare al semnalului ( sau durata experimentului).

v    Esantionarea se modeleaza matematic prin inmultirea semnalului cu functia delta periodica , unde , iar este perioada de esantionare.

v    Trunchierea in timp se modeleaza prin inmultirea semnalului cu func­tia fereastra . Functia fereastra are expresia:

v    (2.13)

v    In subcapitolul 2.4 se vor studia si functii fereastra care au forme diferite de (2.13). Aceste functii trebuie sa se anuleze in afara intervalului si sa aiba proprietatea:

v    (2.14)

v    Scalarea este operatia inversa a cuantizarii. In urma scalarii, , pentru .

v    In consecinta procesul de achizitie a datelor se modeleaza prin:

v    , . (2.15)

Transformata Fourier discreta

v    Transformata Fourier discreta este o metoda off‑line de prelucrare digitala a semnalelor prin care dintr‑o secventa , memorata intr-un vector de dimen­si­u­ne finita se obtine un spectru discret

v    , . (2.16)

v    Secventa se obtine din semnalul in urma esantionarii cu perioada , din care sunt prelevate esantioane, indexate dupa regula . In figura 2.1 s‑a notat timpul de observare al semnalului.

v    Nu este cunoscuta evolutia semnalului pentru deoarece in afara in­tervalului de timp nu s‑a facut achizitia sem­na­lului analizat. Totusi asupra evolutiei sem­­na­lu­lui pentru se pot face doua ipoteze care permit analiza in frecventa a sec­ven­tei :

v    Ipoteza 1. Se presupune ca semnalul este periodic cu perioada , deci semnalul are serie Fourier si un spectru discret.

v    Ipoteza 2. Se presupune ca semnalul pentru , deci semnalul are transformata Fourier si un spectru continuu.

v    Este evident ca ambele ipoteze ignora forma reala a semnalului in afara interva­lu­lui de timp in care a fost observat semnalul, dar cele doua ipotezele sunt necesare pentru a putea aplica una dintre cele doua metode de analiza in frecventa cunoscute: seria Fourier sau transformata Fourier.

Calculul spectrului DFT in conditiile primei ipoteze

v    Se considera un semnal armonic care are si o componenta continua. Prin inmultire cu functia fereastra din acest semnal se "decupeaza" portiunea care se pe­ri­odizeaza cu perioada . In cazul primei ipoteze semnalul analizat de transformata Fourier discreta este:

v    , (2.17)

v    unde este operatorul de prelungire periodica a portiunii de semnal . In membrul drept al functiei (2.17) con­vo­lu­tia cu functia , face o trans­la­tie a portiunii de semnal cu inter­va­lul de timp .

v    In fi­gu­ra 2.2 se prezinta semnalul , functia fereastra , (v. functia (2.14)), iar in a treia diagrama de timp, in intervalul este reprezentat semnalul , obtinut in urma pro­ce­sului de achizitie a datelor. In figura timpul este repre­zentat pe o axa continua, marcajele sunt in pozitiile , , iar in dreptul marcajului este no­tat numarul .

v   

v    Figura 2.2. Analiza semnalului in conditiile primei ipoteze

v    Semnalul (2.17) este periodic, cu perioada principala . Din conditiile puse la achi­zi­tia semnalului rezulta ca sunt indeplinite conditiile lui Dirichlet pentru seria Fourier, deci se poate aplica formula de calcul a coefi­cientilor seriei Fourier (2.4)

v    , (2.18)

v    unde este frecventa fundamentala a spectrului discret (v. notatiile din sec­ti­u­­nea 2.1). Pentru ca semnalul a fost esan­ti­o­nat cu perioada si s‑au prelevat esantioane, in integrala din formula (2.18) se con­si­de­ra , si , deci coeficientii se cal­cu­lea­za prin suma:

v    (2.19)

v    In urma procesului de achizitie a datelor pentru . Daca se esan­tioneaza si functia fereastra , cu care se face trunchierea in timp, se obtine sec­ven­ta , cu regula de indexare . Cu aces­te notatii, dupa simplificari, formula (2.19) devine

v    . (2.20)

v    Formula (2.20) este foarte importanta pentru ca este folosita de programul care imple­men­teaza transformata Fourier discre­ta. Din (2.13) si din figura 2.2 rezulta ca pentru si la prima vedere, in (2.20) se poate renunta la factorul , dar in subcapitolul 2.4 se vor studia si functii de ponderare, , care au alta forma.

v    In formula (2.18) frecventa fundamentala a seriei Fourier se ma­soa­ra in . Tra­di­tio­nal, spec­trul de linii rezultat din transformata Fourier discreta se reprezinta pe o axa liniara sau logaritmica gradata in , unde este o uni­ta­te de masura relativa la , intervalul de timp in care este observat experimentul.

v    Marimea se numeste frecventa fundamentala a spectrului discret si este intervalul de frecventa minim in care se pot afla informatii despre semnalul studiat. Din acest motiv, se mai numeste si rezolutia spectrului discret. se masoara in . In (2.20) , .

Proprietati ale coeficientilor

prima proprietate este . Din formula lui Euler rezulta ca expo­nen­ti­a­le­le com­plexe care intra in calculul coeficientilor si sunt:

v    . (2.21)

v    . (2.22)

v    pentru ca din (2.21), (2.22) si (2.20) rezulta ca .

v    Coeficientii sunt indexati dupa regula . In consecinta, din proprietatea enuntata anterior rezulta numarul de coeficienti independenti:

v    daca N este impar atunci coeficienti Fourier sunt independenti;

v    daca N este par atunci coeficienti Fourier sunt independenti.

v    Din sectiunea precedenta rezulta ca este rezolutia cu care se calculeaza spec­trul sec­ven­tei , iar din prima proprietate demonstrata in aceasta sectiune rezul­ta ca prelevarea unui numar mai mare de esan­tioane in acelasi in­ter­val de timp de obser­va­re al experimentului nu imbunatateste rezolutia spec­tru­lui discret, ci mareste nu­ma­­rul de coeficienti independenti.

v    Alte proprietati importante descriu rolul coeficientilor si . Coeficientul este com­ponenta continua a semnalului pentru ca . Da­ca N este par, expo­nen­ti­a­la care intra in calculul coeficientului este

v    . (2.23)

v    Din (2.23) rezulta ca valoarea coeficientului nu depinde de valoarea componentei co­ntinue a semnalului pentru ca N este par. Tot din (2.20) rezulta ca este par­tea reala a amplitudinii armonicii cu frecventa egala cu jumatate din frecventa de esan­ti­o­nare, pe cand partea imaginara este ignorata. In consecinta, daca este posibil ca frecventa de esantionare sa fie prea mica pentru ca in secventa este pre­zen­ta o componenta cu frecventa egala cu jumatate din frecventa de esantionare.

Calculul spectrului DFT in conditiile celei de‑a doua ipoteze

v    Se considera acelasi semnal ca in sectiunea precedenta. In fi­gu­ra 2.3 sunt reprezen­ta­­te semnalul , functia fereastra si semnalul , obtinut in urma pro­ce­sului de achizitie a datelor.

v   

v    Figura 2.3. Achizitia semnalului in conditiile celei de‑a doua ipoteze

v    Pentru ca pentru , semnalul are transformata Fou­ri­er, se aplica formula (2.9) si se obtine functia de densitate spectrala

v    . (2.24)

v    Se observa ca formulele (2.18) si (2.24) au aproximativ aceeasi forma. Daca se fac no­ta­tia formula (2.18) se pune sub forma

v    , , (2.25)

v    deci in formulele (2.24) si (2.25) s-a obtinut aceeasi integrala. Aparent, cele doua for­mule sunt echivalente si coeficientii Fourier com­plecsi pot fi exprimati si astfel:

v    . (2.26)

v    unde . Formulele (2.24) si (2.26) sunt doar algebric echivalente pentru ca pro­vin din fenomene fizice diferite. In sectiunea urmatoare se face o discutie calitativa a re­latiei (2.26).

Esantionarea in frecventa a unei functii de densitate spectrala

v    Se considera un semnal oarecare si coeficientii calculati cu formula (2.20). Am­plitudinile armonicilor spectrului discret sunt:

v    , . (2.27)

v    spectrul discret se reprezinta pe o axa continua, , ca o distributie

v    , (2.28)

v    unde s‑a notat , iar functia da forma liniei spectrale. Se ob­serva ca in (2.28) functia delta este folosita similar ca in (2.15). Din acest motiv, uneori, liniile spectrale ale spectrului dis­cret sunt numite esantioane de frecventa.

v    Pentru acelasi semnal se calculeaza functia de densitate spec­trala cu formula (2.24)

v    , (2.29)

v    unde s‑a notat amplitudinea functiei de densitate spec­trala. Daca semnalul experi­men­tal , este o tensiune atunci amplitudinile spectrului discret se masoara in , iar amplitudinea functiei de densitate spectrala se ma­soa­ra in .

v    In figura 2.4 se prezinta , functia de densitate spectrala de amplitudine a sem­na­lu­lui calculata cu formula (2.29) in conditiile celei de a doua ipoteze si spectrul dis­cret reprezentat sub forma unei distributii, calculat cu formula (2.28) in conditiile primei ipoteze.

v   

v    Figura 2.4. Esantionarea in frecventa a unei functii de densitate spectrala

v    Se observa ca pentru coeficientul cal­culat cu relatia (2.26) este egal cu supra­fa­ta dreptunghiului hasurat. Aceasta inseam­na ca relatia (2.26) este exacta doar daca func­tia de densitate spectrala este cons­tan­ta in intervalul ceea ce in exemplul prezentat in figura nu se intampla. Relatia (2.26) si exemplul din figura 2.4 sugereaza ca spectrul discret se poate ob­ti­ne prin esantionarea in frecventa a func­ti­ei de densitate spectrala cu pasul de esantionare .

v    Fenomenul prin care valoarea func­ti­ei de densitate spectrala este cunoscuta numai in punctele iar in intervalele , se pot face doar previzi­uni ale for­­mei functiei de densitate spec­tra­la cunoscut prin numele sugestiv Picket Fence Effect. In figura 2.5 se prezinta , aceeasi functie de densitate spec­tra­la folosita in exem­­plul din figura 2.4. Functia de densitate spectrala este acoperita de un gard de scan­duri prin care se vad numai punctele .

v   

v    Figura 2.5. Picket Fence Effect.

v    Din rezultatele teoretice anterioare se desprind urmatoarele concluzii:

v    nici una dintre ipotezele enuntate in sectiunea 2.2.2 nu poate fi verificata, in consecinta formulele (2.20) si (2.25) nu sunt exacte deci si relatia de echivalenta (2.26) este ea afectata de erori;

v    formula (2.20) dedusa din (2.18) (v. sectiunea 2.2.3) este folosita in prac­ti­ca pen­tru calculul coeficientilor din semnale esantionate. Din (2.20) nu rezulta nici o informatie despre ce se intampla intre do­ua esantioane de frecventa;

v    formula (2.25) este folosita pentru calculul spectrului numai din semnale analitice, nu si din semnale esantionate ;

v    se cunoaste forma analitica a functiei fereastra deci se cunoaste si forma spec­trului conti­nuu , deci se pot face previzi­uni analitice ale modului in ca­re pro­dusul de convolutie modifica for­­ma spectrului discret.

v    In subcapitolul 4 sunt studi­a­te formele altor functii fereastra pentru care se demon­strea­za teoretic ca reduc diferentele dintre formu­le­le (2.20) si (2.26).

Analiza semnalelor armonice cu transformata Fourier discreta

v    In acest subcapitol se analizeaza semnale armonice de forma , unde este amplitudinea semnalului masurata in volti, iar este frecventa sem­nalului ma­su­rata in . Din semnal se preleveaza o por­ti­u­ne continua de durata prin inmultire cu o fereastra rectangulara . In sectiunile ur­ma­toa­re se face un studiu can­ti­tativ asupra erorilor introduse de trun­chie­rea in timp facuta cu fereastra rectan­gu­la­ra, asupra estimarii ampli­tu­dinii unui semnal armonic.

Spectrul ferestrei rectangulare

v    In figurile 2.2 si 2.3 pentru trunchierea in timp a semnalului armonic a fost facuta cu functia fereastra rectangulara (2.13), numita si fereastra Dirichlet. Daca se considera atunci functia fereastra este

v      , . (2.30)

v    Func­tia fereastra indeplineste conditiile lui Dirichlet formulate pentru tran­sform­ata Fourier. Functia de densitate spectrala corespun­za­toare functiei fereastra (2.30), (v. Ade­laida Mateescu, 1975, exemplul de la p.40,) este:

v    , (2.31)

v    unde si . In literatura, functiile sau sunt cunoscute sub numele "nucleul lui Dirichlet".

v   

v    Figura 2.6. Functiile si .

v    In figura 2.6 se prezinta forma functiei fereastra rectangulara si , functia de densitate spectrala de amplitudine. Se observa ca exponentiala din for­mu­la (2.31) nu intra decat in calculul spectrului de faza pentru ca

v    , (2.32)

v    deci din (2.32) este expresia analitica a functiei de densitate spectrala de ampli­tu­di­ne a ferestrei rectangulare

Dificultati teoretice in analiza DFT a semnalului armonic

v    Sem­na­lul analizat este unde este functia (2.30). Evident si semnalul are transformata Fourier dar functia de densitate spectrala nu se poate pu­ne sub forma pentru ca semnalul este periodic si nu inde­pli­nes­te conditiile lui Dirichlet formulate pentru transfor­ma­­ta Fourier (v. concluziile din sec­tiunea 2.1.3).

v    Dificultatea prezentata anterior se depaseste printr‑un artificiu facut in doi pasi. Intai functia cosinus se exprima cu ajutorul for­mulelor lui Euler

v    , (2.33)

v    iar cu aceasta formula semnalul se pune sub forma:

v    . (2.34)

v    Apoi se aplica teorema modularii din transformata Fourier (v. Adelaida Mateescu, 1975, p.40 si exemplul de la p.41)

v    . (2.35)

v    Din (2.34) si (2.35) rezulta

v    . (2.36)

v    Notam . Inlocuind din (2.31) in (2.36), se obtine

v    . (2.37)

v    Se noteaza , si se observa ca , deci numarul este numarul de perioade prelevate din semnalul , sau frecventa semnalului raportata la fundamentala spectrului discret. Daca se tine cont ca si functia (2.37) se pune sub forma:

v    . (2.38)

v    Calculele implicate de aflarea amplitudinii functiei (2.38) sunt mai com­pli­cate in comparatie cu cele din (2.31) pentru ca amplitudinile celor doi termeni se aduna vectorial, chiar daca spectrul de faza nu are importanta.

v   

v    Figura 2.7. Functiile , si .

v    In figura 2.7, in stanga, se prezinta semnalul continuu analizat . In acest exem­plu s‑au analizat perioade ale semnalului deci .

v    Tot in figura 2.7, in dreap­ta, pe o axa continua a frecventei, prin puncte se prezinta spectrul discret de ampli­tu­dine cal­culat cu formula (2.20), (v. si (2.21), reprezentarea spectrului discret printr‑o dis­tri­bu­tie) si spectrul continuu de amplitudine calculat analitic cu formula (2.40).

Erorile maxime de estimare a amplitudinii unei linii spectrale

v    Semnalul periodic , daca este analizat cu seria Fourier conduce la un spec­tru cu doua linii spectrale cu frecventele . In sectiunea precedenta, a fost trun­chiat la perioade si analizat prin transformata Fourier discreta. S‑a obtinut spectrul din figura 2.7 care are mai mult de doua linii spectrale, nici una dintre ele nu are ampli­tu­dinea calculata prin seria Fourier.

v    Pentru ca in practica perioada semnalului si timpul de observare al sem­na­lu­lui nu sunt corelate se pune problema determinarii pe cale analitica a erorilor maxime de evaluare a amplitudinii liniilor spectrale. Se disting doua cazuri:

v    cazul cel mai favorabil best case): din semnal sunt prelevate un numar intreg de perioade;

v    cazul cel mai putin favorabil worst case): cand din semnal sunt prelevate un numar intreg de perioade si inca o semiperioada.

v    In figurile 2.8 si 2.9 semnalul , coeficientii si spectrul sunt prezentate la fel ca in figura 2.8.

v   

v    Figura 2.8. Cazul cel mai favorabil, , adica

v    In exemplul din figura 2.8 s‑au prelevat 6 perioade ale semnalului armonic deci frec­venta fundamentala a semnalului este (v. notatiile facute pentru for­mu­la (2.38) din sectiunea 2.3.2). In cazul cel mai favorabil prin transformata Fourier dis­creta se obtine acelasi rezultat ca si prin seria Fourier pentru ca este echivalent cu . In plus pentru .

v   

v    Figura 2.9. Cazul cel mai putin favorabil, , adica

v    In exemplul din figura 2.9 s‑au prelevat 6.5 perioade ale semnalului armonic deci frec­venta fundamentala a semnalului este . In spectrul prezentat in fi­gu­ra din dreapta se observa ca ceea ce inseamna ca am­pli­tu­dinea fundamentalei semnalului este estimata cu o eroare de

v    , (2.39)

v    adica 31 %, iar coeficientii pentru si sunt estimati cu o eroare maxima de 25.4 %.

Concluzii

v    In ceea ce priveste corelatia dintre proprietatile semnalului fizic si , tim­pul de observare a semnalului se disting patru cazuri:

v    semnalul este periodic si , adica timpul de masura este un multiplu al perioadei semnalului . Transformata Fourier discreta devine un caz particular al seriei Fourier, in care coeficientii Fourier se calculeaza dintr-un semnal esantionat;

v    semnalul este periodic, dar timpul de observare a semnalului si peri­oa­da semnalului nu sunt corelate. In aceasta situatie, semnalul are un spectru de linii si transformata Fourier discreta da rezultate foarte bune;

v    semnalul , vizualizat cu un osciloscop, are aspect periodic si este posibil sa fie generat de un proces fizic periodic. Un astfel de semnal se numeste "quasi­pe­ri­odic" pentru ca asupra semnalului se poate formula doar o ipoteza de perio­dicitate. Rezultatele date de transformata Fourier discreta sunt bune;

v    semnalul este aleator si in consecinta nu este nici o corelatie intre timpul de observare a semnalului si continutul semnalului. In aceasta situatie, trans­for­ma­ta Fourier discreta este dificil de aplicat nu se poate cunoaste modul in care trunchierea in timp modifica forma spectrului. Exista totusi metoda medierii spectrelor de putere, metoda care reduce aceasta influenta;

v    in subcapitolul 2.3 s‑a studiat doar influenta ferestrei rectangulare asupra unui semnal armonic. In capitolul 4 se vor studia si alte functii de ponderare care re­duc diferentele dintre cazul cel mai favorabil si cel mai putin favorabil constatat in sectiunea 3.3.3 si erorile care apar prin esantionarea unui spectru continuu cu de relatia (2.26) (v. figura 2.4 si comentariul din sectiunea 2.2.6).