Despre erori in fizica

DESPRE ERORI IN FIZICA

1. Introducere

Masurarea unei marimi fizice este insotita de erori. Prin eroare nu intelegem "neatentia" sau "greseala", ci, o imprecizie pe care nu o putem evita atunci cand efectuam o masurare. Sunt si masurari neafectate de erori, cum ar fi numarul de studenti din laborator la un moment dat. Pe de alta parte, numarul de molecule de aer din laborator este imposibil de specificat in mod exact. Deoarece, de obicei masuram marimi de acest al doilea tip, trebuie sa stim sa calculam imprecizia masuratorilor noastre.

Pentru a exemplifica importanta cunoasterii erorilor de masura vom cosidera urmatorul exemplu: sa presupunem ca doriti sa cumparati o biblioteca pentru sufrageria apartamentului vostru si rugati un prieten sa masoare inaltimea camerei. El va spune ca inaltimea este de 300 cm. Atunci, comandati o biblioteca, din piese detasabile, de 298 cm si cand o aduceti acasa constatati ca nu incape, pentru ca, de fapt, gasiti ca sufrageria are 297 cm inaltime. Ce s-a intamplat? Prietenul nu v-a spus ca a folosit pentru masurare o rigla scurta si eroarea a fost de 5 cm. In inginerie, in constructii, sau in medicina, o astfel de eroare ar fi putut avea consecinte dramatice.

In general erorile sunt de doua tipuri:

sistematice;

intamplatoare.

Erorile sistematice au mereu acelasi semn si nu dispar prin medierea asupra unui numar mare de masuratori. Apar erori sistematice cand masuram lungimea cu o rigla gradata incorect, cand masuram timpul cu un ceas care ramane in urma, sau masuram diferenta de potential cu un voltmetru incorect calibrat. De asemenea, erorile sistematice pot aparea datorita experimentatorului, care, de exemplu, priveste incorect scala aparatului de masura: in loc sa priveasca perpendicular acul instrumentului de masura, privirea cade oblic, influentand rezultatul citirii. Nu putem determina erorile sistematice intr-un singur experiment. Pentru determinarea lor ar trebui sa masuram aceeasi marime fizica prin metode diferite si apoi sa comparam rezultatele. Spunem ca un experiment are un grad inalt de acuratete, daca erorile sistematice sunt foarte mici.

Erorile intamplatoare pot avea nenumarate si impredictibile cauze: fluctuatii ale presiunii si ale temperaturii aerului din camera, ale tensiunii electrice de la sursa de energie electrica, raze cosmice, etc. Deoarece ele apar cu egala probabilitate, atat cu semnul minus cat si cu semnul plus, prin metode statistice putem estima aceste erori intamplatoare. Despre experimentele cu erori intamplatoare mici spunem ca sunt foarte precise.

2. Erorile facute la citirea scalei unui instrument de masura

De multe ori masuram cu instrumente care au o scala marcata. In exemplul din figura de mai sus, lungimea obiectului (o radiera) este specificata de pozitia capatului din dreapta. Acesta este situat mai aproape de diviziunea 68.6 cm decat de diviziunea 68.7 cm. De aceea vom exprima lungimea: L = 1.6 ± 0.1 cm, unde 1.6 cm este valoarea centrala si 0.1 cm este eroarea.

3. Erorile instrumentelor digitale

Instrumentele moderne de laborator prezinta afisaje digitale. De exemplu un higrometru electronic prezinta umiditatea relativa a aerului din camera: 75³ %, aceasta fiind valoarea centrala a marimii masurate. Eroarea in acest caz este data de limita de precizie a aparatului, precizata de producator in documentele care insotesc aparatul la cumparare. Daca ne lipseste aceasta informatie folosim urmatoarea regula: eroarea unui instrument electronic este, de obicei, jumatate din ultimul digit de precizie. In exemplul descris mai sus umiditatea relativa este cuprinsa intre 75²⁵ % si 75³⁵ % . Rezultatul va fi pus sub forma: RH = 75.3 ± 0.05 %.

4. Deviatia standard

Sa presupunem ca masuram perioada de oscilatie a unui pendul folosind un cronometru. Eroarea cronometrului se poate estima asa cum am discutat mai devreme. Totusi sursa principala de eroare consta in timpul de reactie pe care-l avem la pornirea si oprirea cronometrului. Pentru a estima aceasta sursa de erori solutia este sa masuram de mai multe ori aceasta perioada, valoarea medie a acestor masuratori repetate fiind mult mai probabil aproape de valoarea exacta decat ceea ce obtinem dupa o singura masuratoare.

Sa presupunem ca am masurat perioada de oscilatie de cinci ori, obtinand valorile din tabelul urmator:

Cea mai buna estimare a perioadei de oscilatie este valoarea medie a celor cinci valori masurate:

unde N = 5 reprezinta numarul de masuratori (in cazul legii normale (Gauss) valoarea medie poate fi luata eventual ca valoare de referinta acceptata, constituind un substitut al asa-numitei "valori adevarate" a masurandului, care este in cele mai multe cazuri  necunoscuta ).

Am putea calcula eroarea ca diferenta dintre cea mai indepartata valoare de valoarea medie si valoarea medie: (4.9 - 4.6) s = 0.3 s. Aceasta eroare insa supraestimeaza eroarea si vom incerca acum sa calculam o eroare medie:

Vedem ca nu putem folosi media deviatiilor pentru a estima eroarea deoarece obtinem zero: probabilitatea de a obtine valori mai mari decat valoarea medie este egala cu probabilitatea de a obtine valori mai mici decat valoarea medie si deviatiile cu semnul plus sunt anulate de acelea cu semnul minus. Pentru a scapa de valorile negative vom ridica deviatiile la puterea a doua, apoi vom calcula valoarea lor medie si vom extrage radicalul din aceasta valoare obtinand formula deviatiei sau a abaterii standard:

=

Acesta este rezultatul care ne spune care este indepartarea medie a rezultatelor experimentale fata de valoarea medie:

Definitia matematica exacta a deviatiei sau abaterii standard este:

.

Inlocuirea lui N cu N-1se explica in urmatorul mod: in momentul cand calculam abaterea standard noi nu cunoastem media adevarata, ci numai o estimare a ei la acel moment, , ceea ce conduce la o subevaluare a abaterii standard. Pentru a compensa diferenta, la valori mici ale lui N, vom imparti la N-1 in loc de N.

Patratul abaterii standard, , se numeste varianta sau dispersie.

Pentru a fi mai siguri ca este o reprezentare exacta a valorii adevarate a marimii masurate (perioada de oscilatie T), vom repeta setul de masurari de mai multe ori. In acest caz definim deviatia sau abaterea standard a valorii medii: . reprezinta o buna estimare asupra incertitudinii asupra lui . Observam ca precizia masuratorilor creste de ori daca repetam masurarea de mai multe ori. Folosind datele din exemplul de mai sus gasim si rezultatul va fi:

.

5. Propagarea erorilor

Sa presupunem ca avem o marime, y, care depinde de mai multe variabile x₁,, x_n:

y = f (x₁, x₂, , x_n) .

Daca presupunem ca erorile sunt independente, abaterea standard a valorii medii a marimii y este data de relatia:

,

numita teorema de propagare a erorilor.

6. Histograme

Sa presupunem ca am masurat perioada pendulului de zece ori, obtinand urmatoarele rezultate: 4.9, 4.5, 4.7, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.6, 4.8, 4.6 secunde.

Acum vom numara de cate ori am obtinut fiecare rezultat:

Putem reprezenta grafic frecventa cu care apar valorile masurate ale perioadei:

Uneori este convenabil sa folosim o histograma pentru reprezentare:

Cu cat numarul de masuratori este mai mare, histograma se apropie din ce in ce mai mult de forma unui clopot, expresia grafica a functiei de distributie Gauss ():

unde este amplitudinea maxima, este valoarea medie, iar σ este deviatia standard a distributiei.

Care este relatia dintre histograma si valoarea medie si eroarea cu care masuram perioada de oscilatie a pendulului? De la inceput observam ca maximul histogramei este situat chiar in dreptul valorii medii: 4.6 s. Daca vom calcula deviatia standard cu formula anterioara, gasim valoarea: 0.14 s. Vom preciza intervalul 4.60 ± 0.14 pe histograma:

Observam ca valorile 4.5. 4.6 si 4.7 sunt cuprinse in intervalul definit de deviatia standard, ceea ce inseamna ca 7 din 10 masuratori cad in acest interval. Se poate demonstra ca distributia Gauss contine 68% din masuratori in intervalul definit de o deviatie standard de fiecare parte a valorii medii. Deoarece histograma noastra se apropie de distributia Gauss, am gasit in intervalul mentionat 70% din masuratori, rezultat apropiat de valoarea teoretica de 68%. Pe baza celor discutate putem afla valoarea medie si abaterea standard plecand de la o histograma data: gasim intai valoarea centrala si apoi cautam largimea intervalului simetric de o parte si de alta a ei in care sunt continute 68% (in practica 2/3) din masuratori. Jumatate din acest interval va fi deviatia standard. In figura de mai jos aflam ca avem o sansa de 68% ca valoarea adevarata a marimii masurate sa fie cuprinsa in intervalul , o sansa de 95% ca valoarea adevarata a marimii masurate sa fie cuprinsa in intervalul si o sansa de 99.7% ca valoarea adevarata a marimii masurate sa fie cuprinsa in intervalul .

Acuratetea indica indepartarea valorii obtinute prin masurare de valoarea adevarata a marimii masurate. Astfel, daca folosim o balanta si masurand o masa marcata de 50.0 g obtinem rezultatul 80.5 g, masuratoarea facuta este lipsita de acuratete. Pentru a estima acuratetea, este suficienta o singura masurare. Precizia masoara imprastierea valorilor masurate fata de valoarea medie si este descrisa cantitativ prin abaterea standard. Figura urmatoare explica notiunile de acuratete si precizie:

7. Distributia normala (Gaussiana)

este valoarea medie iar σ este abaterea sau deviatia standard. Aproximativ 2/3 din masuratori sunt cuprinse in intervalul :

iar aproximativ 95% din masuratori cad in intervalul .

Multimea valorilor care se obtin atunci cand efectuam masurari repetate asupra unei marumi fizice (de exemplu, lungimea unui obiect) poarta numele de populatie si, in exemplul ales, contine o infinitate de elemente. In practica se efectueaza un numar finit de masuratori, multimea valorilor obtinute formand un esantion. Media aritmetica a populatiei se noteaza cu litera μ:

, in exemplul ales . Media aritmetica a esantionului este:

unde, evident, n < N. Cu cat facem mai multe masuratori, distanta dintre si μ devine din ce in ce mai mica:

Deviatia sau abaterea standard a valorii medii reprezinta distanta fata de in interiorul careia ne asteptam sa gasim media aritmetica a populatiei, μ. Cu o probabilitate de 68%, μ se va afla in intervalul si cu o probabilitate de 95%, μ se va afla in intervalul .

In concluzie, abaterea standard, masoara imprastierea valorilor masurate intr-un esantion fata de valoarea medie a esantionului in timp ce abaterea standard a valorii medii, masoara imprastierea valorilor medii obtinute in diferite esantioane fata de media aritmetica a populatiei, μ. Marind numarul de masuratori, valoarea medie si deviatia standard se vor modifica din ce in ce mai putin, in timp ce deviatia standard a valorii medii se micsoreaza din ce in ce mai mult. Imprecizia cu care masuram valoarea medie a unui esantion de valori are la baza doua surse:

Eroarea masurarilor individuale; aceasta este data de precizia aparatului de masura; cand nu cunoastem precizia aparatului de masura, o vom considera ca fiind cel mai mic interval dintre valorile masurate;

Abaterea standard a valorii medii, considerata ca intervalul in jurul mediei pe esantion in care se afla cu o mare probabilitate media asupra populatiei.

Eroarea cu care masuram valoarea medie pe esantion va fi cea mai mare dintre cele doua: eroarea masurarilor individuale si abaterea standard a valorii medii.

Din cele discutate putem determina numarul optim de masuratori pentru determinarea unei marimi fizice. El este acel numar pentru care precizia masurarilor individuale devine egala cu abaterea standard a valorii medii:

, unde am notat cu Δx precizia masurarilor individuale.

8. Cifre semnificative

Cifrele semnificative sunt legate de procesul de "rotunjire" si implicit, de precizia rezultatului unei masuratori. De exemplu, afirmatia ca lungimea unui caiet este de 20.143674217 cm nu are sens, deoarece nu dispunem de un aparat de masura cu care sa masuram miliardimi de centimetru. In cazul nostru, daca am masurat lungimea caietului cu o rigla gradata in milimetri, rezultatul va fi 20.14 cm . In acest caz avem patru cifre semnificative: 2, 0, 1, si 4. De primele trei suntem siguri, iar ultima este o estimare grosiera a zecimilor de milimetru, care poate fi eronata. Deci, cifrele semnificative ale unei masurari sunt cele de care suntem siguri, plus ultima care poate fi estimata, de care ne indoim si care contine eroarea. Prezentam cateva reguli de stabilire a cifrelor semnificative:

Toate cifrele nenule se considera semnificative: 231.67 are cinci cifre semnificative; in numarul 5000 prima cifra este semnificativa iar celelalte pot fi semnificative sau nu;

Zerourile care apar intre doua cifre semnificative sunt cifre semnificative: 504.45 are cinci cifre semnificative - 5, 0, 4, 4 si 5;

Zerourile din fata nu sunt semnificative: 0.0024 are doua cifre semnificative - 2 si 4;

Zerourile din coada unui numar zecimal cu virgula sunt semnificative: 24.500 are cinci cifre semnificative - 2, 4, 5, 0 si 0. Numarul 0.02400 are patru cifre semnificative - 2, 4, 0 si 0. De asemenea 420.00 are cinci cifre semnificative - 4, 2, 0, 0 si 0.

Semnificatia zerourilor din coada unui numar fara virgula zecimala este ambigua. De aceea exista diferite conventii:   are trei cifre semnificative, indicand o exactitate sau acuratete de ordinul zecilor; are doua cifre semnificative (cele care urmeaza dupa nemaifiind semnificative; 3000. are patru cifre semnificative, indicate de prezenta punctului zecimal.

Cand folosim notatia stiintifica toate cifrele sunt semnificative. De exemplu: 0.0023 cu doua cifre semnificative se scrie - 2.3 x 10^-3, iar 0.003465200, cu sapte cifre semnificative se scrie - 3.465200 x 10^-3. Pentru numerele fara virgula zecimala ambiguitatea zerourilor din coada dispare: 26 000 cu cinci cifre semnificative se scrie: 2.6000 x 10⁴ in timp ce 26 000 cu trei cifre semnificative se scrie 2.60 x 10⁴.

In calculele care implica inmultirea, impartirea, aplicarea unor functii (trigonometrice, de exemplu) numarul de cifre semnificative ale rezultatului trebuie sa fie egal cu cel mai mic numar de cifre semnificative ale numerelor care sunt implicate in operatia matematica respectiva. Astfel daca evaluam ln (1.034 x 8.45) rezultatul trebuie sa aiba trei cifre semnificative (1.034 are patru cifre semnificative iar 8.45 are trei cifre semnificative): 2.167601217 va fi rotunjit pana la trei cifre semnificative : 2.17.

Daca adunam sau scadem doua marimi, rezultatul trebuie sa aiba un numar de zecimale (si nu de cifre semnificative) egal cu cel mai mic numar de zecimale ale numerelor implicate in operatie matematica. Astfel daca adunam 23.14 cm cu 2.1 cm , primul numar are doua zecimale, iar al doilea are doar o zecimala. Rezultatul adunarii, 25.24 cm, trebuie prezentat cu o singura zecimala: 25.2 cm. Cand avem de facut mai multe operatii matematice pentru a ajunge la rezultatul final, trebuie ca in rezultatele intermediare sa pastram cu o cifra semnificativa mai mult decat avem nevoie in rezultatul final, pentru a evita erorile care apar prin rotunjire. Este gresit sa prezentam un rezultat cu mai multe zecimale decat au datele experimentale, sau sa rotunjim la trei, sa zicem, zecimale un rezultat intermediar si apoi sa prezentam rezultatul final cu patru zecimale.

9. Reprezentari grafice

Pentru a vedea cum depind una de alta doua marimi fizice, este util sa facem o reprezentare grafica. Vom modifica controlat una dintre variabile si vom inregistra valorile celeilalte variabile, mentinand constanti ceilalti parametri. Valorile variabilei controlate se reprezinta pe abscisa, iar valorile celeilalte variabile se reprezinta pe ordonata. De exemplu, intr-un experiment studiem relatia dintre forta deformatoare si deformarea unui resort elastic:

Reprezentam pe abscisa deformarea x a resortului si pe ordonata forta F deformatoare, care in modul este egala cu forta elastica. Notarea marimii reprezentate pe axa este obligatorie, ca si trecerea in paranteza a unitatii de masura a marimii respective. Aceasta notare se face la mijlocul sau la capatul axei. Alegerea lungimii unitatilor pe cele doua axe trebuie facuta cu grija pentru ca graficul sa ocupe aproape tot spatiul graficului si nu sa fie concentrat intr-o fasie ingusta a acestuia. Astfel, la capatul axei Ox trebuie sa avem valoarea maxima masurata a variabilei x (75 mm), iar la capatul axei Oy trebuie sa avem o valoare apropiata de forta maxima masurata (9.7 N), adica valoarea de 10 N.

Folosind metoda celor mai mici patrate aflam parametrii dreaptei care minimizeaza suma patratelor distantelor de la punctele experimentale la dreapta. Panta acestei drepte ne ofera constanta k a resortului elastic (F = kx).