Algoritmi de identificare in bucla inchisa

Algoritmi de identificare in bucla inchisa

In practica, exista multe situatii in care identificarea in bucla deschisa este dificila sau imposibil de realizat (de exemplu un proces cu un comportament integrator sau instabil in bucla deschisa, etc.). Exista de asemenea sisteme automate in care procesul este cu parametri variabili in timp, si prezenta unui regulator pentru pilotarea unui astfel de proces este obligatorie. In acest caz se impune in mod evident utilizarea identificarii in bucla inchisa pentru asemenea configuratii, cunoscute ca sisteme adaptive de reglare.

Importanta practica a identificarii in bucla inchisa este recunoscuta in literatura de specialitate si dovedita prin aparitia si dezvoltarea unor metode specifice. Ideea centrala este de a utiliza pe cat posibil, aceleasi tehnici de identificare folosite in bucla deschisa (spre exemplu, algoritmii CMMPR), in timpul exploatarii sistemului in bucla inchisa, cu precautii suplimentare. Doua puncte de vedere pot fi evidentiate.

Primul, incearca reducerea problemei identificarii in bucla inchisa la proceduri de tipul CMMPR pentru bucla deschisa din motive de ordin practic, algoritmii si metodele de identificare in bucla deschisa fiind bine cunoscute si validate la ora actuala. Acest punct de vedere a condus la aparitia metodelor CLOE (closed-loop output-error) care utilizeaza in locul erorii de predictie din algoritmul de adaptare CMMPR pentru ajustarea parametrilor modelului de predictie, eroarea de iesire pentru cazul sistemelor in bucla inchisa. Aceste metode furnizeaza estimari nedeviate numai pentru anumite tipuri de perturbatie, luand in considerare faptul ca u si w sunt corelate.

Al doilea punct de vedere, poate fi considerat o extensie a primului si se bazeaza pe observatia conform careia, intr-o configuratie de sistem in bucla inchisa, marimile u si w sunt corelate. Metodele dezvoltate au la baza aceeasi utilizare a algoritmilor in bucla deschisa dar, in cateva scheme particulare, care permit o decuplare virtuala a comenzii u de perturbatia w. Aceste metode sunt cunoscute sub denumirea de metode directe si metode indirecte de identificare in bucla inchisa.

Vom trata cele doua abordari si vom acorda o atentie mai mare primului caz, deoarece algoritmii cu care se opereaza sunt prezentati in formula cunoscuta de la identificarea in bucla deschisa si in consecinta sunt mai simplu de utilizat.

1 Algoritmi de identificare in bucla inchisa de tip eroare de predictie

Algoritmii prezentati in aceasta sectiune functioneaza dupa principiul adaptarii parametrice, bazata pe eroarea de predictie de la identificarea in bucla deschisa. Acesti algoritmi prelucreaza in fapt eroarea de iesire, ca diferenta intre iesirea sistemului de calcul cu modelul ajustabil inclus si iesirea sistemului fizic de reglare care include procesul.

Schema de principiu pentru identificarea in bucla inchisa este prezentata in figura 3.2. Scopul este de a minimiza eroarea intre cele doua sisteme, obtinand estimari mai bune pentru noile modele care sunt utilizate eventual la algoritmul de reglare.

In aceasta schema putem evidentia doua tipuri de algoritmi de identificare in bucla inchisa.

1. Primul tip scrie ecuatiile sistemului in bucla inchisa avand la baza predictiile û(t), ŷ(t) si valorile de eroare (de iesire) . In aceasta maniera sunt generati: algoritmii recursivi de identificare in bucla inchisa de tipul eroare de iesire, unde parametrii modelului (vezi fig. 3.2) sunt ajustati prin algoritmul de adaptare parametrica AAP care utilizeaza eroarea in locul erorii de predictie standard

Fig.3.2: Schema de identificare in bucla inchisa

2. Cel de-al doilea tip scrie ecuatiile predictorului utilizand marimile u(t), y(t) si. Acest fapt conduce la o exprimare a erorii de predictie utilizata de algoritmul CMMCR pentru identificarea in bucla deschisa, calculata cu date filtrate. Aceasta clasa de algoritmi este cunoscuta sub numele de algoritmi recursivi de identificare in bucla inchisa cu date filtrate.

2 Relatii fundamentale pentru estimarea parametrilor

Scopul este de a estima parametrii procesului dat de functia de transfer:

(3.63)

unde:

(3.64)

(3.65)

Iesirea sistemului in bucla inchisa este data de:

(3.66)

unde u(t) este intrarea procesului; y(t) iesirea procesului; w(t) perturbatia, si:

(3.67)

(3.68)

(3.69)

cu semnal de excitatie externa aplicat la iesirea regulatorului sau daca este aplicat la referinta.

Ecuatia modelului de predictie este:

(3.70)

unde:

(3.71)

(3.72)

(3.73)

Eroarea de predictie este definita sub forma urmatoare :

(3.74)

Trebuie retinut ca pentru valori constante ale parametrilor estimati, vectorul al modelului depinde numai de semnalele de excitatie externe. Deci, daca presupunem ca r(t) (sau r_u(t)) si perturbatia w(t) sunt independente, rezulta ca si nu sunt corelate.

Pentru toate metodele de identificare in bucla inchisa, algoritmul de adaptare parametrica are aceeasi forma generala de exprimare:

(3.75)

(3.76)

(3.77)

(3.78)

cu

unde,

este o eroare de adaptare a priori si:

este o eroare de adaptare a posteriori.

Fiecare metoda de identificare in bucla deschisa va utiliza reprezentarea generala pentru AAP, cu expresii diferite pentru . Rolul secventelor si de ponderare este similar cu rolul remarcat in cadrul prezentarii algoritmilor in bucla deschisa, adica de definire a caracteristicilor de evolutie a amplificarii de adaptare F(t).

3 Algoritmi de tip eroare de iesire

Pentru constructia acestui tip de algoritm, se pleaca de la faptul ca iesirea sistemului in bucla inchisa poate sa fie exprimata sub forma urmatoare:

(3.79)

cu:

(3.80)

undedefineste polii sistemului in bucla inchisa.

Din ecuatiile (3.70), (3.74), (3.79) pentru cazul determinist, cu, avem:

(3.81)

Dar, in conformitate cu relatiile (3.80), (3.81) putem scrie:

(3.82)

Algoritmul de adaptare parametrica in versiune completa este dat de ecuatiile (3.75)-(3.78).

3.1 Algoritmul CLOE

Consideram in acest caz predictorul ajustabil a priori al buclei inchise:

(3.83)

si predictorul a posteriori dat de:

(3.84)

Definim eroarea de predictie a priori :

(3.85)

si cea a posteriori :

(3.86)

Rezulta expresia erorii de predictie a posteriori :

(3.87)

Algoritmul de adaptare parametrica este dat de ecuatiile (3.75)-(3.78).

Avem conditiile initiale :

(3.88)

cu , o functie reala, strict pozitiva. Algoritmul asigura o convergenta a erorii de predictie la 0, in absenta perturbatiilor.

Daca perturbatia exista, ecuatia erorii de predictie, cu cunoscut, este :

(3.89)

Daca presupunem ca w(t+1) nu depinde de semnalul de excitatie externa , rezulta ca si sunt independente. Daca avem o intrare bogata in spectrul de frecventa, algoritmul asigura estimarea corecta a parametrilor, respectand de asemenea conditia (3.88).

Algoritmul in acest caz se scrie :

3.2 Algoritmul CLOE filtrat

Folosind expresia erorii de predictie din ecuatia (3.82), putem scrie relatia :

(3.90)

unde:

(3.91)

(3.92)

In ecuatia (3.92), este polinomul caracteristic care aloca polii sistemului in bucla inchisa, pe baza unei estimari initiale a modelului procesului (de exemplu prin utilizarea unei metode de identificare in bucla deschisa).

Aceasta formula ne conduce la algoritmul filtrat in bucla inchisa de tip eroare de iesire, care utilizeaza conform procedurii AAP, setul de ecuatii (3.75)-(3.78):

(3.93)

in care deci, eroarea de iesire se calculeaza folosind date filtrate.

Convergenta algoritmului este asigurata, in prezenta sau in absenta perturbatiilor si conditia (3.88) este respectata.

Daca in algoritmul CLOE filtrat, inlocuim filtrul de date cu (estimarea polinomiala a buclei inchise) obtinem algoritmul adaptativ filtrat in bucla inchisa de tip eroare de iesire. Aceasta varianta asigura numai o convergenta locala si un test de stabilitate trebuie sa fie aplicat algoritmului.

3.3 Algoritmul X-CLOE

Un algoritm de tipul X-CLOE este folosit pentru cazul in care preturbatia este data de:

unde este un zgomot alb gausian si este un polinom asimtotic stabil.

Modelul de predictie este definit de:

(3.94)

Iesirea procesului devine:

(3.95)

unde:

(3.96)

(3.97)

Ecuatiile (3.94), (3.95) dau expresia erorii de predictie:

(3.98)

unde:

(3.99)

(3.100)

(3.101)

(3.102)

Din ecuatia (3.98), putem sa observam ca, pentru , eroarea de predictie tinde spre e(t+1).

Prin inlocuirea predictorului fix al ecuatiei (3.94) cu unul ajustabil, putem utiliza algoritmul de adaptare parametrica cu:

si obtinem :

(3.103)

O analiza a functionarii algoritmului in absenta perturbatiilor demonstreaza ca stabilitatea asimtotica globala este asigurata fara sa fie obligatorie respectarea conditiei (3.88). In acest caz, expresia erorii de predictie a posteriori este:

(3.104)

Daca perturbatiile exista, eroarea de predictie a posteriori are expresia:

(3.105)

si algoritmul asigura o estimare nedeviata a parametrilor, daca  se respecta conditia (3.88).

3.4 Algoritmul G-CLOE

Este utilizat in cazul in care perturbatia se exprima sub forma:

unde este un zgomot alb gausian, iar si 1+d₁q^-1+ . +d_nDq^-nD cu si polinoame asimtotic stabile.

Ideea de constructie a acestui tip de algoritm este similara cu aceea a algoritmului X-CLOE. Iesirea procesului in bucla inchisa este:

(3.106)

(3.107)

unde:

(3.108)

(3.109)

(3.110)

In aceste conditii, modelul de predictie va avea forma:

(3.111)

Expresia erorii de predictie este obtinuta din ecuatiile (3.106) si (3.111).

(3.112)

Ecuatia (3.112) demonstreaza foarte clar ca pentru eroarea de predictie este egala cu

In absenta perturbatiilor, folosind un predictor ajustabil in locul predictorului dat de ecuatia (3.111), eroarea de predictie a posteriori are forma:

(3.113)

unde:

(3.114)

(3.115)

(3.116)

(3.117)

(3.118)

(3.119)

(3.120)

Algoritmul de adaptare parametrica va folosi relatiile:

Acest algoritm asigura convergenta erorii de predictie la 0.

In prezenta perturbatiilor, conditiile de convergenta nu sunt cunoscute, din cauza expresiei pentru eroarea de predictie data de ecuatia (3.112).

4 Algoritmi cu date filtrate

Posibilitatea utilizarii algoritmului de identificare in bucla deschisa pentru identificarea in bucla inchisa este determinata de faptul ca expresia predictorului, data de (3.70), poate sa fie scrisa si sub forma:

(3.121)

si mai departe,

unde este polinomul caracteristic al sistemului in bucla inchisa, care aloca polii in functie de modelul procesului.

Prin utilizarea ecuatiilor (3.66) si (3.121) obtinem expresia erorii de predictie:

(3.123)

unde:

(3.124)

reprezinta eroarea de predictie cand utilizam un predictor de tipul CMMPR pentru modelul procesului, definit astfel:

(3.125)

In consecinta, pentru estimarile cunoscute ale parametrilor, eroarea de predictie in bucla inchisa este egala cu eroarea de predictie din CMMPR, pentru iesirea sistemului.

Ecuatia (3.123) poate sa fie scrisa sub forma:

(3.126)

sau:

(3.127)

fiind posibila utilizarea algoritmului CMMPR prezentat anterior dar, pentru date de intrare si de iesire filtrate.

Filtrul utilizat are o caracteristica interesanta deoarece asigura filtrarea semnalelor de frecventa inalta care depasesc largimea de banda a modelului estimat al buclei inchise, iar daca regulatorul contine un integrator (ex. ) componentele continue vor fi de asemenea filtrate.

Estimari nedeviate ale parametrilor modelului vor fi obtinute numai pentru un anumit tip de zgomot si poli ai buclei inchise ( cum ar fi spre exemplu cazul in care este indeplinita conditia). Pentru observarea efectului zgomotului asupra estimarilor parametrilor, putem utiliza alte metode recursive de identificare in bucla inchisa: metoda Celor Mai Mici Patrate Extinsa CMMPE, metoda Erorii de Iesire cu Modelul de Predictie Extins EIMPE, metoda Verosibilitatii Maxime VM.

In practica, aceste metode de identificare in varianta recursiva, pot fi utilizate cu date de I/O filtrate prin filtrul . In acest caz este necesara o estimare initiala a modelului procesului pentru a putea implementa ulterior filtrul, lucru care nu este utilizat pentru algoritmii de tip eroare de iesire

Algoritmii recursivi pentru identificare in bucla deschisa pot deci sa fie utilizati pentru identificarea modelului procesului in bucla inchisa si avem :

(3.128)

unde,

(3.129)

Ignorand efectul de zgomot, eroarea de predictie obtinuta din ecuatiile (3.66), (3.129) este:

(3.130)

Deci:

(3.131)

sau:

(3.132)

(3.133)

Algoritmul de adaptare parametrica va fi urmatorul:

(3.134)

Este deci evident ca algoritmii de identificare in bucla deschisa pot sa fie utilizati pentru identificarea in bucla inchisa cu datele I/O filtrate de filtrul cu functia de sensibilitate . Daca in bucla inchisa u si w sunt corelate, estimarile parametrilor vor fi nedeviate numai pentru un anumit model de perturbatie si o anumita alocare a polilor sistemului in bucla inchisa.

5 Validarea modelelor

Prima remarca pe care trebuie sa o facem este aceea ca oricare criteriu sau test va fi folosit, validarea modelului depinde si de regulator. Scopul validarii este de a descoperii modelul procesului care da o predictie mai buna pentru procesul integrat in sistemul in bucla inchisa, deci in prezenta regulatorului implicat in operatiunea de identificare.

Testul de validare statistica poate sa fie descris intr-o maniera similara cu testul pentru identificarea in bucla deschisa, dar eroarea de predictie este obtinuta cu ajutorul unui model de predictie al buclei inchise.

Testul de decorelare utilizeaza schema in care predictorul este dat de ecuatiile (3.70)-(3.73), si decorelarea intre eroarea de predictie si componentele vectorului de observatie ( si valorile lor intarziate, va fi  stabilita prin calculul covariatiei valorii reziduale a erorii de predictie.

Exista doua motive care arata ca acest test este necesar: pe de o parte, necorelarea intre vectorul observatiilor si eroarea de predictie conduce la estimari nedeviate ale parametrilor, si pe de alta parte, din cauza faptului ca acesta necorelare implica independenta intre eroarea de predictie si excitatiile externe (eroarea de predictie reziduala nu contine informatii care depind de semnalul de excitare extern, si pentru asta toate corelarile intre semnalul de excitare si iesirea sistemului sunt descrise de predictor).

Definim:

(3.135)

si calculam:

(3.136)

Criteriul de validare este:

(3.137)

unde si N reprezinta numarul de date implicate in calcul functiei de corelatie.

In multe situatii practice, folosind un singur set de date putem obtine mai multe modele identificate, prin metode diferite. In acest caz trebuie sa facem o validare comparativa, cu ajutorul indicatorilor si , calculati pentru fiecare model.

Testul de albire. Daca exista informatii asupra efectului de zgomot alb asupra iesirii procesului, in mecanismul de utilizare a algoritmului de identificare ales, trebuie sa facem un test de albire asupra erorii de predictie reziduale.

Utilizam un predictor dat de ecuatia (3.94). Daca cunoastem modelele de I/O ale procesului si modelul de perturbatie, eroarea de predictie este zgomot alb.

Albirea erorii de predictie implica:

a) obtinerea de estimari nedeviate ale parametrilor;

b) modelul identificat permite obtinerea predictorului optim pentru procesul in bucla inchisa;

c) decorelare intre eroarea de predictie si semnalul de excitare extern.

Calculam:

(3.138)

Criteriul de validare este dat de (3.137). Pentru validarea comparativa a mai multor modele, indicatorii de performanta pentru test raman si

6 Metode directe si indirecte de identificare in bucla inchisa

O alta abordare a problemei de identificare in bucla inchisa, a fost propusa de Paul Van den Hof si a generat categoria de metode directe si indirecte de identificare. Se considera sistemul in bucla inchisa, dat in fig.3.3.

Figura 3.3: Structura de identificare in bucla inchisa

Ecuatiile sistemului sunt:

(3.139)

Rezulta cu usurinta expresiile:

(3.140)

Folosind functia de sensibilitate:

(3.141)

ecuatiile pot fi scrise sub forma compacta:

(3.142)

Luand ca punct de plecare aceste ecuatii, avem doua metode de identificare in bucla inchisa:

a) Identificarea directa utilizeaza perechea de date (u,y) si identifica modelul ca si in cazul identificarii in bucla deschisa;

b) Identificarea indirecta, estimeaza modelul sistemului in bucla inchisa si apoi utilizeaza modelul cunoscut al regulatorului pentru calculul modelului procesului.

Pentru operatia de identificare in bucla inchisa, aceste metode dispun de informatii despre:

comanda u(t) si iesirea y(t);

resursele de caracterizare pentru semnalele

valorile marimilor masurate ;

structura regulatorului C (q^-1).

Obiectivul procedurii de identificare in bucla inchisa, este determinarea modelelor si

6.1 Tehnici directe de identificare

Metoda utilizeaza semnale masurate y(t), u(t) si identifica modelul procesului fara sa faca apel la informatiile asupra regulatorului. O estimare parametrica poate sa fie obtinuta prin minimizarea criteriului urmator:

(3.143)

sau:

(3.144)

Daca combinam relatiile de mai sus, deducem expresia:

Metoda directa calculeaza o estimatie consistenta daca,

si sunt indeplinite conditiile urmatoare:

a)    semnalele sunt suficient de persistente;

b)    C (q^-1) este un regulator de ordin suficient de mare;

c) C (q^-1) este un regulator care comuta intre anumite stari intre experimente (nelinear sau variabil in timp)

Identificarea directa poate sa furnizeze estimari corecte pentru identificarea exacta a modelelor de tip ARMAX.

6.2. Tehnici de identificare indirecte

Principala diferenta intre metodele indirecte si cele directe, prezentate mai sus, este data de faptul ca metodele indirecte utilizeaza un semnal exogen r₁(t), suficient de persistent pentru identificarea dinamicii procesului, avand in vedere ca principalul obstacol de identificare in bucla inchisa este ca u(t) si w(t) sunt marimi corelate.

Sistemul in bucla inchisa este prezentat in figura 3.4:

Figura 3.4: Sistemul in bucla inchisa utilizat pentru identificare indirecta

Identificam modelul de la intrarea r₁(t) si iesirea y(t):

(3.146)

sau:

(3.147)

Construim sistemul in bucla deschisa cu ecuatiile:

(3.148)

(3.149)

Folosind informatiile despre regulatorul C(q^-1), calculam:

(3.150)

In aceasta maniera, folosind un semnal aplicat intre regulator si proces, ajungem la o identificare de tip bucla deschisa, pentru ca intrarea si zgomotul sunt necorelate, asigurand estimarea ansamblului

Doua metode utilizeaza acest tip de identificare: metoda two-stages si metoda factorilor coprimi.

Algoritmul in doua etape (two-stage)

Sistemul regulator + proces este cel din figura 4.4, cu notatiile:

Ecuatiile sistemului, utilizate la aceasta abordare sunt:

(3.151)

Aceasta metoda are doua etape:

Prima etapa:

a) Se cauta o conexiune in structura sistemului inchis pentru care intrarea este necorelata cu zgomotul. Pentru aceasta, identificam ansamblul care asigura transferul de la r la u:

Se ajunge in acest fel la o problema de identificare in bucla deschisa, pentru care semnalul de proba este r(t) si iesirea chiar  semnalul de comanda u(t). Folosind una dintre metodele de identificare in bucla deschisa, estimam functia de transfer intermediara

b) Utilizam estimarea lui pentru calculul semnalului intermediar, semnal de tipul "zgomot alb":

A doua etapa:

Calculam modelul procesului prin identificarea transferului intre , folosind eroarea de predictie:

Estimarea este folosita numai pentru generarea semnalului si modelului procesului este determinat in a doua etapa. Modelul rezultat este obtinut prin:

(3.152)

Algoritmul in doua etape este utilizat cand marimile u si e sunt corelate, respectiv, cand C(q^-1) nu este cunoscut cu exactitate.

Algoritmul factorilor comprimi

Folosind schema din figura 4.4, unde sistemul este descris prin ecuatiile:

(3.153)

(3.154)

notam:

(3.155)

rezulta:

(3.156)

Factorizarea este comprima daca factorii sunt stabili, respectiv sistemul nu prezinta zerouri instabile.

pot sa fie estimate prin utilizarea metodelor de identificare in bucla deschisa cu apelarea marimilor si avem:

(3.157)

(3.158)

Obtinem in continuare,

(3.159)

Acest tip de identificare in bucla inchisa permite accesul la factorii procesului prin utilizarea semnalelor exogene si al transferului intre , respectiv . Identificarea acestor factori poate sa fie facuta cu ajutorul metodelor de identificare in bucla deschisa. Semnalul poate fi usor calculat daca se cunoaste regulatorul C(q^-1) ,cu relatia:

(3.160)

Cele mai performante dintre metodele prezentate pentru identificare in bucla deschisa si inchisa sunt implementate sub forma unor produse software dedicate sau integrate in alte produse standard, existente pe piata, de larga utilizare in teoria sistemelor.

Bibliografie:

[1] Eykhoff P., System Identification: Parameter and State Estimation, John Wiley, London, 1974.

[2] Goodwin G. C., Payene R. L., Dynamic System Identification: Experiment design and Data Analysis, Academic Press, New-York, 1977.

[3] Ljung L., Soderstroom T., Theory and Practice of Recursive Identification, MIT Press, Cambridge,Massashusetts, 1983.

[4] Soderstroom T., Stoica P., System Identification, Prentice Hall, New-York, 1989.

[5] Landau I. D., Identification et Commande des Systemes, Hermes, Paris, 1995.

[6] Van den Hof P., Identification in Closed Loop, Ecole d'Ete, Grenoble, 1998.

[7] Bitmead B., Identification for Control, Ecole d'Ete, Grenoble, 1998.