Execitiu - Teste asupra coeficientilor si variantei erorilor

Execitiu - Teste asupra coeficientilor si variantei erorilor

Despre o firma, se cunosc datele referitoare la vanzarile de marfa, y, exprimate in mii euro, pe o perioada de 14 luni, numarul de angajati (persoane), x₁, cheltuielile de intretinere a utilajelor, exprimate in euro, x₂, si cheltuielile de publicitate pentru promovarea produselor, exprimate in euro, x₃. Datele sunt prezentate in Tabelul 2.4:

Tabelul 2.4. Datele referitoare la un agent economic

Se cere:

a) Sunt semnificative variabilele exogene in explicarea variatiei variabilei endogene Sa se argumenteze si prin calculul intervalelor de incredere ale estimatorilor coeficientilor.

b) Coeficientul a₁ este semnificativ mai mic decat 1

c) Coeficientii a₁ si a₂ sunt semnificativi si simultan diferiti de 1, respectiv -0.5?

d) Care este intervalul de incredere pentru varianta erorii pentru un prag de semnificatie a

Solutie:

In Figurile 2.16, 2.17, si 2.18 sunt prezentate corelatiile dintre variabila dependenta, stabilita ca fiind vanzarile de marfa, influentata de celelalte variabile, considerate factori.

Figura 2.16. Legatura directa dintre valoarea vanzarilor si numarul de angajati

Figura 2.17. Legatura inversa dintre valoarea vanzarilor si cheltuielile cu utilajele

Se observa in cele trei grafice legaturile de natura directa ale vaorii vanzarilor cu numarul de angajati si cheltuielile de publicitate si de sens invers cu cheltuielile de intretinere a utilajelor. Cu cat sunt mai mari aceste cheltuieli de intretinere, cu atat se reduc vanzarile din cauza stagnarilor in productie pentru repararea utilajelor, cresterii costurilor de fabricatie si implicit a preturilor de vanzare a produselor, reducerii altor cheltuieli, cum ar fi cele de aprovizionare cu materii prime si materiale, salariile personalului angajat, etc.

Figura 2.18. Legatura directa dintre valoarea vanzarilor si cheltuielile de publicitate

In urma analizei de regresie, se asteapta un coeficient negativ pentru variabila explicativa a cheltuielilor de intretinere a utilajelor, x₂ si coeficienti pozitivi pentru celelalte doua variabile independente x₁ si x₃.

Tabela de regresie este prezentata in Tabelul 2.5:

Tabelul 2.5. Tabela de regresie a modelului cu trei variabile explicative

Modelul este , iar valorile teoretice, yt¹, se afla in Tabelul 2.4 si pe acelasi grafic care arata evolutia in timp a valorilor observate, in Figura 2.19.

Figura 2.19. Evolutia vanzarilor si ajustarea lor

a) Ratia Student pentru fiecare coeficient de regresie, calculata dupa formula , se compara cu valoarea teoretica Student pentru a=5% si 10 grade de libertate, .

, rezulta ca , variabila x₁ contribuie la explicarea variatiei variabilei y;

, rezulta ca , variabila x₂ contribuie la explicarea variatiei variabilei y;

, rezulta ca , variabila x₃ nu contribuie la explicarea variatiei variabilei y, si poate fi retrasa din model. Se poate vedea in tabele de regresie din Tabelul 2.5 ca P-value pentru estimatorul , indica un prag de semnificatie de 49%, care este mult prea mare.

Intervalul de incredere al coeficientului a_i se stabileste in functie de valoarea estimatorului, estimatia abaterii sale si valoarea teoretica Student pentru un prag de semnificatie ales, de obicei a=5%: .

Intervalele de incredere pentru cei trei estimatori ai coeficientilor variabilelor explicative sunt:

, semnul "+" indica legatura directa dintre y si x₁;

, semnul "-" indica legatura inversa dintre y si x₂ (Figura 2.17);

, se schimba semnul de la "-" la "+", poate lua valoarea 0, nu este semnificativ diferit de 0. Numai variabilele x₁ si x₂ sunt variabile exogene semnificative.

Pentru noul model cu doua variabile explicative, se obtine tabela de regresie prezentata in Tabelul 2.6. Valorile teoretice calculate cu acest model: se afa in Tabelul 2.4 si pe graficul din Figura 2.19.

Se poate observa ca acest model are coeficientii semnificativ diferiti de 0, dupa cum indica ratiile Student calculate, care sunt mai mari decat valoarea teoretica din tabela Student, valorile P-value, care sunt mai mici decat 5%, precum si intervalele de incredere ale coeficientilor, care nu schimba semnul de la limita inferioara la cea superioara, deci nu contin valoarea 0.

Intervalele de incredere sunt: , , .

Coeficientul de determinatie de 68.7% indica validitatea modelului liniar, iar coeficientul de corelatie multipla de 0.83 indica o corelatie puternica intre cele trei variabile y, x₁ si x₂.

Tabelul 2.6. Tabela de regresie a modelului cu doua variabile explicative

b) Intrebarile b), c) si d) ale exercitiului, se refera la modelul initial, cel cu trei variabile explicative, a carui tabela de regresie se afla in Tabelul 2.5.

Pentru a testa valoarea coeficientului a₁ daca este semnificativ diferita de 1, ipotezele testului sunt:

H₀: a₁=1

H₁: a₁<1

Testul este unilateral la stanga, iar valoarea teoretica Student pentru 10 grade de libertate si a=5%, este 1.81. Presupunand adevarata ipoteza nula, raportul critic sau ratia Student calculata, devine: . Se accepa ipoteza nula, coeficientul a₁ nu este semnificativ inferior valorii 1.

2.6.3. Analiza variantei - testul Fisher de semnificatie globala a regresiei

Tabelul de analiza a variantei, ANOVA este de forma celui din Tabelul 2.7:

Tabelul 2.7. Tabelul ANOVA la regresia multipla

Testul de semnificatie globala a regresiei se formuleaza astfel: exista cel putin o variabila explicativa semnificativa?

Ipotezele sunt:

H₀: a₁ = a₂ = = a_k = 0    (toti coeficientii sunt nuli, nici o variabila explicativa nu isi

aduce contributia la explicarea variabilei y; termenul constant a₀ nu prezinta interes, deoarece un model in care numai termenul constant este semnificativ, nu are sens economic.)

H₁: exista cel putin un coeficient nenul.

In cazul in care se accepta H₀ inseamna ca nu exista nici o relatie liniara semnificativa intre variabila y si variabilele x_i cu i=1,2, , k. Testarea ipotezei nule este echivalenta cu a testa daca varianta SSE este semnificativ diferita de 0.

In cazul exercitiului prezentat, tabelul de analiza variantei pentru modelul cu doua variabile explicative, dupa eliminarea variabilei nesemnificative x₃, este extras din Tabelul 2.6, in Tabelul 2.8:

Tabelul 2.8. Tabelul ANOVA pentru modelul cu doua variabile explicative

Ipoteza de normalitate a erorilor implica sub ipoteza H₀, ca statistica F* urmeaza o lege Fisher cu k si n-k-1 grade de libertate. se compara cu o valoare teoretica Fisher cu 2 si 11 grade de libertate, care pentru un prag de semnificatie a=5% este Cum se accepta ipoteza alternativa, H₁, deci regresia este global semnificativa, modelul este bine construit. Valoarea calculata F* corespunde unui prag de semnificatie de 0.16%, mult mai mic decat 5%.

Si regresia prezentata in Tabelul 2.5, cu trei variabile explicative, este global semnificativa pentru ca , iar valoarea calculata F*=7.87>3.71, pentru un prag de semnificatie de 0.54%.

Numai cand modelul are termen constant, F* se poate scrie in functie de coeficientul de determinatie R². Din relatia , se poate exprima , iar SSR se poate exprima in functie de coeficientul de nedeterminatie , .

Inlocuind in formula statisticii F*, valorile astfel exprimate SSE si SSR, se simplifica cu SST si ramane astfel: .

Pe langa testul global de semnificatie, se efectueaza testele de semnificatie individuala a coeficientilor pentru fiecare variabila explicativa din model.

Calitatea ajustarii se determina in functie de coeficientul de determinatie: . Daca inseamna varianta totala SST, este aproape in intregime explicata SSE, modelul este bine ales. Coeficientul de determinatie multipla: , arata intensitatea corelatiei simultane a variabilelor explicative asupra variabilei dependente y.