Algoritmi de tipul fft (fast fourier transform). calculul functiilor de convolutie si covarianta folosind fft.

Algoritmi de tipul FFT

(Fast Fourier transform).

calculul funcTiilor de convoluTie Si covarianTA folosind fft

1. OBIECTIVELE LUCRARII

Studiul transformatei Fourier folosind algoritmul FFT implementat cu pachetul de programe MATLAB. Calculul functiilor de convolutie si covarianta folosind FFT.

2. BREVIAR TEORETIC

2.1. Algoritmul FFT

Este esential, pentru inceput, sa fie subliniat faptul ca algoritmul FFT pentru calculul transformatei Fourier discrete a unei secvente este punctul nodal al procesarii semnalelor digitale. El este aplicat in filtrare, convolutie, calculul raspunsului la frecventa, ca si in aplicatii referitoare la estimarea spectrului de putere.

fft(x) este transformata Fourier discreta a vectorului x, calculata cu o transformata Fourier rapida. Daca X este o matrice, fft(X) este transfornmata Fourier rapida a fiecarei coloane a lui X.

fft(x,n) este transformata Fourier rapida in n puncte. Daca lungimea lui x este mai mica decat n, x este completat cu zerouri pana la lungimea

lui n. Daca lungimea lui x este mai mare decat n, secventa x este trunchiata. Cand X este matrice, lungimea coloanelor este ajustata in acelasi fel.

ifft(x) este transformata Fourier inversa a vectorului x.

Cele doua functii care urmeaza implementeaza perechea transformata Fourier - transformata Fourier inversa data:

X(k+1)= X(n+1)=,

unde ^{-j p n} si N=lungime(x)

Exemplu

FFT a unui vector coloana x, de forma

x=[4 3 7 -9 1 0 0 0

se gaseste cu

y=fft(x)

si da drept rezultat

y=6.0000

11.4853 -2.7574i

-2.0000 -12.0000i

(3.2)

2.2. Functii de convolutie si de corelatie

Exista o colectie de functii disponibile pentru convolutie, deconvolutie si pentru calculul estimarilor functiilor de corelatie, si anume:

conv - functii de convolutie

deconv - functii de deconvolutie

xcorr - functii de transcorelare

xcov - functii de transcovarianta

corrcoef - coeficienti de corelatie

cov - matrice de covarianta

2.2.1. Convolutie si deconvolutie

Propozitia

c=conv(a,b)

face convolutia vectorilor a si b.

Suma de convolutie este

(3.3)

unde N este lungimea secventei maxime.

Operatia

q,r =deconv(b,a)

face deconvolutia vectorului a din vectorul b. Rezultatul este intors in vectorul q si restul in vectorul r, astfel incat b=conv(q,a)+r

Daca a,b sunt vectori cu coeficienti polinomiali, convolutia este echivalenta cu multiplicarea celor doua polinoame, iar deconvolutia este o impartire polinomiala.

Fig. 3.1. Fereastra de prezentare in MATLAB a transformatei Fourier discreta

Fig.3.2. Fereastra de prezentare in MATLAB a transformatei Fourier continue

3. MODUL DE LUCRU. PROBLEME PROPUSE

Calculul FFT a vectorului coloana v = [9 8 12 -4 6 5 5 5].

fprintf('Transformata Fourier a vectorului:')

v=[9 8 12 -4 6 5 5 5]

fprintf('este :')

tfv=fft(v)

Calculul FFT a matricei A=[1 2 3, 4 5 6, 7 8 9],

fprintf('Transformata Fourier a matricei:')

a=[1 2 3 ; 4 5 6 ;7 8 9]

fprintf('este :')

tfa=fft(a)

Calculul FFT inversa a matricei B=[6 7 8 9, 4 5 6 8, 1 1 2 3, 4 7 6 7].

fprintf('Transformata Fourier inversa a matricei:')

b=[6 7 8  9 ;4 5 6 8 ;1 1 2 3 ;4 7 6 7]

fprintf('este :')

itfb=ifft(b)

Cu setul de date obtinut dintr-un cosinus esantionat cu 10 pasi pe perioada: y=cos(2πk/10), interpolati datele cu un pas dublu si verificati valorile obtinute.

Se interpoleaza datele cu o singura variabila utilizand metoda FFT (Fast Fourier Transform) cu ajutorul functiei interpft.

Considerand functiile x=5+6t, y=6t si z=5sin(t), se cere calculul coeficientilor de corelatie Rxy si Rxz, pentru domeniul t Є [0,5].

t

x=5+6*t;

y=6*t;

z=5*sin(t);

plot(t,x,t,y,t,z);

rxy=corrcoeff(x,y)

rxz=corrcoeff(x,z)

Cu functiile de la punctul precedent, dar cu t de forma

t=3w²+3cos(2w/3),

calculati coeficientii de corelatie Rxy si Rxz, pentru w Є [0,25].

Ce concluzii trageti in urma efectuarii punctelor de mai sus unde ati folosit functia corrcoef ?

Ce dependenta exista intre x si y, dar intre x si z? Justificati raspunsul.

Pentru matricile de la punctele de mai sus, sa se afle matricea de covarianta.

Indicatie : se va folosi functia cov.

Considerand A = [5 6 2 1] si B = [4 3 2 1] doi vectori care contin coeficientii a doua polinoame sa se faca convolutia si deconvolutia acestora.

Indicatie : se va folosi functiile conv si deconv.

Folosind functiile de transcorelare si de transcovarianta, (xcorr si respectiv xcov), cu un set de date ales arbitrar, sa se interpreteze rezultatele obtinute.