Alternativa Fredholm pentru ecuati de tip Fredholm

Alternativa Fredholm pentru ecuati de tip Fredholm

Vom considera din nou ecuatia (1). Deoarece operatorul (2) este compact pentru ecuatia (3) este adevarata alternativa Fredholm. Aceasta conduce la urmatorul rezultat privind ecuatia (1)

Teorema V.3.1. Sau ecuatia (1) are o solutie continua unica oricare ar fi functia continua sau ecuatia

are un numar infinit de solutii liniar independente In aceaste conditii ecuatia

are de asemenea n solutii continue liniar independente In acest caz ecuatia (1) are solutie daca si numai daca

Valorile pentru care ecuatia (10) admite solutii nenule se numesc valori caracteristice ale ecuatiei (1) sau ale nucleului Astfel spus valorile caracteristice ale ecuatiei (1) nu sunt altceva decat valori caracteristice ale operatorului U . Ca urmare pentru cea mai mica in modul valoare caracteristica a ecuatiei integrale este adevarata estimarea

Utilizand dependenta de a solutiei ecuatiei 3 pe baza teoremei III.5.2 obtinem urmatorul rezultat.

Teorema V.3.2. Intr-o vecinatate a unei valori caracteristice solutia ecuatiei (1) poate fi reprezentata sub forma

unde sunt functii ce depind numai de y. Seria din membrul drept converge uniform in raport cu

In acest mod este pentru orice valoare fixa a lui s o functie meromorfa decu poli in valorile caracteristice

Vom considera spatiul este un domeniu marginit in spatiul n dimensional si ecuatia integrala

Presupunem ca nucleul satisface conditiile

Atunci conform teoremei amintite mai sus, operatorul intergal U cu nucleul este un operator compact din si ca urmare a ecuatiei (11) I se aplica toate cele afirmate la relativ la ecuatia (1). In particular daca nucleul este de tip potential adica

unde este o functie marginita, continua pentru atunci conditiile enumerate mai sus sunt indeplinite.

Daca in plus este o functie continua si

atunci operatorul U aplica astfel ca in acest caz seriile de puteri care reprezinta solutia in vecinatatea valorilor caracteristice sau vecinatatea originii converg uniform.