Aplicatii liniare

Ce este o aplicatie liniara?

Fie V si W doua spatii vectoriale peste acelasi corp K. Aplicatia f: VW se numeste

aplicatie liniara sau morfism de K-spatii vectoriale daca sunt indeplinite conditiile:

f(x+y)=f(x)+f(y),

f(ax)=af(x),

Observatia 1 1) Avem ca f(0_V)=0_W si f(-x)=-f(x).

2. f este aplicatie liniara daca si numai daca f(ax+by)=af(x)+bf(y),

Observatia 2. Daca f: VW, este o aplicatie liniara si B₁=, B₂=sunt baze in spatiile vectoriale V, respectiv W, atunci exista o unica matrice A=(a_ij)_i,,j, unde n=dimV si m=dimW astfel incat f(e_i)=Daca elementul x x=, atunci elementul y=f(x)= are coordonatele y_i=Ultima relatie se mai poate scrie Y=AX. Matricea A se numeste matricea asociata aplicatiei liniare f in raport cu bazele B₁, B₂.

Test de autoevaluare 2.1.

1. Sa se verifice care dintre urmatoarele aplicatii sunt liniare:

a) f(x₁, x₂)=(x₁, x₁x₂);

b) f(x₁, x₂)=(2, x₁₊x₂);

c) f(x₁, x₂)=(2x₁₊4x₂, x₁-2x₂);

2. Aratati ca functia , f(x)= (2x₁₊4x₂-3x₃, x₁-2x₂₊x_3, 5x₁₊7x₂₊x₃) este aplicatie liniara si scrieti matricea asociata ei in baza canonica.

Raspunsul se va da in spatiul gol de mai sus. Raspunsul la test se gaseste la pagina xx.