Ecuatia unei drepte in plan

Ecuatia unei drepte in plan

Dreapta determinata de un punct si o directie

Printr-un punct M putem costrui o singura dreapta de directie data .Directia poate fi precizata cu ajutorul unui vector

Ne punem problema determinari ecuatiei dreptei d , data de un punct M (x₀, y₀ ) si vectorul (a b) ;  se numeste vectorul director al dreptei d

Fie A(x_A-, Y_A) si B(x_B, y_B) doua puncte intr-un sistem de axe ortogonale

y

y_B B

Y_A A

x_A x_B

O

Vectorul  are cooordonatele x_B- x_A (abscisa ) si y_B- y_A (ordonata )

Raportul =m este panta dreptei AB

Considerand vectorii (x,y) si (x',y').Afirmatia ,, este coliniar cu,, se traduce vectorian ,, k un numar real nenul astfel incat =k,, este ceea ce imseamna,din punct de vedere al coordonatelor,x=kx' si y=ky',adica proportionalitatea coordonatelor.

Retinem deci :(x,y) si (x',y') sunt coliniari ==k,x',y'0

Sau (x,y) si(x',y') sau coliniari xy'-x'y=0

Teorema ecuatia dreptei d determinata de punctul M(x_m,y_m) si de vectorul director (a b) este :y-y_M=(x-x_M)

Dreapta determinata de doua puncte

Fie A(x_A,y_A) si B(x_B,y_B)doua puncte ;ele determina in mod unic dreapta AB.A gasi ecuatia dreptei determinata de punctele A,B revine la a gasi ecuatia dreptei data de punctul A(x_A,y_A)si de vectorul director(x_B-x_A,y_B-y_A)

OBS. FieA(x_A-y_A),B(x_B,y_B) doua puncte;dreaptaABare ecuatia   

y-y_A=(x-x₁)

Sa observam ca panta dreptei AB este m=

Sa determinam ecuatia dreptei AB,A(-3,1),B(0,4)

Panta dreptei este m===1 si ecuatia este y-y_A=m(x-x_A) ;y-1=1*(x-(-3)) ;y-1=x+3,deci y=x+4

Y

B

y_B

A

y_A

0 x_A x_B X

Dreptele distincte de ecuatie y=mx+n si y=m'x+n' sunt paralele daca si numai daca m=m'.

Ecuatia dreptei determinata de doua puncte

Doua puncte distincte M₁(x₁,y₁),M₂(x₂,y₂)determina o dreapta unica d.

Daca x₁=x₂,atunci dreapta d este verticala si are ecuatia x=x₁.Daca y₁=y₂,atunci dreapta d este orizontala si are ecuatia y=y₁.Daca x₁x₂, atunci dreapta d este oblica.

Y

y=y₁

x=x₁

x

0 x

Ecuatia carteziana a dreptei oblice d este determinata de punctul M₁(x₁,y₁)de panta m=.Astfel,d :y-y₁=(x-x₁)

Daca (x₂-x₁)(y₂-y₁)0(adica dreapta nu este orizontala si nici verticala),atunci ecutia d se scrie eshivalent sub forma :

=

Conditia de coliniaritate a trei puncteM_i(x_i,y_i),i=1,2,3 se scrie :

x₁ y₁ 1

x₂ y₂ 1 =0

x₃ y₃ 1

EX.Se dau punctele A -,2 B(, ),c(1,5).Sa se gaseasca ecuatia dreptei AB si sa se verifice ca punctele A,B,C sunt coliniare.

Dreapta AB are ecuatiaadica =,adica=.Deoarece punctul C se afla pe dreapta AB ,adica punctele A,B,C sunt coliniare.

Ecuatia dreptei oblice determinata de un punct si de o panta

O dreapta oblica d este determinata printr-un punct M_O(x₀,y₀)Id si prin panta m (care da directia dreptei)Ce conditie trebuie sa verifice x si y pentru ca punctul M(x,y) sa fie situat pe dreapta d ?

OBS.Fie dreapta d definita prin punctul M₀(x₀,y₀)I d si prinh panta m.

Punctul M(x,y)apartine dreptei d si daca si numai daca y-y ₀=m(x-x₀).

Demonstratie :Evident,M₀(x₀-y₀)Id satisface relatia din teorema.De asemenea punctul M(x,y)M₀(x₀,y₀) apartine dreptei d daca si numai daca panta data este egala cu panta calculata(fig.I.13),adica m=,xx_0.

Afirmatia,,dreapta d este multimea punctelor M(x,y) cu proprietatea (x,y)IR² si y-y₀=m(x-x₀)''este prescurtata prin d :y-y₀=m(x-x₀)

Aceasta ecuatie edte de forma y=mx+n,undem este panta,iar n=y₀-mx₀.

Numarul real n se numeste ordonata la origine,deoarece dreapta d intersecteaza Oy in punctul(O,n)

In particular,ecuatia dreptei oblice care trece pri origine,x₀=0,y₀=0,si are panta m este y=mx.Pentru m=1 obtinem y=x care este ecuatia primei bisectoare a unghiurilor axelor de coordonate,iar pentru m=-1 gasim y=-x,care este ecuatia celei de a doua bisectoare a unghiurilor axelor de coordonate(fig.I.14)

y

y

y=x y=x

M(x,y)

x

M₀(x₀,y₀) 0

x

0 m=,xx₀

fig.I.13  fig.I.14

EX.Se da triunghiul de vf A(-1,3),B(2,-1),C(3,6).

Sa se gaseasca :1)ecuatia dreptei AC

2)ecuatia paralelei prin B la AC

3)ecuatia mediatoarei segmentului[BC]

1)Panta dreptei AC este m==.Aceasta panta si punctul A(-1,3) fixeaza ecuatia y-3=(x+1) sau,in forma carteziana explicita,y=x+

2)Orice paralela la AC are panta m=.De aceea paralela prin B la AC are ecuatia y+1=(x-2) sau explicit y=x-

3)Mijlocul M al segmentului BC are coordonatele .Panta dreptei BC este m_BC==7.Mediatoarea segmentului BC este dreapta perpendiculara pe BC ce trece prin mijlocul M.Astfel,mediatoarea are panta m=-=- si are ecuatia y-

Coordonate carteziene in plan

Fie un plan P si d o dreapta oarecare din planul P.Fie O,AId doua punte distincte si R multimea numerelor reale.Prin axioma riglei admitem ca exista o functie bijectiva f:d R,f(M)=x.Prin axioma riglei admitem ca exista o funtie bijectiva f:d R,f(M)=x,care indeplineste urmatoarele conditii:

1)f(O)=O,f(A)>0;

2)PQ= f(Q)-f(P) P,QId,

unde PQ este distanta dintre punctele P si Q.O asemenea functie se numeste sistem de coordonate pe dreapta d,iar dreapta d pe care s-a fixat un sistem de coordonate se numeste axa de coordonate.Punctul O se numeste originea sistemului de coordonate,iar sensul de la O la A pe axa se numeste sens pozitiv.Numarul real x se numeste adcisa sau coordonata punctului M in sistemul de cordonate considerat.

Prin traditie,in loc de f(M)=x se scrie M(x) si se citeste ,,punctul M de abcisa

(coordonata)x'' sau ,,M de x'',iar sensul pozitiv pae axa se marcheaza printr-o sageata.Axa de coordonate se deseneaza ca in fig I.1 si se noteaza cu Ox.Punctul I de abcisa se numeste punct unitate.

Fig.I.1

M'(-x) I'(-1) O(o) I(1) M(x) x

Fie (Ox,Oy) o pereche ordonata de axe ortogonale in planul P,cu originea O comuna si cu sensurile pozitive ale axelor indicate prin sageti ca in fig I.2.Acest ansamblu poarta numele de reper cartezian in planul P si se noteaza cu xOy.Punctul O se numeste originea reperului.

y

0 x

fig.I.2

Punctele unitate I pe Ox si J pe Oy(OI=OJ) impun scara desenelor.Evident,aceste puncte nu trebuie sa fie neaparat normalizate in desen.9fig.I.3)

Fie M un punct din planul P in care s-a fixat un reper cartezian xOy.Paralela prin M la axa Oy intalneste axa Ox in punctul P,iar paralela prn M la axa Ox intalneste axa Oy in punctul Q .Fie x coordonata lui P pe axa O x si y coordonata lui Q pe axa Oy.in acest fel punctului M(fig.I.3)I se ataseaza o pereche ordonata unica de numere reale(x,y).Functia f:P R²,f(M)=(x,y) este bijectiva si se numeste sistem de coordonate cartezian definit de reperul xOy pe planul P.Prin traditie,in loc de f(M)=(X,Y) se scrie M (x,y) si se citeste,,punctul M de abcisa x si ordonata y'' sau,,punctul M de coordonate carteziene x si y'' sau ,,M de x si y''.

y y

P(o,y)   M(x,y) y=y₀

y x=x₀

x x

x P(x,o) 0