Ecuatii de tip Fredholm

Ecuatii de tip Fredholm

Vom considera ecuatia integrala

in ipoteza ca nucleul este continuu in patratul Daca termenul integral este privit ca operator liniar in spatiul atunci ecuatia (1) este de tipul ecuatiilor studiate in paragrafele anterioare.

Am putea considera ecuatii integrale mai generale decat (1) si anume

unde T este o multime inchisa arbitrara in spatiul euclidian n dimensional (s,t semnifica in acest caz puncte in spatiul n dimensional )Dar tot ce va fi demonstrat pentru ecuatia (1) poate fi generalizat la ecuatia (1') fara nici o schimbare esentiala a demonstratiilor ; avand in vedere acest fapt vom considera cazul simplu reprezentat de (1)

Operatorul integral U

considerat ca operator din are norma

si este compact

Scriem ecuatia (1) sub forma

Solutia a acestei ecuatii, se exprima in functie de y prin formula

si conform teoremei III.3.1. poate fi dezvoltata in serie de puteri

convergenta pentru orice

unde

iar r este distanta de la punctul la multimea caracteristica a operatorului U . In acest caz seria (4) este convergenta pentru

Puterile operatorului U sunt de asemenea operatori integrali. Anume

unde sunt nuclee iterate

Inlocuind (5) in (4) obtinem dezvoltarea in serie dupa puterile parametrului a solutiei ecuatiei integrale (1)

Seria este uniforma convergenta in raport cu

Intrucat seria

. . (6)

converge in spatiul operatorilor din

Ca urmare pentru orice fixat , seria

(7)

converge in spatiul uniform in raport cu . Suma acestei serii, functia se numeste rezolventa ecuatiei integrale(1). Este limpede ca

si ca urmare a formulei (4) poate fi scrisa sub forma

Daca conform teoremei I.3.1. sirul de aproximatii succesive pentru ecuatia (3) converge ceea ce aplicat la ecuatia integrala (1) conduce la urmatorul rezultat : pentru valorile indicate ale lui solutia ecuatiei (1) poate fi obtinuta ca limita unui sir uniform convergent de functii continue definite prin formula de recurenta

unde este o functie continua arbitrara.