Fundamentele teoretice ale metodei elementelor finite

I.Tipuri de elemente finite

O chestiune de maxima importanta in analiza numerica cu metoda elementelor finite este alegerea celui mai potrivit tip de element finit si pentru aceasta trebuie analizate urmatoarele aspecte:

- forma elementului;

- numarul si tipul de noduri;

- tipul variabilelor nodale;

- tipul functiilor de interpolare.

I.1. Forma elementului finit determina urmatoarea clasificare:

→elemente unidimensionale - pot fi descrise de o singura variabila locala independenta si sunt precizate prin doua (cel mai adesea) sau mai multe noduri. Figura 1.1. prezinta astfel de elemente. Din aceasta categorie de elemente finite fac parte elementele TRUSS, BEAMS, PIPES, BELAS, din cadrul bibliotecii programului SAP-05, unul dintre cele mai cunoscute si folosite programe de analiza prin metoda elementelor finite din tara noastra, sau elementele TRUSS2D, TRUSS3D, BEAMS2D, BEAMS3D, PIPE, din cadrul bibliotecii de elemente finite a programului COSMOS/M.

Fig. 1.1.

→elemente bidimensionale - pot fi descrise prin doua variabile locale independente si au minimum trei noduri, numarul acestora putand ajunge in mod curent la opt; in figura 1..2 sunt prezentate astfel de elemente finite.

Pentru exemplificare, din cadrul aceluiasi program, SAP-05, pot fi amintite elementele PLANE, PLANR, PLANM, PL8ND, PLMBR, SOLAX, SHELL, PLANI, SELAS. Din biblioteca de elemente finite a programului COSMOS/M pot fi date ca exemplu elementele PLANE2D, TRIANG2D, SHELL3, SHELL4 s.a.

Fig. 1..2

→elemente tridimensionale - pot fi descrise prin trei variabile locale independente si au minimum patru noduri; frecvent aceste elemente sunt reprezentate prin 8, 16 sau 20 de noduri. Din programul SAP-05, se pot da ca exemplu, elementele THRED, THKSL sau BRK20, iar din cadrul programului COSMOS/M elementele TETRA sau SOLID (figura 1.3).

Fig.1.3.

I.2 Numarul si tipul nodurilor dau caracteristici functionale foarte importante elementului finit. Nodurile pot fi: exterioare sau interioare. Cele exterioare se gasesc pe frontiera (conturul) elementului si reprezinta punctele de conexiune intre elementele vecine. Aceste noduri sunt dispuse in colturile elementului sau in colturi si pe laturi, asa cum se poate observa in figurile 1.1.2 si 1.1.3; nodurile interioare sunt cele care nu se conecteaza cu elementele vecine. Un astfel de nod este 'O' din figura 1.4.

Fig. 1.4

I.3. Tipul variabilelor nodale (parametrilor asignati). Acestea pot fi exterioare sau interioare, dupa cum este si nodul respectiv; variabilele nodale sunt, de fapt, gradele de libertate (GDL: trei translatii si trei rotatii) ale nodului, care sunt luate in consideratie.

I.4 Tipul functiilor de interpolare determina fundamental un element finit in modul lui de comportare, ca parte a structurii cercetate. Functiile de interpolare sunt folosite pentru reprezentarea variabilelor nodale in cadrul elementului finit; ele se mai numesc si functii de forma sau functii de aproximare. Elementele care folosesc aceleasi functii de interpolare, atat pentru descrierea geometriei cu ajutorul coordonatelor x,y,z cat si pentru descrierea deformatiilor cu ajutorul componentelor u,v,w se numesc elemente izoparametrice. Majoritatea programelor de analiza prin metoda elementelor finite folosesc astfel de elemente.

Elementele izoparametrice au fost mentionate pentru prima data in literatura de specialitate in anul 1966, intr-o lucrare a lui Irons B.M. Sistematizarea lor si introducerea noilor concepte s-a facut de catre Zienkievicz, in 1969.

Cand geometria elementului finit este descrisa prin functii de ordin inferior, iar campul deplasarilor prin functii de ordin superior, elementul finit este numit subparametric .

Toate elementele subparametrice satisfac criteriile de convergenta, cat si de compatibilitate a deplasarilor de-a lungul liniilor de separatie intre elemente (functiile de aproximare ale deplasarilor contin si pe cele ale geometriei elementului). Cand geometria elementului finit este descrisa prin functii de ordin superior, iar campul deplasarilor prin functii de ordin inferior, elementul este numit superparametric.

Aceasta familie de elemente finite nu a fost validata in intregime . Functiile de interpolare nu pot fi alese arbitrar; ele trebuie sa satisfaca o serie de cerinte pentru a se asigura criteriul de convergenta, care este diferit, de regula, de la o problema la alta (de la un element la altul).

Aceste cerinte, care nu depind de calea de abordare pentru stabilirea ecuatiilor metodei elementului finit, sunt:

- continuitatea;

- conformitatea (compatibilitatea);

- complinirea;

- invarianta.

I.5 Proprietatile functiilor de interpolare

CONTINUITATEA. Functiile de modelare pentru deplasari trebuie sa fie continue, astfel incat sa asigure variatii line ale campului deplasarilor pe tot domeniul elementului finit, nepermitand salturi, goluri sau pante abrupte, nici in interior si nici pe contur.

Atunci cand  continuitatea este numai la interfata dintre elementele invecinate, se numeste continuitate de gradul zero, si se simbolizeaza

Daca pe langa aceasta cerinta si prima derivata a functiilor de interpolare asigura continuitatea, atunci avem de-a face cu continuitate de gradul unu, cu simbolizarea s.a.m.d. Pentru gradele de libertate translatii, este suficienta continuitatea de gradul zero (), asigurata de functiile Lagrange; pentru gradele de libertate rotatii, este necesara continuitatea de gradul unu (

Elementele finite, utilizate pentru calculul placilor incovoiate, necesita grade de libertate translatii si rotatii, deci reclama functii de interpolare de continuitate (); functia w(x,y) asigura continuitatea de-a lungul laturilor elementului; continuitatea functiilor () si () asigura continuitatea de-a lungul grosimii elementelor invecinate. Astfel de functii se numesc de tip Hermite sau functii osculatoare. Cand se invoca continuitatea de ordinul doi (), functiile de interpolare se numesc hiperosculatoare (necunoscutele nodale suplimentare sunt valorile derivatelor de ordinul doi).

Uneori, se folosesc ca functii de interpolare seriile Fourier sau functiile Spline.

CONFORMITATEA. Aceasta proprietate cere ca, in timpul deformarii elementele vecine sa ramana solidare de-a lungul frontierei comune. Atunci cand toate cerintele de compatibilitate sunt satisfacute de functiile de interpolare, elementele finite sunt conforme. In practica, se intalnesc cerinte care duc la folosirea elementelor incompatibile. Acestea trebuie folosite cu mare grija, necesitand experienta si chiar unele testari; de regula, se recurge la un artificiu in descrierea structurii, constand din folosirea pentru conexiunea elementelor bi- sau tri- dimensionale de acest tip, a unor elemente unidimensionale (de exemplu BEAMS), avand caracteristici care sa nu influenteze comportarea reala a structurii discretizate.

COMPLINIREA In practica au fost si sunt folosite cu succes elemente finite incompatibile, obtinandu-se rezultate care uneori sunt mai bune decat in cazul folosirii celor compatibile. Cu cat este mai mare numarul termenilor unei astfel de functii, cu atat convergenta este mai stransa.

O functie de interpolare satisface conditia de complinire daca contine moduri ale deplasarilor, care fac posibile comportamentele atat de corp rigid cat si starile de deformatii constante. O functie completa in acest sens difera de o functie completa in sens matematic. Daca functia de aproximare este incompatibila, dar 'completa', convergenta solutiei este obtinuta cu mult succes, in multe cazuri. Un mod de verificare a convergentei solutiei este folosirea unor retele mai fine, respectandu-se urmatoarele cerinte:

a) fiecare discretizare anterioara trebuie sa se regaseasca in cea noua;

b) fiecare punct al structurii trebuie sa se afle totdeauna in cadrul unui element finit;

c) functia de interpolare sa ramana aceeasi, cand se trece de la o retea (discretizare), la alta.

INVARIANTA. Aceasta cerinta face ca elementul finit sa aiba aceeasi stare de deformatie, oricare ar fi orientarea axelor de referinta locale, in raport de care aceasta stare este formulata.

Cerinta mai este cunoscuta si sub numele de izotropie geometrica sau spatiala sau invarianta geometrica. Pentru asigurarea acestei invariante, in functiile de interpolare se opteaza pentru termenul 'xy' in loc de '' sau '', ca al patrulea mod de deplasare, in cazul fuctiilor polinomiale. Termenul 'xy' nu favorizeaza configuratia deformatiilor pe nici una din cele doua directii: x sau y (observatia este valabila si in cazul coordonatelor locale).

Bibliografie:



1. Dumitru N., Margine A., Organe de Masini. Asamblari. Elemente elastice. Proiectare asistata de calculator. Editura Universitaria Craiova, 2002.

2. Pandrea ,N.,Rizea,V., Metoda elementelor finite. Concepte si aplicatii.

3. Pascariu,I., Elemente finite. Concepte si aplicatii. Editura Militara. Bucuresti. 1985.

4.M. Blumenfeld - Introducere in metoda elementelor finite, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1995

5.E. Cuteanu, R. Marinov - Metoda elementelor finite in proiecterea structurilor, Ed.  Facla, Timisoara, 1980

6.D. Garbea - Analiza cu elemente finite, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1990