Matrice, determinanti, rangul unei matrice

Ce este o matrice?

Cum se calculeaza determinantul unei matrice de ordin 3 sau 4.

Ce este rangul unei matrice?

Cum se calculeaza rangul unei matrice ?

Fie M = , N = multimea primelor m, respective n, numere naturale nenule. Vom numi matrice de tipul (m,n) o functie A : M N C. Daca notam A(i,j) = c, vom nota pe A sub forma

(1)

Adica printr-un tablou cu m linii si n coloane ce cuprinde valorile functiei A. Datorita notatiei (1), in loc de matrice de tipul (m,n) se mai spune matrice cu m linii si n coloane. Numerele se numesc elementele matricei A. De multe ori pentru matricea A se mai foloseste notatia prescurtata:

sau

Se observa ca o matrice de tipul (m,n) are mn elemente.

Cazuri particulare:

I). Daca n =1, o matrice de tipul (m,1) se numeste matrice coloana si este de forma

II). Daca m =1, o matrice de tipul (1,n) se numeste matrice - linie si este de forma

III). Daca m = n, o matrice de tipul (n,n) se numeste matrice patratica de ordinul n.

Daca

este o matrice patratica de ordinul n, sistemul ordonat de elemente se numeste diagonala principala a matricei A, iar sistemul ordonat de elemente se numeste diagonala secundara a matricei.

Matricea care se obtine din matricea A schimband in aceasta liniile cu coloanele se numeste transpusa matricei A si se noteaza A^t .

Exemple.

1)

2)

Adunerea matricelor se face pe componente iar inmultirea cu scalari se face inmultind fiecare element al matricei cu acel scalar.

Definitie. Numarul unde S este multimea tuturor permutarilor de gradul n si este signatura permutarii se numeste determinantul matricei A sau, mai simplu, determinantul de ordin n si se noteaza astfel:

Produsul se numeste termen al determinantului de ordin n.

Cazuri particulare.

. Fie A o matrice de ordin trei cu coeficienti reali, A=, determinantul matricei A, notat detA sau este un numar care se calculeaza astfel:

detA=a₁₁a₂₂a₃₃+ a₁₃a₂₁a₃₂+ a₁₂a₂₃a₃₁- a₁₃a₂₂a₃₁- a₂₁a₁₂a₃₃- a₁₁a₃₂a₂₃.

Daca matricea este de ordinul 4, atunci se dezvolta dupa o linie sau o coloana (de obicei prima linie)

in 4 determinanti de ordin 3. Fie A=,

det A=

Proprietati.

Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricei transpuse.

Daca toate elementele unei linii (coloane) sunt nule, atunci determinantul matricei este nul.

Daca intr-o matrice schimbam doua linii (coloane) intre ele, obtinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei initiale.

Daca o matrice are doua linii (coloane) identice, atunci determinantul sau este nul. 

Daca toate elementele unei linii (coloane) ale unei matrice A sunt inmultite cu un element a obtinem o matrice al carui determinant este egal cu a inmultit cu determinantul matricei initiale.

Daca elementele a doua linii (coloane) ale unei matrice sunt proportionale, atunci determinantul matricei este nul.

RANGUL UNEI MATRICE

Sa consideram o matrice A cu m linii si n coloane cu elemente numere complexe,

M(C),

iar k un numar natural, astfel incat ( prin min(m,n) intelegem cel mai mic dintre numerele m si n).

Daca in A alegem k linii: si k coloane: , elementele care se gasesc la intersectia acestor linii si coloane formeaza o matrice patratica de ordin k:

M C),

al carei determinant se numeste minor de ordin k al matricei A.

Sa consideram o matrice cu m linii si n coloane. Cum matricea A are elemente nenule, exista minori nenuli de un anumit ordin Dar multimea minorilor matricei A fiind finita este evident ca exista un numar natural astfel incat sa avem cel putin un minor de ordin r nenul, iar toti minorii de ordin mai mare decat r ( daca exista) sa fie nuli.

Definitie. Fie AM(c) o matrice nenula. Spunem ca matricea A are rangul r, si scriem rangA=r, daca A are un minor nenul de ordin r, iar toti minorii lui A de ordin mai mare decat r ( daca exista) sunt nuli.

Daca A este matricea nula, convenim sa spunem ca matricea are rangul 0, adica rang(

Pentru calculul rangului unei matrice este utila teorema urmatoare.

Teorema. Fie , o matrice. Numarul natural r este rangul matricei A daca si numai daca exista un minor de ordin r al lui A, nenul, iar toti minorii de ordinul r+1

(daca exista) sunt nuli.

Aplicatie.

Sa se calculeze rangul matricei

Rezolvare.

Exista minori de ordinul al doilea nenuli, ca de exemplu:

Calculam minorii de ordinul al treilea ai matricei A si gasim ca toti sunt nuli:

. Deci rangul matricei rang A=2.