Inegalitati - idei si metode

Cartea prezinta metodele de baza  pentru demonstrarea inegalitatilor:

1. Reducerea
2. Substituirea
3. Exploatarea trinomului de gradul doi
4. Spargerea
5. Folosirea simetriei
6. Normarea
7. Intercalarea
8. Exploatarea ordinii (inegalitati Cebisev)
9. Deconditionarea
10. Apelul la identitati
11. Reducerea la absurd
12. Coborarea
13. Inductia
14. Metoda Sturm
15. Limitele
16. Exploatarea monotoniei
17. Exploatarea convexitatii
18. Cvasi-liniarizarea
19. Demonstrarea inegalitatilor integrale

Voi prezenta in continuare cateva paragrafe ale cartii care mi s-au parut mai interesante, desi alegerea a fost foarte greu de facut.

Capitolul 3. Exploatarea trinomului de gradul al doilea

Principiul trinomului

Demonstratie a inegalitatii CBS

In cazul in care pentru macar un avem , consideram functia de gradul doi cu coeficientul dominant pozitiv

Inegalitatea CBS este echivalenta cu . Pentru demonstrarea ei e suficient sa dovedim ca pentru orice . Observam ca

.

Pentru a avea egalitate in CBS, deci pentru a avea , este obligatoriu sa existe un pentru care , aceasta insemnand ca sistemul

,

cu singura necunoscuta x, are solutie, adica n-uplele si sunt proportionale.

3.5. Apelul la valoarea de extrem

Pentru demonstrarea unor inegalitati putem apela la extremul functiei de grad doi.

Daca avem

inegalitate verificata cu egal pentru .

Fie inegalitatea

,

punem .

Cum , inegalitatea (*) devine

Revenim la inegalitatea CBS

Punem

,

unde , , .

Cum A>0 inegalitatea (*) devine

Obtinem astfel

(**)

Inegalitate care se poate folosi pentru a demonstra inegalitatea CBS prin inductie.

Capitolul 7. Intercalarea

7.7. Trucul CBS

Pentru inegalitati de genul

(*) , unde ,

putem incerca o intercalare care foloseste un mic "truc" care consta in esenta in inmultirea inegalitatii date cu o suma de termeni pozitivi astfel incat expresia din membrul stang sa fie antrenata intr-o inegalitate CBS.

Pentru avem, conform CBS,

Acum este suficient sa fie adevarata inegalitatea:

pentru ca si inegalitatea (*) sa fie adevarata. Deci ( ?) T (*) ceea ce inseamna ca e posibil  ca inegalitatea (*) sa fie adevarata fara ca inegalitatea ( ?) sa fie adevarata. In aceasta consta si slabiciunea acestei metode. Avantajul ei consta in faptul ca inegalitatea ( ?) ne scapa de numitorii din (*) si cu o buna alegere a numerelor si de radicalii din ( ?). Morala este ca aceasta schema de intercalare merita incercata pentru inegalitati ce folosesc numitori incomozi.

Exemple:

1.    2. , a,b,c>0

Capitolul 13. Inductia

13.4 Inductia Cauchy

Principiul de inductie Cauchy

Fie P(n) un predicat peste N.

Daca    P(2) este adevarata,

pentru orice si

pentru orice

atunci   P(n) este adevarata pentru orice .

Avantajul inductiei Cauchy in comparatie cu inductia standard consta in faptul ca adesea in cazul unei inegalitati se poate trece mai usor de la cazul n la cazul 2n decat la cazul n+1. Apoi "coborarea" de la cazul n la cazul n-1 ar trebui sa s efaca relativ usor, prin particularizare.

Pentru a demonstra inegalitatea mediilor

,

prin inductie Cauchy, consideram predicatul

P(n): "pentru orice

,

inegalitate verificata cu egal daca si numai daca ."

P(2) este adevarata deoarece pentru orice avem

.

Pentru avem

Exemple

1. Inegalitatea lui Huygens

,

2. 

Capitolul 8. Exploatarea ordinii

8.1. Doua teoreme de maximizare

Teorema A. Fie si n-uple de numere reale,

Daca x si y sunt la fel ordonate, atunci, dintre toate sumele , cea maxima corespunde permutarii identice, adica:

In cazul in care x si y sunt invers ordonate, atunci, din toate sumele cea minima corespunde permutarii identice, adica

Folosind Teorema A autorul da o foarte frumoasa demonstratie ("o perla") pentru inegalitatea mediilor

Notam

si sunt strict invers ordonate si atunci, din teorema A avem:

Inegalitarea se verifica cu egal daca si numai daca

profesor Nicolae Stipeanu