QReferate - referate pentru educatia ta.
Cercetarile noastre - sursa ta de inspiratie! Te ajutam gratuit, documente cu imagini si grafice. Fiecare document sau comentariu il poti downloada rapid si il poti folosi pentru temele tale de acasa.



AdministratieAlimentatieArta culturaAsistenta socialaAstronomie
BiologieChimieComunicareConstructiiCosmetica
DesenDiverseDreptEconomieEngleza
FilozofieFizicaFrancezaGeografieGermana
InformaticaIstorieLatinaManagementMarketing
MatematicaMecanicaMedicinaPedagogiePsihologie
RomanaStiinte politiceTransporturiTurism
Esti aici: Qreferat » Documente matematica

Procedeul Gram-Schmidt



Procedeul Gram-Schmidt

Procedeul Gramm-Scmidt de determinare a unei baze ortornomate


Pornind de la baza B= vom construi mai intai o baza formata din elemente ortogonale pe care mai apoi le normam.


Pasul 1. Se ia w1 = v1.

Pasul 2. Se considera w2 = v2 + w1. Vectorul w2 este nenul deoarece v1 si v2 sunt liniar independenti. Vom determina scalarul astfel incat w2 si w1 sa fie ortogonali si atunci multimea este liniar independenta.

0=<w2,w1> = <v2 +w1, w1>=<v2, w1>+<w1, w1>.

Deci = - <v2,w1> / <w1, w1>, avem ca w2 = v2 - (<v2, w1> / <w1, w1>) w1 si folosindu-ne de definitiile anterioare avem ca w2 se obtine scazand din v2 proiectia lui v2 pe w1.

Pasul 3. Consideram w3 = v3+1w1+w2, care este nenul pentru ca sunt liniar independenti, iar scalarii , , se determina astfel incat w3 sa fie ortogonal cu w1 si w2.

0=<w3, w1> = <v3, w1> +<w1, w1> + <w2, w1>. Cum <w2, w1> = 0 rezulta ca = - <v3, w1> / <w1, w1 >.

0=<w3, w2>=<v3, w2> + <w1, w2 > + <w2 , w2>.

Cum <w2, w1> = 0 rezulta = - (<v3, w2> / <w2, w2>).

Deci avem ca:

w3=v3 - (<v3, w1> / <w1, w1> ) w1 - (<v3, w2> / <w2, w2>) w2 adica w3 se obtine sca zand din v3 proiectiile lui v3 pe w1 si pe w2.

Deoarece w1, w2, w3 sunt ortogonali doi cate doi, avem ca multimea este liniar independenta.

Pasul j. Presupunem ca am determinat vectorii w1, w2,,w(j-1). Vom determina vectorul wj de forma: wj = vj + w1 + w2 + + w,

unde scalarii , , ,se determina



astfel incat wj sa fie ortogonal cu w1, w2,,wj-1.

Deci, din conditiile <wj, wi>= 0, pentru orice i, rezulta

i= -(<vj, wi> / <wi, wi>, pentru orice i. Atunci rezulta ca: wj = vj-[(<vj, w1> )/(<w1 , w1>)]w1- (<vj, w2>/<w2, w2>)w2- - (<vj, w(j-1)>/ <w(j-1), w(j-1)>)w(j-1).

Dupa n pasi, repetand procedeul anterior, obtinem n vectori ortogonali, deci liniar independenti, deci o baza formata din vectori ortogonali. Pentru a gasi baza ortonormata vom considera vectorii: ei= wi / ||wi||, i.

Procedeul descris se numeste procedeul de ortogonalizare GRAM-SCHMIDT.


Exemplu. Folosind procedeul Gram-Schmidt sa se gaseasca o baza ortonormata in R3 pornind de la baza B=, v1 = (1,1,1), v2 = (1,2,3,), v3 =(1,0,2).

Pasul 1. w1 = v1 = (1,1,1).

Pasul 2. w2 = v2 + w1.

0 = <w2, w1 > = <v2 + w1, w1> = <v2, w1 > + <w1, w1 >.

Dar <v2 , w1> =1x 1+1x 2+1x 3=1+2+3=6 si <w1, w1 > = 1+1+1= 3, deci = -6/3 =-2.

Avem w2 = (1,2,3) + (-2,-2,-2) = (-1,0,1) deci w2 = (-1,0,1).

Pasul 3. w3 = v3 + 1w1 + 2 w2 , 0 = <w3 , w3> = <v3 , w2> +1<w1, w2 > +

+2 <w2, w2>. Dar <w1, w2 > = 0 si <w2, w2 > = (-1)2 +02 +12 = 2, <v3, w2 > = 1x (-1)+

0x 0+2x1=1, de    unde rezulta:

2=1 / 2.

0 = <w3, w1 > = < v3 , w1 > + 1 < w1, w2 > + 2<w2, w1 >.

Dar <w2, w1 > = 0 si <v3 , w1 > = 1x 1 + 0x 1 + 2 x 1=3, deci 1 = -1.

Atunci: w3 = (1,0,2) - (1,1,1) - (-1,0,1) = (, -1, ) .

Deci avem baza ortogonala este baza ortonormata cautata.







Nu se poate descarca referatul
Acest document nu se poate descarca

E posibil sa te intereseze alte documente despre:

Copyright © 2025 - Toate drepturile rezervate QReferat.com Folositi documentele afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul document pe baza informatiilor de pe site.
{ Home } { Contact } { Termeni si conditii }