Intersectia suprafetelor curbe

INTERSECTIA SUPRAFETELOR CURBE

Generalitati

Se stie ca doua suprafete si se intersecteaza, daca ele au puncte comune (fig.1). Totalitatea punctelor (1₁ ,2, ,i) ce apartin ambelor suprafete formeaza linia l de intersectie a suprafetelor:

Aceasta linie poate fi plana sau spatiala. Ea poate fi de asemenea curba sau poligonala (in cazul cind se intersecteaza poliedrele). Ordinul liniei de intersectie este egal cu produsul ordinelor suprafetelor. Constructia liniei de intersectie pe desene se bazeaza pe proprietatea, ca punctele comune ale suprafetelor pot fi la intersectia liniilor, care apartin acestor suprafete, in scopul evidentierii acestor linii la construirea liniei de intersectie se folosesc suprafete secante auxiliare.

Drept suprafete auxiliare pot fi utilizate suprafetele plane ori sferice. Din aceste considerente la construirea liniei de intersectie a suprafetelor se diferentiaza metoda planelor auxiliare si metoda sferelor auxiliare.

Metoda planelor secante paralele

Esenta acestei metode consta in aceea ca suprafetele date si sunt intersectate de suprafete plane auxiliare care se aleg in asa fel incit ele sa intersecteze suprafetele initiale si in linii drepte sau cercuri si la intersectia carora se obtin punctele 1 si 2 care apartin liniei de intersectie l a suprafetelor (fig.2).

Asadar, algoritmul de baza al gasirii punctelor comune ale suprafetelor intersectate poate fi scris in felul urmator:

Procedura intersectiei suprafetelor se repeta de atitea ori de cite este necesar pentru a obtine o linie cit mai exacta.

Daca linia de intersectie a suprafetelor date se construieste cu ajutorul suprafetelor plane, care sunt paralele cu unul dintre planele de proiectie, aceasta metoda se numeste metoda

planelor auxiliare secante paralele. Ea se utilizeaza in cazurile cind planele auxiliare intersecteaza suprafetele date in linii drepte sau circum­ferinte.

Sa exemplificam utilizarea acestei metode in dubla proiectie ortogonala la intersectia unei suprafete conice cu o suprafata sferica (fig.3).

Punctele comune ale suprafetelor se determina utilizind drept plane auxiliare ∑' ^Iv care sectioneaza suprafata conica dupa circumferintele m', m', m¹', m ^Iv si suprafata sferica - dupa circumferintele t', t', t¹', t ^Iv

Intersectia acestor circumferinte determina punctele comune 3, 4, 5, 6 si 3',4',5',6'. Punctele de baza 1 si 2 se gasesc la intersectia liniilor de contur t₂⁰ si S₂A₂ ale suprafetelor. Punctele 3 si 3', in care ecuatorul sferei intersecteaza conul, se obtin cu ajutorul planului ||Π₁ care se traseaza prin centrul O₂ al sferei. Aceste doua puncte situate pe ecuatorul t' in proiectia orizontala impart linia de intersectie a suprafetelor in doua parti: vizibila (3₁-4₁-1₁-4 ₁-3 ₁) si invizibila (3₁-6₁,-2₁-6'₁-3 ₁). Din cauza simetriei fata de planul de front pe suprafata frontala doua ramuri ale liniei de intersectie coincid.

3. Metoda sferelor concentrice

Utilizarea suprafetelor concentrice drept suprafete auxiliare pentru determinarea curbelor de intersectie a doua suprafete de rotatie are la baza urmatoarea proprietate: o suprafata sferica cu centrul in O situat pe axa i a unei suprafete de rotatie se intersecteaza cu aceasta in circumferinte (m, m'), care in una din proiectii apar complet deformate (fig. 4).

Suprafetele auxiliare sferice concentrice sunt utilizate in cazul intersectiei suprafetelor de rotatie cu axe concurente si paralele cu unul dintre planele de proiectie. Se observa totodata ca punctul de intersectie al axelor suprafetelor date este centrul sferelor auxiliare. Raza minima a sferelor auxiliare este egala cu lungimea maxima a segmentelor de normale trasate din punctul de intersectie al axelor O pe suprafetele date. Raza maxima este egala cu distanta dintre punctul O si cel mai indepartat punct al liniei de intersectie.

Sa exemplificam cele expuse mai sus printr-o problema concreta. Fie date doua suprafete cilindrice si de rotatie cu axele concurente si paralele cu planul frontal de proiectie (fig. 5). Se cere sa se construiasca linia de intersectie a acestor suprafete, utilizind metoda sferelor concentrice.

Constructia grafica a proiectiei liniei de intersectie se face in felul urmator: se determina

Centrul sferelor concentrice: . Se gaseste raza celei mai mici sfere In suprafetele date se inscrie prima sfera cu raza Se construiesc cercurile de intersectie ale suprafetelor date cu sfera auxiliara:

Se gasesc punctele de intersectie ale cercurilor, care apartin celor doua suprafete cilindrice si suprafetei sferice:

Se repeta procedura inscrierii altei suprafete sferice cu R>R_min si se construiesc cercurile de intersectie ale suprafetelor:

Se gasesc inca doua puncte de intersectie ale cercurilor 4 si 4':

 

In mod analog se construiesc si punctele 5₂ , 5' . Punctele de baza 1₂,2₂, l'₂, 2'₂ se afla la intersectia liniilor de contur ale suprafetelor date. Proiectia frontala a liniei de intersectie a suprafetelor se obtine prin unirea punctelor:

si

4. Metoda sferelor excentrice

Utilizarea acestei metode se bazeaza pe urmatoarea proprietate: o sfera poate sa intersecteze un tor dupa circumferinte (generatoarele m', m'), daca centrul sferei O se gaseste in planul de simetrie ∑° al suprafetei (fig. 6).

Segmentele (1₂,2₂), (1 ' ) cu centrele in N₂, N' reprezinta diametrele acestor cercuri. Centrul sferei O₂ se gaseste la intersectia perpendicularelor N₂O₂ si N'₂O₂ ridicate din centrele N₂ si N' Planele cercurilor m' si m' se gasesc in planele proiectante ∑'┴Π₂ si ∑'' Π₂ trasate prin axa de rotatie i⁰(i₁⁰,i₂⁰) a torului.

Sa examinam utilizarea acestei proprietati a sferei la construirea proiectiilor liniei de intersectie a suprafetelor.

Fie date torul si suprafata cilindrica axele arora se gasesc intr-un plan de front (fig. 7). Se cere sa se construiasca linia de intersectie a suprafetelor:

Punctele comune ale suprafetelor pot fi gasite in felul urmator: stiind, ca axele i' si i ale suprafetelor se afla intr-un plan de front, se gasesc punctele de baza 1₂ si 2₂ ca rezultat al intersectiei liniilor de contur ale suprafetelor. Prin axa i₂⁰ se traseaza un plan auxiliar ∑ la intersectia caruia cu suprafata torica obtinem cercul m₂' cu diametrul A₂'B'

Din centrul N'₂ al cercului se coboara o perpendiculara pe planul cercului pina la intersectia ei cu axa de rotatie i a cilindrului (se obtine centrul O'₂ ).

Din   centrul O'₂, se construieste suprafata sferica cu raza Intersectia sferei cu torul formeaza cercul m'₂= La intersectia sferei cu cilindrul obtinem cercul Intersectia cercurilor si formeaza punctul 3₂ care apartine atit proiectiei torului cit si a cilindrului, deci apartine liniei de intersectie. Procedura construirii sferelor auxiliare secante se repeta de atitea ori, de cite este necesar pentru a obtine o linie cit mai exacta.

De exemplu, pentru construirea punctlui 4₂ se traseaza prin i₂⁰ planul ∑ care intersecteaza torul in cercul m'. Proiectia centrului celei de-a doua sfere auxiliare se va afla la intersectia perpendicularei N'₂Q'₂ cu axa cilindrului

i₂⁰:

Din centrul O' se construieste sfera auxiliara cu raza :

Aceasta sfera va intersecta suprafetele date in cercurile si

La intersectia acestor cercuri se afla punctul 4 care apartine ambelor suprafete:

In mod analog se construieste si punctul 5₂, folosindu-se planul secant auxiliar ∑'''_┴

Linia de intersectie a suprafetelor date va trece prin punctele obtinute:

5 Cazuri particulare de intersectie a suprafetelor de ordinul doi

Intrucit suprafetele de ordinul doi sunt algebrice, linia de intersectie este o curba algebrica (in caz general - o linie spatiala). Aceasta curba este de ordinul patru, fiindca ordinul liniei de intersectie este egal cu produsul ordinelor suprafetelor, in practica construirii desenelor industriale se imilnesc cazuri cind linia de intersectie a suprafetelor de ordinul doi se descompune in citeva linii de ordine inferioare.

O importanta deosebita are descompunerea liniei de intersectie de ordinul patru in doua curbe plane de ordinul doi. In continuare sunt prezentate unele cazuri mai des intilnite in practica.

l. Daca doua suprafete de ordinul doi se intersecteaza dupa o curba plana de ordinul doi, atunci ele se intersecteaza inca dupa o curba tot de ordinul doi.

Justetea legii reiese din conditia ca suma ordinelor liniilor, in care se descompune linia de intersectie, este egala cu ordinul acestei linii, in cazul dat linia de intersectie este de ordinul patru. Daca o parte din aceasta linie este o curba de ordinul doi, inseamna ca a doua parte trebuie sa fie de asemenea de ordinul doi. De exemplu, daca o suprafata cilindrica de ordinul doi intersecteaza o suprafata sferica dupa un cerc m atunci ea se intersecteaza cu sfera inca dupa un cerc m' (vezi fig. 4-7).

Daca doua suprafete si de ordinul doi au contact in doua puncte (1,2), atunci linia lor de intersectie se descompune in doua curbe plane de ordinul doi, planele carora trec prin dreapta care uneste punctele de contact (fig. 8).

Fie dati - doi cilindri cu diametre egale, unde 1,2 sunt puncte de contact ale cilindrilor, in acest caz se obtin doua linii de intersectie: si Liniile m,m' reprezinta doua curbe de ordinul doi (elipse).

Daca doua suprafete si (fig. 9) de ordinul doi sunt circumscrise unei suprafete de ordinul doi atunci ele se intersecteaza dupa curbe plane (t,n) de ordinul doi. Planele acestor curbe trec prin dreapta (1,2), care uneste punctele de intersectie ale liniilor de contact.

Intrebari de control

Ce se numeste linie de intersectie a suprafetelor?

Prin ce metode se efectueaza constructia liniei de intersectie a suprafetelor?

In ce consta esenta metodei planelor secante paralele?

In ce consta esenta metodei sferelor concentrice?

Ce proprietate a sferei este pusa la baza utilizarii sferei ca suprafata auxiliara pentru constructia liniilor de intersectie?

In ce cazuri se utilizeaza metoda planelor auxiliare?

In ce cazuri se utilizeaza metoda sferelor concentrice?

Cum se determina ordinul liniei de intersectie a suprafetelor?

Care sunt cazurile particulare de intersectie a suprafetelor de ordinul doi?