Indicatori ai tendintei centrale

INDICATORI AI TENDINTEI CENTRALE

Indicatorii tendintei centrale sunt indicatori sintetici cu ajutorul carora se exprima intr-o singura masura ceea ce este tipic, esential, stabil, obiectiv si caracteristic intr-o serie de date numerice.

Un indicator al tendintei centrale trebuie sa indeplineasca urmatoarele conditii:

sa fie definit in mod precis si obiectiv, eliminand aprecierea subiectiva a cercetatorului;

sa fie expresia tuturor observatiilor facute;

sa nu aiba caracter matematic prea abstract si sa posede proprietati simple si evidente;

sa poata fi calculat cu usurinta;

sa fie cat mai putin afectat de fluctuatiile de selectie (la extragerea mai multor esantioane dintr-o colectivitate generala, mediile sa nu fie sensibil diferite).

Indicatorii fundamentali ai tendintei centrale sunt: media aritmetica, modul si mediana.

1.1. Media aritmetica ()

Consideram ca termenul de medie este cel mai usor de inteles din intreaga statistica.

Au fost nenumarate situatiile in care am intalnit media: media la chimie sa vedem daca am promovat anul sau avem restante, media de la scoala generala care ne ridica sau ne coboara sansele de admitere la liceu sau media cheltuielilor zilnice care ne ajuta sa ne planificam mai bine bugetul.

Astfel la intrebarea "Ce este media aritmetica?" putem spune ca este indicatorul care se utilizeaza cel mai frecvent pentru caracterizarea tendintei centrale.

Media reprezinta valoarea care inlocuind toti termenii unei serii nu modifica nivelul totalizator si se calculeaza ca suma valorilor unei variabile raportata la numarul masuratorilor. Aceasta este media aritmetica (C. Opariuc-Dan, 2009), deoarece in statistica mai discutam si de media geometrica, media caracteristicilor alternative, media patratica, media rangurilor etc. Aceste concepte le intalnim insa mai rar in domeniul stiintelor socio-umane si prin urmare nu vom face decat sa le amintim.

(1) - pentru serie simpla

Exemplu: Varsta a 7 studenti de la facultatea de psihologie este de 25, 26, 32, 33, 40, 22, 26, 24. Varsta medie este :

In cazul in care datele au fost sistematizate intr-o serie de distributie de frecvente in care valorile/centrele intervalelor de variatie apar cu frecventele n_i, atunci media aritmetica, numita si medie aritmetica ponderata este:

(2) - pentru o serie cu distributie de frecvente.

Exemplu : Salariile date angajatilor (mil. lei) de catre 40 de firme in anul 2005 a avut urmatoarea distributie:

Sa se calculeze media.

Raspuns : Fiind o serie cu distributie de frecvente vom aplica urmatoarea formula:

unde:

X_i = centrul de interval

N_i =frecventa absoluta

Observam ca in formula avem si necunoscute, adica X_i (centrul de interval) si va trebui sa-l calculam.

X_i =

X_i =

X_i =

X_i =

Avand toate datele problemei, putem inlocui in formula, astfel :

→ Salariul mediu oferit este de 55 mil lei.

Nota: Pentru o serie de distributie de frecvente, media calculata pe baza frecventelor relative este egala cu media aritmetica determinata pe baza frecventelor absolute.

1.2. Modul (M₀ )

Modul este categoria cu frecventa cea mai mare, el reprezinta valoarea cel mai des intalnita intr-o serie statistica sau cea care are cea mai mare frecventa de aparitie. Modul se mai numeste si dominanta seriei sau valoarea modala.

Grafic, intr-o histograma ori poligon al frecventelor el reprezinta valoarea de pe abscisa corespunzatoare varfului reprezentarii.

In cazul datelor cantitative, in determinarea modului se tine cont de felul in care

acestea au fost sistematizate.

Pentru o serie statistica simpla de forma valoarea modala, M₀ = 32.

Pentru o serie de distributie de frecvente alcatuita dupa o variabila cantitativa discreta, determinarea modului se face prin identificarea valorii careia ii corespunde frecventa maxima.

In cazul seriilor de distributie de frecvente pe intervale de variatie, determinarea modului presupune mai intai identificarea intervalului cu frecventa maxima:

unde:

reprezinta limita inferioara a intervalului modal;

reprezinta marimea intervalului modal;

d₁ = diferenta dintre frecventa intervalului modal si a celui precedent;

d₁= ;

d₂ = diferenta din frecventa intervalului modal si a celui urmator;

d₂ =;

Daca d₁ = d₂ atunci modul va fi egal cu centrul intervalului modal.

O serie de date statistice poate sa aiba una sau mai multe valori modale. O distributie cu un singur mod se numeste unimodala, daca are doua valori dominante se numeste bimodala, iar daca are mai mult de doua moduri se numeste multimodala.

Exemplu : Salariile date angajatilor de catre 70 de firme in anul 2005 a avut urmatoarea distributie:

M₀ =

Int_mod = 50-60 (intervalul a carui frecventa absoluta este cea mai mare)

50

d₁ =

= frecventa intervalului modal

= frecventa intervalului anterior celui modal

d₁ = 25 - 15 = 10

d₂ =

= frecventa intervalului modal

= frecventa intervalului urmator celui modal

d₂ = 25 - 10 = 15

M_o =58

1.3. Mediana (M_e)

Mediana este o alta masura a tendintei centrale si reprezinta "valoarea care imparte sirul de masuratori in doua parti egale; jumatate din sirul de date vor avea valori mai mici decat mediana in timp ce cealalta jumatate vor avea valori mai mari decat mediana". (C. Opariuc-Dan, 2009, p. 83).

Mediana prezinta valoarea/varianta din mijlocul unei serii de date, serie in care observatiile au fost ordonate crescator (sau descrescator). Mediana este situata in centrul (mijlocul) seriei.

Mediana poate fi folosita in caracterizarea tendintei centrale pentru o serie de date masurate pe o scala ordinala. Mediana ia in considerare doar pozitia observatiilor in serie, nu si magnitudinea lor efectiva.

Pentru a determina mediana introducem notiunea de ranguri, adica, numere de ordine asociate observatiilor (cea mai mica - rang 1; cea mai mare - rang n).

Locul medianei (Loc_Me) va fi rangul unitatii din mijlocul distributiei.

Loc_Me =

Pentru seriile simple la determinarea valorii din mijloc trebuie sa luam in consideratie situatiile:

a)  Daca n este un numar impar

pentru date cantitative mediana este exact valoarea din mijlocul seriei

Exemplu: In cazul unui sir impar, mediana este valoarea de la mijlocul unui sir. Daca reluam exemplul anterior, si mai adaugam un scor, obtinem:

Sirul are 7 valori. Ordonand sirul, obtinem:

De data aceasta, la mijlocul acestui sir gasim valoarea 17, valoarea medianei.

Observam ca n = 7.

Loc_Me = =

Loc_Me =4 → a 4-a valoarea din sirul de numere ordonate crescator sau descrescator reprezinta mediana → Me =17

Ordonand un sir, putem preciza pozitia fiecarui element in cadrul acelui sir.

Altfel spus, mediana nu este altceva decat pozitia rangului din mijloc in sirul ordonat de date. Intr-o serie de la 1 la 7, pozitia din mijlocul sirului este evident, pozitia 4. Acesta este de altfel si locul in care gasim mediana.

b)    Daca n este un numar par, exista doua valori situate in mijlocul seriei.

daca datele sunt cantitative, mediana este media celor doua valori din mijloc

Exemplu: Se considera urmatorul  sir de date:

Pentru a calcula mediana, primul pas este acela de a ordona crescator sau descrescator aceste date. Ordonand crescator sirul de mai sus, obtinem:

Sa se calculeze mediana.

Se ordoneaza datele crescator, astfel : 10, 15, 18, 20, 21, 22.

Loc_Me = = mediana se situeaza intre a treia si a patra valoare din serie.

Me =

Dupa definitia medianei, in cazul nostru avem 6 valori. Prin urmare, mediana va fi valoarea care imparte acest sir ordonat in doua parti egale. Fiind 6 valori, mediana este situata la limita primelor 3 valori. Deoarece sirul este un sir par, mediana se situeaza, in cazul nostru, intre valoarea 18 si valoarea 20, mai precis la valoarea 19.

c. Pentru o serie de distributie de frecvente variate determinarea medianei presupune calcularea mai intai a frecventelor cumulate. Prima frecventa cumulata mai mare decat (n+1)/2 (locul medianei) ne indica varianta mediana

Exemplul 1: Pentru 80 de familii dintr-un bloc s-au sistematizat date privind numarul membrilor de familie, rezultand distributia:

Loc_Me =   

adica, intre a 40-a si a 41-a familie prima frecventa cumulata mai mare decat 40,5 este 65 varianta "trei membrii de familie" reprezinta varianta mediana situata in mijlocul distributiei.

Pentru o serie de repartitie de frecvente pe intervale de variatie, mediana se va incadra in intervalul median, primul interval cu frecventa cumulata mai mare decat Loc_Me.

Exemplul 2: Se da distributia:

Loc_Me = ;   n = 90

M_e =   

unde:

- limita inferioara a intervalului median

h_Me - marimea intervalului median

F_c(Me-1) - frecventa cumulata a intervalului anterior celui median

n_Me - frecventa absoluta a intervalului median

M_e =   = 43,66

M_e = 43,66

Mediana prezinta unele avantaje fata de medie:

este mai putin afectata de valorile extreme, luand in considerare doar pozitia valorilor nu si magnitudinea lor efectiva;

poate fi folosita intr-o distributie pe intervale chiar si in cazul in care primul sau ultimul interval sunt deschise;

este un indicator ce poate fi folosit si pentru date ordinale;

Dezavantajele medianei:

mediana nu poate fi supusa la fel de usor calculelor algebrice;

media este preferabila in procesul de inferenta statistica.