Inele principale

Inele principale

Definitia 1. Vom numi un inel principal sau inel cu ideal principal un inel integru in care orice ideal este principal.

Din aceasta definitie rezulta ca cprpurile comutative sunt inele principale. De asemenea, inelul intregilor Z este un inel principal. Urmatoarea teorema ne da posibilitatea sa dam si alte exemple de inele principale.

Teorema 2. Un inel euclidian este principal.

Demonstratie. Demonstratia acestei teoreme este o generalizare fireasca a demonstratiei faptului ca Z este inel principal (v cap II, 2 si cap. III). Fie A un inel euclidian functia respectiva si I un ideal in A. Vom arata ca I este ideal principal. Daca I=(0), afirmatia este evidenta. Daca I, consideram submultimea al lui N. Deoarece N este o multime bineordonata, rezulta ca exista un element bI, b0 astfel ca(b) sa fie elementul minimal in M. Vom arata ca bA=I. Incluziunea este evidenta, deoarece bI si I este ideal in A. Reciproc, fie aI. Deoarece b0, existp q,r A astfel ca a=bq+r, unde r=0 sau (r) <(b). Va fi suficient sa observam ca r=0, ca atunci abA. Daca r0, atunci din faptul ca r=a-bqI si (r) <(b) rezulta o contradictie cu alegerea lui b.

Din aceasta teorema rezulta ca inelul intregilor lui Gauss , inelul si orice inel de polinoame de o nedeterminata cu coeficienti intr-un corp sunt inele principale, fiindca acestea sunt inele euclidiene . Urmatoarea propozitie ne permite sa dam exemple de inele care nu sunt principale.

Propozitia Fie A un inel integru care nu este corp. Atunci inelul polinoamelor de o nedeterminata cu A[X] nu este inel principal.

Demonstratie. Din faptul ca A nu este corp rezulta ca exista un element aA, a0 si a neinversabil. Sa aratam ca idealul generat de a si X nu este principal. Sa presupunem ca a A[X] +XA[X]=(f), cu fA. Atunci din a=fg cu gA[X] rezulta ca fA, iar din faptul ca X=fg', g'A[X], rezulta ca f este inversabil in A si deci rezulta ca A[X] +XA[X]= A[X] . De aici rezulta relatia 1=a+X, cu a,bA[X], relatie imposibila caci 0, fiindca a nu este inversabil.

Din aceasta propozitie rezulta ca Z[X] nu este inel principal si orice inel de polinoame de n>1 nedeterminate cu coeficienti intr-un corp nu este inel principal si deci nici euclidian.    

Vom demonstra acum cateva proprietati aritmetice ale inelelor principale.

Propozitia 4. Fie A un inel principal si a,bA. Atunci:

i)   Elementul dA este cel mai mare divizor comun al elementelor a si b daca si numai daca Aa+bB=dA.

ii)      Elementul mA este cel mai mic multiplu comun al elementelor a si b daca si numai daca mA=.

Demonstratie. i) Daca dA este cel mai mare divizor comun al elementelor a si b, atunci avem evident adA, bdA si deci aA+bAdA. Insa aA+bA este ideal principal, deci aA+bA=d'A. Atunci rezulta d' divizor comun al lui a si b, deci d' divide pe d, adica d'A= aA+bAdA. Reciproc, daca dA este astfel incat aA+bA=dA, atunci evident d este divizor comun al lui a si b si in plus exista relatia d= a+b, cu a,bA din care rezulta ca orice divizor comun al lui a si b divide pe d.

ii) Daca m este cel mai mic multiplu comun al elementelor a si b, atunci evident mA. Insa idealul este principal, deci =m'A si deoarece m' este evident multiplu comun al elementelor a si b, rezulta ca m divide pe m', adica mAm'A=, si deci egalitatea ceruta.

Reciproc, daca m A este astfel ca mA=, atunci m este un multiplu comun al lui a si b. Fie m' alt multiplu comun al lui a si b; atunci m'A si m'bA, deci m'A=mA, deci m divide pe m'.

Asadar intr-un inel principal A idealul generat de un numar finit de elemente coincide cu idealul generat de cel mai mare divizor comun al acestor elemente. De aici provine notatia (); utilizata atat pentru c.m.m.d.c al elementelor cat si pentru idealul generat de aceste elemente.

Corolarul 5. Intr-un inel principal orice doua elemente au cel mai mare divizor comun si cel mai mic multiplu comun, iar daca dA este cel mai mare divizor comun al elementelor a si b din A, atunci exista,A astfel ca d= a+a.

Din acest corolar si din propozitia 1.15 rezulta:

Corolarul 6. Intr-un inel principal orice element ireductibil este prim. Din acest corolar deduce ca inelul nu este inel principal.

Teorema 7. Intr-un inel principal orice element nenul si neinversabil se descompune in produs finit de elemente prime.

Demonstratie. Deoarece orice element ireductibil este prim in inelele principale (corolarul precedent), este suficient sa aratam ca orice element nenul este produs de elemente ireductibile. Vom demonstra prin reducere la absurd, adica vom presupune ca exista in inelul A un element nenul si neinversabil a care nu este produs finit de elemente ireductibile si vom ajunge la o contradictie. In adevar, a nu poate fi ireductibil, deci exista o descompunere a lui de forma a= ', in care si ' nu sunt asociati cu a si sunt elemente neinversabile si nenule. Este clar ca atunci cel putin unul dintre elemetele si ' are proprietatea lui a, adica nu este produs finit de elemente ireductibile (caci altfel a ar fi produs finit de elemente ireductibile impotriva ipotezei). Rationand analog cu , gasim un divizor lui , care este neinversabil si neasociat cu si care are aceeasi proprietate s.a.m.d. Se obtine astfel un sir infinit de elemente neinversabile din A:

a= , , , . ,

cu proprieatatea divi pe si nu este asociat cu acesta, i=0,1, . Din acest sir rezulta strict crescator infinit ideale ale inelului A:

A A A A .

Lema urmatoare arata insa ca un astfel de sir nu poate exista intr-un inel principal.

Lema 8. Fie A un inel principal si

A A A .

un sir crescator infinit de ideale din A. Exista atunci n>0 astfel ca A=A pentru orice i0

Demonstratie. Fie . Atunci I este ideal in A, caci daca b,c, atunci exista i,j astfel ca b, iar daca k=max(i,j), atunci b,c . Deoarece A este ideal, rezulta

b-c si pentru orice , ab, deci b-csi a,b . Inelul A fiind principal, exista astfel ca I=aA. Cum a, rezulta ca exista un numar natural n astfel ca a. Atunci deduce aA si din incluziunile AaA, pentru i, se deduce afirmatia lemei.

In incheierea acestui paragraf sa observam ca in demonstratia faptului ca orice inel euclidian este principal am folosit din definitia inelelor euclidiene numai proprietatea ii), adica teorema impartirii intregi. S-ar putea crede ca aceasta proprietate este eventual satisfacuta de o clasa mai larga de inele. Propozitia urmatoare arata insa ca in definitia inelelor euclidiene este esentiala numai proprietatea ii).

Propozitia 9. Fie A un inel integru si o functie care are proprietatea ii) din definitia 2.1. Atunci functia , definita prin

cand b parcurge toate elementele asociate cu a, satisface i) si ii) si din aceeasi definitie.

Demonstratie. Vom verifica mai intai ca ' satisface pe ii). Fie a si b elemente din A, b0 si b' un element asociat cu b pentru care '(b)= (b'). Atunci evident b'0 deoarece satisface ii), rezulta ca exista q si r astfel ca a=b'q+r, cu r=0 sau (r) <(b'). Insa b'=bu, cu u element inversabil in A si deci avem ca a=buq+r si ca '(r) (r) <(b')= '(b), daca r0.

Pentru a verifica pe i), observam ca din modul in care s-a definit ' rezulta ca pentru a asociat cu a' avem '(a)= (a'). Sa presupunem acum ca a|b si a,b0. Atunci, din faptul ca satisface ii) si din demonstratia teoremei 2, rezulta ca idealul aA este ideal principal generat de un element a', cu proprietatea ca a'0, (a') (c) pentru orice c. Dar din aA=a'A rezulta ca a si a' sunt asociate, deci '(a)= (a'), de unde '(a)= (a') '(b), pentru orice element asociat cu b este idealul aA.