Schimbarea bazei. Modificarea coordonatelor la schimbarea bazei

Schimbarea bazei. Modificarea coordonatelor la schimbarea bazei

Orice spatiu vectorial nenul admite o baza. Daca numarul vectorilor dintr-o baza este finit, atunci spatiul vectorial se numeste finit dimensional.

Fie B= o baza in V si un vector. In raport cu baza B, vectorul x se scrie in mod unic x= a₁x₁+.+a_nx_n. cu . Elementele se numesc coordonatele vectorului x in raport cu baza B si sunt unic determinate in raport cu aceasta baza.

Fie V un spatiu vectorial peste un corp comutativ K, B₁= si B₂= doua baze in V. Fie un vector si coordonatele vectorului x fata de baza B₁, respectiv B₂.

Exprimam vectorii din baza B₂ in functie de vectorii din baza B₁. Coordonatele astfel obtinute se vor trece, in ordine, pe coloane, obtinand matricea de trecere de la baza B₁ la baza B₂, pe care o notam cu A. Legatura dintre A, X si Y este data de formula

X=AY

numita si formula modificarii coordonatelor la schimbarea bazei.

Exemplu. Fie B₁= si B₂= doua baze in V=R³, e₁=(1, 2, 3), e₂=(1, 0, 1), e₃=(1, 1, 1), f₁=(1, -1, 2), f₂=(1, 1, 0), f₃=(2, 0, 1) si v=(1, -1, 4). Sa se scrie matricea A de trecere de la baza B₁ la baza B₂ si sa se determine formula schimbarii de coordonate pentru vectorul v la schimbarea bazei.

Rezolvare. Determinam mai intai coordonatele vectorului v fata de bazele B₁ si B₂. Fata de baza B₁ avem v= a₁e₁+a₂e₂+a₃e₃. Rezulta sistemul . Solutia acestui sistem este: a₁=3/2, a₂=7/2, a₃=-4. Deci X 3/2, 7/2, -4).

Fata de baza B₂ avem v= b₁e₁+b₂e₂+b₃e₃. Rezulta sistemul . Solutia acestui sistem este: b₁=3, b₂=2, b₃=-2. Deci Y 3, 2, -2).

Determinam matricea de trecere de la baza B₁ la baza B₂. Scriem f₁=a₁e₁+a₂e₂+a₃e₃. Obtinem sistemul , cu solutia (1/2, 5/2, -2), care reprezinta prima coloana a matricei de trecere de la baza B₁ la baza B₂.

Scriem f₂=b₁e₁+b₂e₂+b₃e₃. Obtinem sistemul , cu solutia (-1/2, -1/2, 2), care reprezinta a doua coloana a matricei de trecere de la baza B₁ la baza B₂. Scriem f₃=c₁e₁+c₂e₂+c₃e₃. Obtinem sistemul , cu solutia (-1/2, 3/2, 1), care reprezinta a treia coloana a matricei de trecere de la baza B₁ la baza B₂. Deci matricea A este:

Cum v=3f₁+2f₂-2f₃ in baza B₂, avem coordonatele in baza B₁ astfel

a₁ a₂= a₃ =