Sectru si multimea caracteristica

Sectru si multimea caracteristica

In acest paragraf si in urmatorul vom studia comportarea ecuatiei

sau ceea ce este acelasi lucru, a ecuatiei

In functie de parametrul complex Aici si in cele ce urmeaza U este presupus a fi un operator liniar continuu in spatiul Banach complex X.

Consideram ambele ecuatii avand in vedere faptul ca ecuatia (1) se considera de obicei in teoria ecuatiilor integrale , iar ecuatia se considera de obicei in analiza functionala abstracta la studiul proprietatilor spectrale ale operatorului U .

In functie de rezolubilitatea ecuatiei (1) planul complex se imparte in doua multimi : multimea a valorilor lui pentru care ecuatia (1) are o solutie unica oricare ar fi membrul drept al ecuatiei , (prin urmare, operatorul are invers continuu si multimea compusa din celelalte valori ale lui Punctele multimii se numesc valori nesingulare ale operatorului U, multimea se numeste multime caracteristica a operatorului U.

In mod analog vom introduce multimea a acelor pentru care ecuatia are o solutie unica , pentru orice membru drept si multimea complementara

Punctele multimii se numesc valori regulate ale operatorului U iar insasi multimea se numeste multime rezolventa a operatorului U; Multimea se numeste spectrul operatorului U.

Daca pentru o valoare a lui ecuatia omogena

   (2)

are solutii diferite de zero atunci se numeste valoarea caracteristica a operatorului U. Evident multimea a tuturor valorilor caracteristice este continuta in multimeaFiecare solutie a ecuatiei (2)se numeste element(vector) propriu corespunzator valorii caracteristice date. Multimea

se numeste subspatiul radacina iar dimensiunea lui (finita sau infinita ) se numeste multiplicitatea valorii caracteristice Numarul r de multimi distincte din sirul se numeste rangul valorii caracteristice

Daca in locul  ecuatiei (2) consideram o ecuatie omogena corespunzatoare ecuatiei

  

atunci ajungem la notiunea de valoare proprie (sau numar propriu) de element (sau vector) propriu si de subspatiu radacina corespunzator valorii proprii date Sa observam ca daca U este operator autoadjunct intr-un spatiu Hilbert si este o valoare proprie a sa atunci rangul ei r =1 adica

(3)

si de aceea in acest caz subspatial radacina este adica se compune din toti vectorii proprii ai operatorului U

Sa demonstram relatia (3). Deoarece valorile proprii ale unui operator autoadjunct sunt reale operatorul si toate puterile sale sunt operatori autoadjuncti. Omitand pentru simplitate indicele si alegand vom avea pentru

(,) = () = 0,

de unde

Continuand astfel ajungem la egalitatea adica si deci Incluziunea opusa are loc pentru un operator arbitrar. Astfel, (k=1,2, . ).Daca se considera mai departe un

n =2,3, arbitrar, atunci alegand k astfel incat vom avea incluziunile evidente De aici,

Vom mentiona acum o legatura simpla intre spectrul si multimea caracteristica a unuia si aceluiasi operator U. Este usor de vazut ca daca atunci

si invers. Evident in acelasi mod sunt legate si valorile caracteristice cu valorile proprii ale operatorului U. Aici este important sa avem invedere ca elementul propriu corespunzator valorii caracteristice va fi totodata elementul propriu corespunzator valorii proprii si reciproc . Mai departe deoarece pentru observatia anterioara se extinde si la subspatiile proprii. Din aceasta cauza nu este necesar sa distingem notiunile de vector propriu corespunzator unei valori caracteristice si de vector propriu corespunzator unei valori proprii fapt care se reflecta si in terminologia introdusa mai sus.

Legatura indicata intre multimea caracteristica si spectru permite sa se considere , dupa cum este comod, doar una dintre aceste doua notiuni paralele si , in esenta, echivalente dand ambele formulari numai in cazuri exceptionale

Vom enunta acum cateva propozitii simple legate de notiunile introduse mai sus.

Relatia este echivalenta cu existenta inversului bilateral continuu

Multimea valorilor nesingulare este deschisa si prin urmare multimea caracteristica este inchisa.

Aceasta rezulta din teorema care afirma ca daca un operator are invers continuu, atunci si un operator suficient de apropiat in norma de aceasta are invers continuu In cazul nostru

astfel incat daca exista atunci pentru diferenta suficient de mica, va exista si

Discul

este continut in multimea ; prin urmare spectrul este in intregime continut in discul

Pentru a stabili valabilitatea acestei afirmatii este suficient sa aplicam teorema lui Banach privind operatorul invers. Multimile sunt dispuse simetric fata de axa reala.

Intradevar

deci operatorii si exista in acelasi timp.

Daca X este spatiu cu structura reala , Iar U operator real, atunci multimea este simetrica fata de axa reala. In afara de aceasta daca este un vector propriu corespunzator , atunci valorii caracteristice ii va corespunde vectorul propriu

Intradevar 

de unde rezulta ca egalitatatile sunt echivalente.