Subinel, ideal si inel factor

Subinel, ideal si inel factor

Definitia 2.1. O submultime nevida A' a inelului A se numeste subinel al inelului A daca operatiile algebrice de pe A induc pe A' operatii algebrice impreuna cu care A' formeaza un inel.

Asadar, A' trebuie sa fie in particular subgrup al grupului aditiv al lui A, ceea ce este echivalent dupa cate stim de la grupuri cu:

1)Oricare ar fi a,b A', rezulta a b A'.

Apoi trebuie ca operatia de inmultire pe A sa induca pe A' o operatie algebrica, ceea ce este echivalent cu:

2)Oricare ar fi a,b A', rezulta ab A'.

Prin urmare, conditiile 1) si 2) sunt necesare ca A' sa fie subinel al lui A. Ele sunt insa si suficiente. In adevar, daca ele sint verificate, A' este sub­grup al grupului aditiv al lui A, dupa cum rezulta din 1). Mai ramine sa ara­tam ca operatia de inmultire pe A' este asociativa, ceea ce rezulta din faptul ca operatia de inmultire pe A este asociativa, si ca aceasta operatie este distri­butiva fata de adunare, ceea ce rezulta din faptul ca operatia de inmultire in A este distributiva fata de adunare. De obicei, in cazul inelelor cu unitate, se considera indeosebi subinele care contin elementul unitate.

Propozitia 2.1. O intersectie de subinele (unitare,) ale unui inel este un subinel (unitar).

Demonstratie. Fie i I o familie de subinele ale inelului A si B = Daca a,b B, atunci a,b Bi pentru toti i I, deci a b Bi si ab Bi pentru orice i I, fiindca Bi sunt subinele. De aici rezulta ca a - b =B si ab B, adica B este subinel. Este clar ca daca 1 Bi pentru toti i I, adica Bi sunt subinele unitare, atunci 1 B deci B este subinel unitar.

Definitia 2.3. Fie A un inel. O submultime I a lui A se numeste ideal stang (respectiv drept) sau ideal la stanga (respectiv la dreapta) daca I este un subgrup al grupului aditiv al lui A, adica:

3)Oricare ar fi a,b I, rezulta a- b I si in plus

4)Oricare ar fi a I si A, rezulta a I (respectiv a I).

I se numeste ideal bilateral daca este ideal la stanga si la dreapta.. Din aceasta definitie rezulta imediat ca orice ideal stang sau drept al inelului A este un subinel al lui A.

De asemenea, daca inelul A este comutativ, notiunile de ideal stang, ideal drept si bilateral coincid. De aceea, in acest caz se foloseste denumirea de ideal al inelului A. In orice inel submultimea formata din elementul nul, notata cu (0) si intreg inelul sunt ideale bilaterale.

In continuare, daca nu vom specifica altfel, prin inel vom intelege un inel unitar,iar prin subinel un subinel unitar. De asemenea, toate morfismele de inele vor fi considerate unitare, daca nu se specifica altfel. Unele dintre proprietati pot ramine insa valabile si pentru inele,subinele si morfisme care nu sunt unitare.

Propozitia Fie f: A →B un morfism de inele.Atunci:   i)Daca A' este un subinel in A, atunci f (A') este subinel in B. In particular,Imf estesubinel in B.   ii)Daca B' este subinel al lui B, atunci(B') este subinel in A. iii)Daca J este ideal stang (drept, bilateral) in B, atunci(J) este ideal stang (drept, bilateral) in A. In particular, Ker f este ideal bilateral in A. iv)Daca in plus f este morfism surjectiv si I este ideal stang (drept,bilateral) in A, atunci f(I)este ideal stang(drept,bilateral) in B. Aplicatia care asociaza unui ideal stang(drept,bilateral) J din B idealul stang(drept,bilateral) (J) din A este un izomorfism de multimi ordonate(cu incluziunea) intre idealele stangi (drepte,bilaterale) ale lui B si idealele stangi (drepte,bilaterale) ale lui A care contin pe Ker f. Demonstratie. i) Deoarece orice morfism de inele este si morfism pentru grupurile aditive respective, rezulta ca f (A') este subgrup al grupului aditiv al lui B. Fie f (A') .Exista atunci a,b A' astfel ca f a si f b Atunci, din faptul ca a,b A' si f ab f a f b), rezulta ca f (A') .Mai observam ca elementul unitate din B apartine lui f (A'), deci acesta este subinel in B.

ii) Faptul ca(B') este subgrup al grupului aditiv al lui A rezulta din afirmatia corespunzatoare demonstrata la grupuri. Este,de asemenea, evident ca 1 (B Fie a,b (B'), atunci f ab f a f b B', deci a,b (B iii) Ca si mai sus rezulta ca(J) este subgrup in A. Presupunem ca J este ideal stang. Fie a J) si A, atunci f a f f a J. Deci a (J) .Pentru J ideal drept sau bilateral demonstratia este analoaga. A doua afirmatie rezulta din faptul ca (0) este ideal bilateral in B.

iv) Ca si in iii), demonstram afirmatia pentru I ideal stang si ramane sa aratam ca daca a' f I) si B avem ca a' f I). Din faptul ca f este surjectiva rezulta ca exista a I si A astfel ca f a a' si f '. Dar I fiind ideal stang, avem a I. Deci f a f f a f I), prin urmare a' f I

A doua afirmatie se demonstreaza analog cu corolarul II,2.7. Se observa ca aplicatia considerata este morfism de multimi ordonate iar inversa ei este aplicatia care asociaza unui ideal I al lui A, care contine pe Ker f, pe f I) si care este de asemenea morfism de multimi ordonate. Fie A un inel si , i I, o familie de ideale stangi(drepte,bilaterale) in A. Atunci J = este un ideal stang (drept,bilateral) in A. In adevar, stim ca o intersectie de subgrupuri ale unui grup este un subgrup al acestuia, deci J este un subgrup al grupului aditiv al lui A. Sa presupunem ca Ji sunt ideale stangi ale lui A(cazul in care Ji sunt ideale drepte sau bilaterale se demonstreaza cu totul analog). Fie A si aJ. Atunci a J,pentru orice iI, deci, Jfiind ideal stang, rezulta a Ji pentru orice iI,adica a=J.

Definitia 2.5. Fie A un inel unitar si M o submultime a lui A. Prin ideal sting (drept, bilateral) generat de multimea M se intelege intersectia tuturor idealelor stangi (drepte, bilaterale) care contin multimea M. Multimea vida genereaza idealul (0). Un ideal stang (drept, bilateral) al inelului A se numeste de tip finit sau finit generat daca exista o multime finita de elemente din I care genereaza pe I. In cazul in care exista un singur element care genereaza pe I se spune ca I este ideal sting (drept, bilateral) principal.

Propozitia 2.6. Fie A un inel, M o submultime a lui A si I un ideal stang(bilateral) al lui A. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) I este generat de multimea M.

b) IM si pentru orice ideal stang(bilateral) J in A din JM rezulta JI.

c) I este multimea tuturor sumelor finite de forma

(1) x =ixi cu iA, xiM

(respectiv x = , A, M) pentru orice n ≥ 0 intreg.

O afirmatie analoaga este adevarata si pentru I ideal drept. Demonstratie. Vom demonstra afirmatia pentru cazul in care I este ideal stang, in celelalte cazuri demonstratia se face la fel. Echivalenta dintre a) si b) este evidenta. ' '

Fie I' multimea sumelor finite de forma (1). Atunci evident diferenta a doua sume de acest tip este tot o suma de acest tip si inmultind la stanga o suma de acest fel cu un element din A se obtine un alt element din I', adica I' este ideal stang si evident contine pe M. Din b) rezulta ca I'I. Pe de alta parte, deoarece IM si este ideal stang, rezulta ca I I',deci I= I' si s-a demonstrat astfel ca afirmatiile b) si c) sunt echivalente.

Fie I si J ideale stangi (drepte, bilaterale) ale inelului A. Atunci prin suma acestor ideale vom intelege idealul stang (drept, bilateral) generat de reuniunea submultimilor I si J ale lui A si se noteaza cu I+ J. Din propozi­tia precedenta rezulta ca I + JI, I + JJ si ca I + J este multimea ele­mentelor din A care se scriu sub forma x = a + b, unde a I si bJ adica I + J coincide cu subgrupul grupului aditiv al lui A, generat de subgrupurile I si J. Daca consideram multimea idealelor stangi (drepte, bilaterale) ale ine­lului A, cu ordonarea data de incluziune (adica ordonarea indusa de cea a multimii submultimilor lui A), din cele demonstrate mai sus rezulta ca aceasta multime ordonata este o latice, cele doua operatii fiind intersectia si suma. Mai rezulta totodata ca aceste latice sunt sublatice ale laticii subgrupurilor grupului aditiv A. Din cele de mai sus rezulta ca laticea idealelor stangi (respectiv drepte, bilaterale), este completa, caci exista si suma unei familii oare­care de ideale, stangi (drepte, bilaterale), ea este egala cu idealul generat de reuniunea acestor ideale stangi (respectiv drepte, bilaterale).

Pe multimea idealelor stangi (drepte, bilaterale) mai introducem o opera­tie algebrica, numita produsul idealelor in modul urmator: daca I si J sunt doua ideale stangi (drepte, bilaterale), atunci produsul lor IJ se defineste ca fiind idealul stang (drept, bilateral) generat de submultimea lui A formata din toate elementele de forma x = ab, cu a I si bJ. Din propozitia precedenta rezulta ca IJ este multimea tuturor elementelor x din A de forma x =aibj,pentru n ≥ 0

numar intreg intreg convenabil si I, J.

Se verifica imediat ca, datorita asociativitatii inmultirii din A, inmultirea idealelor stangi (drepte, bilaterale) este o operatie asociativa, iar daca inelul A este comutativ, aceasta operatie este si ea comutativa. Asadar, multimea idealelor stangi(drepte, bilaterale) impreuna cu produsul idealelor formeaza un semigrup, care este unitar daca inelul este unitar, elementul unitate fiind in acest caz intreg inelul. Acest semigrup este evident comutativ daca inelul este comutativ. Daca I si J sunt ideale stangi (drepte, bilaterale) ale inelului A, generate respectiv de multimile M si N, atunci I +J este generat de M N, iar IJ este generat de multimea produselor de forma xy, unde x M si y N, dupa     cum rezulta imediat din definitia sumei si a produsului de ideale. De aici rezulta, in particular,ca suma si produsul a doua ideale stangi(drepte, bilaterale) de tip finit este un ideal de tip finit. Daca A este un inel comutativ unitar si i I este o submultime de elemente din A vom nota cu (xi), i I sau xA sau inca Ax idealul generat de aceasta multime. In particular,idealul generat de un element x A se va nota cu (x ), xA sau Ax.

In orice inel A idealul (0) si intreg inelul A sunt ideale principale; (0) este generat de elementul 0, iar A este generat de orice element inversabil.

Daca f : A→B este un morfism de inele, atunci este clar ca f este injectiv daca si numai daca Ker f = (0), dupa cum am vazut pentru grupuri ( f fiind si morfism de grupuri pentru structurile de grup aditiv ale lui A si B).Morfismul f este surjectiv daca si numai daca f = B. Daca Ker f = 0, adica f este injectiv, din propozitia 2.4 rezulta ca A este izomorf cu f si deci A poate fi identificat cu imaginea sa in B, adica putem considera pe A ca un subinel al lui B, ceea ce se face de obicei. Reciproc, daca A este un subinel al lui B, atunci injectia canonica A→B este evident un morfism injectiv de inele.

Vom introduce o alta notiune importanta in teoria inelelor, care se obtine prin "dualizarea" observatiei precedente, adica vom numi inel factor (sau cat) al inelului A un inel A' impreuna cu morfism surjectiv de inele p: A→ A'. Morfismul surjectiv p se numeste morfismul canonic sau surjectia canonica. Sa observam ca daca A este inel comutativ orice inel factor A' al sau este inca comutativ. In adevar,fie β A'; atunci, din faptul ca p este morfism surjectiv, rezulta ca exista a,b A astfel ca p(a) = p(b) = β, unde p: A→ A' este morfismul canonic. Atunci din relatia β = p(a) p(b) = p(ab) = p(ba) = p(b) p(a) = β verificata datorita faptului ca A este inel comutativ, rezulta afirmatia de mai sus. In mod analog, daca A este inel unitar, atunci si A' este inel unitar, iar morfismul canonic p este unitar. Pentru a arata acest lucru,este suficient sa aratam ca daca 1 este elementul unitate din A, atunci p(1) este element unitate in A'. Fie A'. Atunci,daca a A este astfel ca

p(a) = avem p(1) p(1) p(a) = p(1a) = p(a) =

De asemenea, trebuie sa mentionam ca daca A' este inel factor al inelui A, atunci retinand doar structurile de grupuri aditive ale lui A si A', se vede ca A' este grup factor al lui A. La fel, in acest caz, A' este si o multime factor a multimii A. Daca A' este un inel factor al lui A de morfism canonic p: A→ A', atunci vom nota acest lucru si prin (A',p) punand astfel in evidenta si morfismul canonic.

Propozitia 2.7. (Proprietatea de universalitate a inelelor factor). Fie p: A→ A' un inel factor al inelului A si φ A→B un morfism de inele.

i) Exista un morfism de inele u: A'→ B astfel ca up = φ, adica astfel incat diagrama

A A'

_u

B

sa fie comutativa daca si numai daca Ker Ker p. In cazul in care u exista, el este unic.

ii)Daca exista morfismul de inele u cu proprietatea din i), atunci u este surjectiv daca si numai daca este surjectiv, adica (B, φ) este si el inel factor al lui A.

iii)Daca exista morfismul de inele u cu proprietatea din i), atunci u este injectiv daca si numai daca Ker p = Ker

Demonstratie. Folosind propozitia II.3.5, este suficient sa aratam ca daca exista morfismul de grupuri u, atunci le este morfism de inele. Fie A' si a,b A astfel ca p(a) = si p(b) β . Atunci:p

u( u(p(a)p(b)) = (up)(ab) = φ (ab) = (a) (b) = (up)(a)(up)(b) = u()u(β

Corolarul 2.8. Fie (A', p') si (A', p'), doua inele factor ale inelului A. Atunci exista un izomorfism de inele u: A' → A', astfel ca up' = p' daca si numai daca Ker p' = Ker p'.

Teorema 2.9. Fie A un inel si I un ideal bilateral al lui A. Atunci exista un inel A' si un morfism surjectiv de inele A→A' astfel incat Ker = I.

Demonstratie. Consideram pe A ca grup aditiv. Atunci I este subgrup al lui A si consideram grupul factor A' A∕I, iar A→A' morfismul canonic de grupuri, care stim (cap. II, § 3) ca are proprietatea Ker = I. Vom arata ca pe A' putem introduce o structura de inel astfel ca sa fie morfism de inele. In adevar, fie β A' si fie a si b β. Deci a + I,   β =b I, atunci definim β ab + I. Clasa produsului nu depinde de elementele a si b alese in clasele respective. Caci daca a' ≡ a (mod I) si b'≡ b (mod I), atunci a' = a + c, b' = b + d, cu c, d I, deci a' b' = ab + cb + ad + cd si, deoarece I este ideal bilateral in A, cb + ad cd I, deci a' b'≡ ab (mod I). Aceasta operatie este asociativa pe A', deoarece operatia de inmultire pe A este asociativa, are element unitate daca A are element unitate si este distributiva fata de adunarea pe A', deoarece inmultirea pe A este, distri­butiva fata de adunare. Avem, de asemenea:

(ab)= ab+ I, iar (a) (b) = (a I)(b + I) = ab +1

pentru orice a,b A, deci este morfism de inele. Inelul construit in teorema precedenta se numeste inelul factor (cit) a lui A in raport cu idealul bilateral I si se noteaza prin A∕I sau .

Corolarul 2.10. Daca f: A B este un morfism de inele, atunci exista un izomorfism canonic: ׃A/Ker f Im f

Demonstratie. Fie f': A Im f morfismul de inele dedus din f prin restrangerea codomeniului.Se observa imediat ca f' este surjectiv si ca Ker f'= Ker f,adica Im f este un inel factor al lui A in raport cu Ker f si din corolarul2.8 rezulta afirmatia.

larul 2.8 rezulta afirmatia. Corolarul Fie A un inel si I J doua ideale bilaterale ale sale. Atunci exista un izomorfism canonic de inele:

A|I

Ψ: A|J

J|I Demonstratia este analoaga demonstratiei corolarului .3.10, folosind propozitia 2. 7 si corolarul 2.10, sau se deduce direct din corolaruL.3.10 demonstrand ca in acest caz Ψ este izomorfism de inele. Din cele de mai sus rezulta ca subinelul, idealul bilateral si inelul factor in teoria inelelor sunt notiuni analoage celor de subgrup, subgrup normal, grup factor in teoria grupurilor.

Propozitia 2. 12 .Fie A un inel unitar si I un ideal stang (drept sau bilateral). Atunci I=A daca si numai daca I contine un element inversabil din A.

Demonstratie. Daca I=A, atunci evident I contine orice element inversabil din A. Reciproc, sa presupunem ca I este ideal stang si contine un element inversabil u. Deci exista uA astfel ca u u= uu = 1.Atunci avem uu = 1I (deoarece uI ), deci pentru orice element aA avem a =a ∙ 1 I . Fie A un inel unitar nenul si M = inelul matricelor patrate de ordinul m>1. Dupa cum stim, M este un inel necomutativ. Vom de un exemplu de ideal stang in acest inel care nu este ti ideal drept. Fie I multimea matricelor din M ale caror elemente de pe prima coloana sunt toate egale cu 0. Se verifica imediat ca I este un ideal stang in M. I nu este ideal drept pentru ca:

=

Evident prin schimbarea liniilor cu coloanele se obtine un ideal drept al inelului M, care nu este un ideal sting.

Propozitia 2.13. Fie A≠ inel unitar, comutativ si finit si a A. Atunci a este sau divizor al lui zero sau element inversabil.

Demonstratie. Consideram functia f: AA, definita prin f(b) = ab pentru orice bA. Daca a nu este divizor al lui zero, atunci f este injectiva, caci din ab = ab' rezulta b= b'. A fiind insa multime finita, rezulta ca f este si functie surjectiva, deci exista a' A astfel ca f(a') = 1, deci aa' = si a este inversabil in A.

Corolarul 2.14. Un inel integru finit are toate elementele nenule inversabile.