Matematica si arhitectura

Admiram si azi, dar totodata ne infioara piramidele egiptene, care prin masivitatea lor indestructibila infrunta mileniile. lnfatisarea lor vorbeste despre geometrie si totusi nu vom sti nicioŽdata cum a fost posibila construirea lor fiindca in nici o scriere ramasa de atunci nu se pomeneste nimic despre aceasta realizare. Cind a fost inaltata marea piramida a lui Kheops, ea era cel mai inalt monument de pe Pamant si a fost considerata ca una dintre cele 7 minuni ale lumii : este ca un munte inalt de 150 m care se zareste de la o departare de 40 km ! Aceasta piramida are ca baza un patrat, iar fetele sale laterale sint triunghiuri isoscele.

Din scrierile ramase de la Herodot se stie ca impresia de armonie si maretie pe care o imprastie in jurul ei nu este intamplatoare, ci a fost calculata cu precizie. Anume, el a aratat ca a aflat de la arhitectii egipteni, care pe acea vreme erau, si preoti, ca piramida lui Kheops a fost construita in asa fel ca aria triunghiului isoscel care formeaza o fata laterala sa fie egala cu aria patratului care ar avea ca latura inaltimea piramidei. Ca sa stabilim aceasta relatie, sa construim piramida patrata cu virful in A (fig. 1), si inaltime AO. Ducem apotema AC a unei fete laterale, asa ca triunghiul dreptunghic AOC este semiprofilul meridian al piramidei. Notam cu a lungimea inaltimei piramidei, cu b a apoŽtemei, si cu 2c a laturii patratului de la baza ei. Din cele ce a destainuit preotul egiptean rezulta ca : (1) b*c=a^2, adica aria triunghiului isoscel lateral (b*c) este egala cu aria patratului de latura a. Dar relatia (1) se poate scrie sub forma de proportie . Aceasta arata ca inaltimea pirmaidei este medie proportionala intre doua dintre laturile triunghiului meridian al piramidei : b si c. Insa acest triunghi AOC, fiind dreptunghic, rezulta : (2) b^2=b*c+c^2. Impartind prin c^2 relatia devine: (3) (b/c)^2-b/c-1=0. Iata o formula foarte interesanta care, dupa cum am descoperit, leaga doua dintre laturile piramidei.

Ca sa o cercetam ma indeaproape, vom pune problema sub o forma mai generala, anume: dandu-se un segment de dreapta AB (fig.2) sa-l impartim in doua parti neegale AC si CB (AC>CB), astfel ca segmental intreg catre cel mai mare catre cel mai mic. Aceasta impartire a unui segment a fost numita de Euclid "impartirea in medie si extrema ratie", iar acum se numeste taietura de aur. Desi numirea de taietura sau sectiune de aur nu a fost data de geometrii greci, ei au cunoscut impresia de armonie ce se degaja din folosirea segmentelor neegale, al caror raport se afla in taietura de aur si au folosit asemenea segmente in operele de sculptura sau arhitectura, mai ales in secolul lui Pericle. Aceasta impartire se poate executa cu rigla si compasul astfel: Desenam segmental dat AB=a si ridicam perpendiculara BD din B pe AB, astfel ca BD=AB=a. Se construieste cercul O tangent in B la AB, avand BD ca diametru si O ca centru. Dupa cum se stie din teorema puterii unui punct fata de un cerc, secanta AO, determina pe cerc punctele E si F, astfel ca AB^2= AE*AF. Construind segmentele AE =AC si AG =AF, relatia stabilita mai sus se poate scrie sub forma : AB^2= AC*AG sau (4) AB/AC=AG/AB=(AC+AB)/AB=AC/CB adica AB/AC=AC/CB (5).

In rezumat, constructia segmentului AC se face ducand cercul tangent in B de raza egala cu AB, si apoi transferand pe AB, segmentul AE taiat de secanta AO pe cerc. Sa stabilim acum relatia care leaga segŽmentele AB =a de AC =b ~i CB =c. Din (5) avem  , dar a=b+c si deci sau : , si inmultind cu , rezulta (b/c)^2- b/c-1=0 adica relatia (3).

Acest triunghi meridian AOC a capatat numirea de triunŽghiul egipitean si se caracterizeaza prin faptul ca ipoteŽnuza lui este in taietura de aur cu cea mai mica dintre catete. Dealtfel, in piramida lui Kheops mai exista si alte dimensiuni care au fost alese in asa fel ca sa fie in taietura de aur. De pilda in camera regelui, care se afla in interiorul piramidei si se ajunge la ea printr-un coridor ce comunica cu exteriorul printr-o deschiŽdere ce se afla la vreo 14 m deasupra solului. Aceasta camera este in forma de paralelipiped, avind ca baza un patrat dublu (adica un dreptunghi cu una din laturi de doua ori mai mare decat cealalta), iar ca inaltime jumatate din diagonala acestui dreptunghi: . Dar ce legatura exista intre si taietura de aur? Nimic mai simplu decat de stabilit acest lucru. Sa reluam relatia (3) sis a notam raportul (litera greceasca , initiala numelui sculptorului Fidias), asa cum se obisnuieste acum. Avem deci ecuatia . De aici rezulta valoarea

Cine sic and s-a descoperit ca impresia pe care o lasa o figura in care segmentele din care este compusa ea ar avea alte dimensiuni, nu se stie.

al acestei proportii, si care a ilustrat o carte despre acest subiect, compusa de prietenul sau, matematcianul Luca Pacioli (1445-1514 ?), carte care a fost intitulata "Proportia divina'. Cert este ca impartirea unui segment in doua segmente neegale care sa verifice egalitatea despre care am vorbit a atras atentia arhitectilor cu milenii inaintea erei noastre fara ca sa i se atribuie vreo denumire particulara. Una dintre cele mai de seama calitati ale arhitectilor greci a fost tocmai aceea ca au 'tradus intuitia lor estetica prin anumite rapoarte numerice ca, de pilda, taietura de aur dintre segmentele prezente in cladirile lor. Prin fnfatisarea lor, templele grecesti se impart in trei ordine : doric, ionic ,si corintic. Fiecare dintre aceste ordine au la baza proportii diferite in care s-au executat coloanele, frontoanele etc. De pilda, in templul lui Poseidon, zeul marilor, reprezentand ordinul doric, care se pare ca a fost construit prin secolul al VI-lea f.e.n., se simte forta plina de maretie, de severitate ,si de viata pe care o degaja aspectul coloanelor sale. Avand o inaltime de aproape sase ori cit diametrul, coloanele lui fac impresia unor copaci crescuti din pamint. Baza lor nu are nici un fel de ornament, iar capitelul are forma unui colac pe care este asezata lespedea de piatra ce sprijina acoperisul in panta a templului. Acesta incadreaza frontonul in forma de triunghi isoscel. Prin masivitatea lui el aminteste ceva din influenta egipteana, dar sentimentul pe care-l trezeste in severitatea lui infatisarea acestui templu este de inviorare si optimism. Cu totul alta este impresia ce o inspira templul Victoriei de pe Acropola Atenei, apartinand ordinului ionic. Coloanele lui sunt mai zvelte si mai elegante decat acelea ale templului lui Poseidon. Raportul dintre inaltimea si diametrul lor este de 9 la 1, adica inaltimea unei coloane este de opt sau de noua ori cat diametrul, si, prin aceasta, ele par mai pline de vioiciune. Dealtfel aceste coloane nu mai rasar direct din pamant, ci stau pe un piedestal format din trei sau chiar patru inele cilindrice suprapuse, iar capitelul-coloanelor este impodobit cu doua volute in forma de spirala, care aminteste de cochilia unui melc. Acoperisul se sprijina pe aceste volute. Totul pare plin de abundepta, eleganta si exuberanta. Ordinui corintic este si mai plin de gratie caci coloanele lui sunt mai inalte inca, de zece ori cat diametrul, iar capitelurile sunt impodobite cu frunze de acant. La aceasta geometrie a colonelor trebuie adaugata si seria de calcule cerute de intreaga structura a templului, calcule care au la baza raportul taieturii de aur. Desigur ca, consideratiile legate de stabilirea proportiilor dintre diferitele parti componente nu au restrans in nici un fel geniul sau libertatea artistului. Arhitectul grec nu a fost robul calculelor sale ci, odata stabilite, el a introdus modificarile care se impuneau pentru ca sa dea edificiului armonie si eleganta. Iata un exemplu surprinzator : Partenonul, templul inchinat zeitei Atena Partenos, a fost cladit in stilul doric, considerandu-se ca numai acest stil poate exprima, prin caracterul lui grav si sever, toate calitatile si atributele falnicei zeite. Dar, daca facem o comparatie intre templul lui Poseidon si Partenon, ramanem uimiti de deosebirea dintre aceste doua cladiri, executate in acelasi stil. Masuratorile, care au fost intr-adevar facute, in secolul al XIX-lea, au aratat ca toate liniile orizontale ale Panteonului sunt usor ingrosate la mijloc si astfel liniile care par drepte orizontale sunt, in realitate, linii curbe convexe si, in acelasi timp, peretii si muchiile verticale sunt, in realitate, nu linii drepte, ci linii concave. Arhitectul Ictinius, care a zidit templul, a folosit acest artificiu, pe care ochiul liber nu-l poate sesiza, ca sa evite impresia de monotonie a liniilor drepte, dupa cum, manta de aceeasi cauza, geniul Phidias a adaugat decoratii sculpturale la frize, metope sip e fronton. Prin asemenea modificari la impresia de masivitate si de sobrietate s-a adaugat aceea de eleganta si armonie care a marit efectul artistic.

Celebrele arcuri de triumf prin care romanii cinsteau pe generalii ce se intorceau la Roma incarcati de glorie si succese au o forma geometrica precisa, plina de armonie si eleganta. Anume, arcul de triumf este format mai intai din suprafafa laterala a unei jumatati de cilindru circular drept si apoi din volumele paralelipipedice pe care se sprijina suprafata cilindrica, acestea fiind impodobite cu coloane, de obicei corintice, si cu diferite sculpturi. De atunci si pina azi, astfel de monumente, care exprima mandria fortei triumfatoare impodobesc pietele celor mai multe dintre capitaleIe tarilor din Europa. Un alt monument roman, tot de forma geometrica, anume un trunchi de con inalt de 44 m la care se adauga altele ale caror dimensiuni au fost calculate astfel incat sa asigure stabilitatea coloanei si estetica ei, este Columna lui Traian, atit de importanta pentru istoria tarii noastre. Din punct de vedere artistic sunt foarte interesante cele 34 de blocuri de marmura alba pe care sunt sculptate peste 3 000 de personaje legate de episoadele victorioase ale imparatului Traian fara sa mentionam si multimea cailor, armelor, drapelelor, carelor de razboi s.a.m.d. In fine, arhitectura romana a realizat unul dintre cele mai impunatoare amfiteatre din lume : Colosseum-ul din Roma, cu o capacitate de vreo 80 000 de locuri. Arena este in forma de elipsa, cu axa mare de 200 m si axa mica de 167 m, iar zidul are, de jur imprejur, forma unui cilindru si este compus din patru etaje toate formate din arcade. Primul etaj este construit din coloane dorice, masive, al doilea din coloane ionice, avand capitelurile ornate cu volute, al treilea din coloane corintiu, iar al patrulea etaj are stalpii de sustinere in forma de prizme. Desigur ca, pentru arhitectii greci, un asemenea amestec de stiluri ar fi echivalat cu o curata barbarie, cu atat mai mult cu cat si ultimul etaj, care s-ar fi cerut sa fie cel mai suplu si usor, se prezenta a fi cel mai masiv si greoi. Pentru contemporani si cei ce au urmat, aceasta inovatie a arhitectilor romani a trezit insa un sentiment de admiratie si a fost considerat demn de a fi imitat, fapt care a si dainuit pina in secolul al XII-lea.

Abia prin a doua jumatate a secolului al XII-lea, aIaturi de arta romana a aparut arta gotica in care semicercul roman a fost inlocuit prin intersectia a doua arce de cerc, formand ogiva. Denumirea de arta gotica a fost data la inceput in sens peiorativ caci ea nu are nimic comun cu gotii, noua arta nascandu-se in Franta. Elementul caracteristic al acestei arhitecturi se bazeaza tot pe o constructie geometrica. Iata o metoda simpla de a construi cateva feluri de ogive, toate avand aceeasi baza AB, ca si semicercul corespunzator. Sa impartim segmental AB in patru parti egale sis a consideram AA1=BB1=AB/4. De o parte si de alta a punctelor A si B se iau punctele A2 si B2 simetrice fata de A  si respectiv B. Apoi, din A2 ca centru si cu o raza egala cu A2B se descrie arcul de cerc BC, iar din B, ca centru si cu aceeasi raza se descrie arcul AC2. Am obtinut astfel ogiva AC2B. Procedind la fel, dar folosind drept centre punctele A si B, iar ca raza AB, se capata ogiva ACB sau daca se iau ca centre ale arcelor de intersectie punctele A1 ,si B1, iar ca raza comuna distanta A1B =AB1, ogiva obtinuta este AC1B. Din acest exemplu, care poate fi variat prin schimbarea valorilor atribuite segmentelor AAa, BB1, arcadele gotice prin care se inlocuieste arcada semicirculara romana pot fi oricat de inalte si ascutite, cele doua arce de cerc indepartandu-se astfel tot mai mult de baza lor AB. Acest nou stil care a dat catedralelor gotice multa eleganta si descatusindu-le de semicerc si semisfera care le tineau legate de pamint, le-au permis sa se avinte spre cer, a cucerit toate tarile din Europa occidentala in afara de Italia. In Franta, Germania, Olanda, Spania, Portugalia, Anglia s-au gasit multi artisti arhitecti care au proiectat si au zidit admirabile catedrale gotice. In ale caror dimensiuni se gaseste, ca un ghid, taietura de aur, si triunghiul echilateral. 'In Italia insa artistii, ca si oamenii de stiinta, s-au indreptat, plini de nostalgie, catre vechile orase romane, cu palatele si monumentele lor in ruina si au cautat sa reconstituie tehnica de odinioara. La inceputul secolului al XV-lea arhitectul si artistul Brunelleschi a ridicat prima constructie in noul stil al Renasterii, catedrala din Florenta, numita si Campanila (Clopotnita), cel mai inalt si mai larg dom de atunci. Cupola sa este semisferica, iar boltile in plin cintru. Acesteia i-au urmat alte edificii de acelasi fel in care arta greco-romana a renascut sub o noua forma, plina de ornamente bogate. In acelasi stil a inceput la Roma, in secolul urmator, construirea bazilicei Sf. Petru de catre recunoscutii mari artisti : Bramante ,si Michelangelo. Ea a fost terminata in prima jumatate a secolului al XVII-lea de arhitectul-sculptor Gian Lorenzo Bernini, ultimul mare artist al Renasterii, care a renovat si piata din fata bisericii, intr-o forma ce este considerata pana azi ca "una dintre cele mai geniale solutii urbanistice pe care le cunoaste istoria arhitecturii', Arhitectul Bernini a fost un mare geometru si a stiut sa puna geometria in slujba frumusetii. El afirma ca "frumusetea tuturor lucrurilor din lume consta in proportii'. De exemplu, ovalul pietii Sf. Petru a fost construit din doua cercuri secante de aceeasi raza in asa fel incat axa longitudinala sa aiba lungimea de trei raze. Mai mult, Bernini avea o fantezie foarte bogata, si decoratiile de origine romana pe care le-a folosit au placut atat de mult incat s-au raspindit in toata Europa sub numele de stil baroc. De aceasta bogata fantezie s-a servit si cind a construit Scala Regia de la Vatican. El a dispus de o coloana de sectiune descrescinda si s-a folosit de convergenta peretilor in asa fel incst scara sa para mai lunga decit este in realitate. Cind cineva o urca, are surpriza de a constata ca este mult mai scurta decit parea.

Odata cu inceputul secolului XX, arhitectura a trebuit sa capete o noua infatisare din cauza noilor conditii de viata. Trebuia sa se gaseasca solutii problemei de a acoperi spatii vaste cu cladiri in care sa locuiasca, in conditii bune, multimi numeroase, folosindu-se materiale de constructii noi ca fierul ,si betonul armat. Intr-o frumoasa carte aparuta la noi in tara, arhitectul Marcel Melicson observa ca azi arhitectura se indreapta catre un frumos rational: "Orice organrism este cu atit mai frumos cu cit este mai bine adaptat scopurilor sale. Intr-o opera cu adevarat frumoasa, nimic nu este lasat la voia intimplarii, totul este justificat, util, totul se indreapta spre rezultatul urmarit. Frumusetea suprema, capodopera artistica, stralucita manifestare a geniului este in acelasi timp triumful ratiunii'. Acelasi autor citeaza urmatoarele randuri din cartea altui arhitect celebru, Le Corbus intitulata Sfire o arhitectura : "Cuburile, conurile, sferele, cilindrii, piramidele sunt marile forme primare pe care lumina le scoate in evidenta, imaginea lor este precisa, fara neclaritate. De aceea sint forme frumoase, cele mai frumoase forme Axele, cercurile, unghiurile drepte sunt adevarurile geometriei ; altfel ar fi hazard, anomalie, arbitrar. Geometria este limbajul omului. Marile probleme ale constructiei moderne vor fi realizate prin geometrie. Linia dreapta aduce sanatate sufletului oraselor Gasim linia dreapta in toata istoria omenirii, in orice act uman.. Dreapta este o reactie, o actiune, miscare, efectul unei autodeterminari. Dupa mai bine de 30 de ani, preocupat tot de aceasta problema a banismului, Le Corbussier adauga : "Compozilia arhitectonica este geometrica, eveniment de ordin vizual in primul rind, eveniment antrenind judecatile de cantitate, de raporturi, aprecieri de proportii. Proportia provoaca senzatii, iar perindarea acestor setiza corespunde melodiei din muzica.' Dar, in epoca actuala, a cladirilor gigantice, la planurile pentru fabricile construite pe sute de hectare, baraje sau hidrocent colosale, scara de proportii, mai potrivita, pe care anumit-o modulor. Cuvantul este format din doi termini; primul: modul inseamna tocmai raport sau scara de proportie, iar al doilea or este numirea franceza corespunzatoare in romaneste substantivului aur, asadar: modulor are, de fapt, aceeasi semnificatie ca si taiatura de aur, numai ca dimensiunile raportului sunt altele decat acelea folosite in Antichitate sau Renastere. Modulorul se obtine considerind un om de statura mijlocie stand in picioare cu un brat ridicat in sus, asadar de o lungime de 216 cm. In acest caz, ombilicul lui imparte acest segment in doua parti egale de cite 708 cm. Aceasta este lungimea segmentului AB, considerat odinioara de Euclid, si acest segment de 108 cm este impartit in taietura de aur prin distante de la virful degetelor pina la cap (41,5 cm) si segmentul ramas, de la varful capului la ombilic (66,5 cm). Cu accste dimensiuni, Le Corbussier a format un sir de numere care poarta numele de scara modulor, in care termenii se obtin astfel ca oricare dintre ei este egal cu suma a doi tevmeni dinaintea lui : 41,5 ; 66,5 ; 108 ; 174,5 ;

Oricare doi termeni alaturati, din scara modulor, au inca si proprietatea ca sunt in aceeasi proportie, aceea data de taietura de aur si de ea se folosesc arhiteclii de azi ca sa stabileasca diferitele dimensiuni ale unei cladiri cind urmaresc sa-i dea un aspect arrponios.

Trebuie, insa, sa-ti atrag atentia, draga cititdrule, ca aceasta scara de proportii nu-i suficienta ca o cladire sa se prezinte sub o infatisare plina de armonie si echilibru si sa stirneasca admiratia celui ce o contempla. Aceasta ramine o problema pe care nu o poate rezolva decit talentul arhitectului respectiv. O afirma chiar autorul: "Modulorul nu da talent si inca mai putin geniu. El nu subtiaza ceea ce nu este subtire, el ofera doar placerea si increderea care poate rezulta din folosirea masurilor sigure'. Arta inseamna cu totul altceva decat formula matematica, insa, daca esti artist, atunci modulorul te ajuta, asa cum ajuta si dalta pe un sculptor sau un pian, bine acordat, pe un pianist.